小學(xué)奧數(shù)教程-圓與扇形教師手冊(cè)

園與扇形

研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過(guò)變動(dòng)圖形的位

置才對(duì)圖形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算它們的面積.

圓的面積=%/；扇形的面積=兀/、/_；

360

圓的周長(zhǎng)=2兀r;扇形的弧長(zhǎng)=2TWX'L.

360

一、跟曲線有關(guān)的圖形元素：

①扇形：扇形由頂點(diǎn)在典的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說(shuō)

的！圓、_1圓、,圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾

246

分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是」L.

360

比如：扇形的面積=所在圓的面積；

360

扇形中的弧長(zhǎng)部分=所在圓的周長(zhǎng)

360

扇形的周長(zhǎng)=所在圓的周長(zhǎng)x^+2x半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長(zhǎng)等司于扇形的弧長(zhǎng)）

②弓形：弓形一般不要求周長(zhǎng)，主要求面積.

一般來(lái)說(shuō)，弓形面積=扇形面積-三角形面積.（除了半圓）

③它由L彎角的附正方形扇形

④“谷子”：如圖：“谷子”的面積=弓形面積x2

二、常用的思想方法：

①轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）

②等積變形（割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）

③借來(lái)還去（加減法）

④外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系”）

板塊、曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

［例1］正三角形A8C的邊長(zhǎng)是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點(diǎn)再次落在這條直線上，那么A

點(diǎn)在隨滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾

動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留兀）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖所示，A點(diǎn)在翻滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線為兩段120。的圓弧，所以路線的總長(zhǎng)度為：

2TIX6X^^X2=8兀厘米；

360

三角形在滾動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的圖形的為兩個(gè)120。的扇形加上一個(gè)與其相等的正三角形，面積為：

兀x6°x~^-x2+15=24兀+15平方厘米.

360

【答案】24兀+15

【鞏固】直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊4c長(zhǎng)20厘米，直角邊BC長(zhǎng)10厘米,如下圖所示，三角形

由位置I繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置II，此時(shí)8,C點(diǎn)分別到達(dá)四，G點(diǎn)；再繞4點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位值川，

此時(shí)A,G點(diǎn)分別到達(dá)4,G點(diǎn).求。點(diǎn)經(jīng)C到G走過(guò)的路徑的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

由于叱為AC的一半，所以Q『。。，則弧CG為大圓周長(zhǎng)的嗤子得

【解析】,弧GG為小圓

周長(zhǎng)的;,而cq+GG即為。點(diǎn)經(jīng)G到G的路徑，所以。點(diǎn)經(jīng)G到G走過(guò)的路徑的長(zhǎng)為

2nx20x—+2nxIOx-=—7t+57t=—.

12433

【答案】巴

3

【鞏固】如圖，一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為4cm和3cm的長(zhǎng)方形I.它的對(duì)角線長(zhǎng)恰好是5cm.讓這個(gè)

長(zhǎng)方形繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后到達(dá)長(zhǎng)方形II的位置，這樣連續(xù)做三次，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置.求

點(diǎn)A走過(guò)的路程的長(zhǎng).

ABCDEABCDE

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以A點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中也走了三段路程(如右上圖所示).

這三段路程分別是：

第1段是弧AA,它的長(zhǎng)度是2x兀x4x'(cm)；

4

第2段是弧AA,，它的長(zhǎng)度是2xJTX5X—（cm）;

4

第3段是弧4E,它的長(zhǎng)度是2乂*3乂?。?）；

4

所以A點(diǎn)走過(guò)的路程長(zhǎng)為：2x7ix4x2+2x7ix5x4+2x7rx3x，=67r（cm）.

444

【答案】6TT

【例2］草場(chǎng)上有一個(gè)長(zhǎng)20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長(zhǎng)30米的繩子拴著一只羊（見(jiàn)

如圖）.問(wèn)：這只羊能夠活動(dòng)的范圍有多大？（圓周率取3.14）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖所示，羊活動(dòng)的范圍可以分為A,B,C三部分，其中八是半徑30米的士個(gè)圓，B,C分別是

4

半徑為20米和10米的'個(gè)圓.

4

所以羊活動(dòng)的范圍是兀x3O?xZ+;tx2O2x-+7txlO2x-

444

=nx|302x—+2O2x—+102x—?

I444）

=2512.

【答案】2512

【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長(zhǎng)3口的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長(zhǎng)是4m,求狗所能到的地方

的總面積.（圓周率按3.I4計(jì)算）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖所示，羊活動(dòng)的范圍是一個(gè)半徑4m,圓心角300°的扇形與兩個(gè)半徑1m,圓心角120°的扇形

之和.所以答案是43.96nf.

【答案】43.96

【例3】如圖是一個(gè)直徑為女m的半圓，讓這個(gè)半圓以A點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，此時(shí)8點(diǎn)移動(dòng)到夕

點(diǎn)，求陰影部分的面積.（留中長(zhǎng)度單位為cm,圓周率按3計(jì)算）.

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】面積=圓心角為60。的扇形面枳+半圓-空白部分面枳（也是半圓）=圓心角為60。的扇形面枳

=X7ix3:=-7i=4.5（cm;）.

3602

【答案】4.5

［例4］如圖所示，直角三角形A8C的斜邊A3長(zhǎng)為10厘米，4尤=60。，此時(shí)BC長(zhǎng)5厘米.以點(diǎn)8為

中心，將。3C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，點(diǎn)A、。分別到達(dá)點(diǎn)E、。的位置.求AC邊掃過(guò)的圖形即圖

中陰影部分的面積.（尤取3）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】注意分割、平移、補(bǔ)齊.

如圖所示，將圖形⑴移補(bǔ)到圖形⑵的位置，

因?yàn)?￡80=60。，那么/4BE=I2O。，

則陰影部分為一圓環(huán)的1.

3

所以陰影部分面積為gx7rx［A82-8C2）=75（平方厘米）.

【答案】75

【鞏固】如右圖，以。4為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長(zhǎng)10厘米，將它以。點(diǎn)為中心旋

轉(zhuǎn)90°,問(wèn)：三角形掃過(guò)的面積是多少？（九取3）

A

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】從圖中可以看出，直角三角形掃過(guò)的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個(gè)三角形的面積與四分之

一圓的面積之和.圓的半徑就是直角三角形的斜邊。A.

因此可以求得，三角形掃過(guò)的面積為：24+,x7tx］0xK）=24+257r=99（平方厘米）.

【答案】99

【鞏固】（“杯”數(shù)學(xué)試題）如圖，直角三角形A4C中，々為直角，且3c=2厘米，AC=4厘米，則在

將AA3C繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。的過(guò)程中，人8邊掃過(guò)圖形的面積為.（兀=3.14）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如右上圖所示，假設(shè)AA8C旋轉(zhuǎn)120。到達(dá)夕C的位置.陰影部分為邊掃過(guò)的圖形.

從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個(gè)圖形的總面積減去空白部分面積，而整個(gè)圖形總面積等于

扇形ACT的面積與A18C的面積之和，空白部分面積等于扇形8cb的面積與A/VZTC的面積，由

于AA8C的面積與4T/TC的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形4CT與扇形NOT的面積之

差,為—=4兀=12.56（平方厘米）.

360360

【答案】12.56

［例5］如下圖，A48C是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度是1米?，F(xiàn)在以C點(diǎn)為圓點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90度，那么，ZS邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是平方米___v（萬(wàn)=3.14）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】邊掃過(guò)的面積為左下圖陰影部分，可分為右下圖所示的兩部分。

因?yàn)?,所以，=2。

2

所求面積為|‘『；rx'—|2x_L]+(i2—r2);rx_L=巳—_L+H=0.6775(平方米)

(42)v74428

【答案】0.6775

【例6】如圖30-14,將長(zhǎng)方形ABCD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4,BC=3,AC=5，求AD邊掃

過(guò)部分的面積.(不取3.14)

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如下圖所示，

如下圖所示，端點(diǎn)A掃過(guò)的軌跡為AA"A',端點(diǎn)D掃過(guò)軌跡為DD"D',而AD之間的點(diǎn)，掃過(guò)的軌

跡在以A、D軌跡，AD,A'。'所形成的封閉圖形內(nèi)，且這個(gè)封閉圖形的每一點(diǎn)都有線段AD上某點(diǎn)

掃過(guò)，所以AD邊掃過(guò)的圖形為陰影部分.顯然，

有陰影部分面積為S直角+5扇形AC才一S直角AAC0—S而收DD，而直角二角形AD'C%ACD面積相等.

q+v—q—q=q-q

J以用AA,UCT,施ttMQVJaMAAC。叫我D'D。扇兒6QV。扇取UD

=也AC?-也CO?=-4?）=2萬(wàn)=7.065（平方厘米）

36036044

即AD邊掃過(guò)部分的面積為7.065平方厘米.

【答案】7.065

【例7］（祖沖之杯競(jìng)賽試題）如圖，A8CD是一個(gè)長(zhǎng)為4,寬為3，對(duì)角線長(zhǎng)為5的正方形，它繞C點(diǎn)按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，分別求出四邊掃過(guò)圖形的面積.

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】容易發(fā)現(xiàn)，OC邊和8c邊旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的圖形都是以線段長(zhǎng)度為半徑的圓的1,如圖：

Dcg

因此DC邊掃過(guò)圖形的面積為4兀，8c邊掃過(guò)圖形的面積為一.

4

2、研究邊的情況.

在整個(gè)A5邊上，距離C點(diǎn)最近的點(diǎn)是8點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A點(diǎn)，因此整條線段所掃過(guò)部分應(yīng)該介于

這兩個(gè)點(diǎn)所掃過(guò)弧線之間，見(jiàn)如圖中陰影部分：

下面來(lái)求這部分的面積.

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：

扇形AC4'面積+三角形A'TC面積-三角形48c面積一扇形8C9面積=扇形AC4面積一扇形

8C9面積=亞一注=4%

44

3、研究AO邊掃過(guò)的圖形.

由于在整條線段上距寓C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A，最近的點(diǎn)是。，所以我們可以畫(huà)出AO邊掃過(guò)的圖形，

如圖陰影部分所示：

用與前面同樣的方法可以求出面積為：紅-%=2兀

444

旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下“變化過(guò)程”，即它是通過(guò)什么樣的基本圖形經(jīng)過(guò)怎樣的加

減次序得到的.先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚.最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告

訴你，要么就“藏”在那兒，一定會(huì)有.

可以進(jìn)一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題等等，此類問(wèn)題的解決

對(duì)提高解決幾何圖形問(wèn)題的能力是非常有益的.

【答案】(1)8C邊掃過(guò)圖形的面積為巴

4

(2)A4邊掃過(guò)圖形的面積為4兀

(3)AO邊掃過(guò)圖形的面積為包

4

(4)DC邊掃過(guò)圖形的面積為4冗

[例8](華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)例作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵

環(huán)沿大鐵環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問(wèn)小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】對(duì)于這類問(wèn)題，可以在初始時(shí)在小環(huán)上取一點(diǎn)4，觀察半徑0A,如圖⑴，當(dāng)小環(huán)沿大環(huán)內(nèi)壁滾動(dòng)到

與初始相對(duì)的位置，即滾動(dòng)半個(gè)大圓周時(shí)，如圖⑵，半徑。4也運(yùn)動(dòng)到了與初始時(shí)相對(duì)的位置.這時(shí)

。從沿大環(huán)內(nèi)壁才滾動(dòng)了半圈.繼續(xù)進(jìn)行下半圈，直到。4與初始位置重合，這時(shí)。人自身轉(zhuǎn)了1圈，

因此小鐵環(huán)自身也轉(zhuǎn)了1圈.

【總結(jié)】對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的圓來(lái)說(shuō)，當(dāng)圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的距篇為一個(gè)圓周長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈.所以本題也可以

考慮小鐵環(huán)的圓心軌跡，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)半徑與小鐵環(huán)相等的圓，所以小鐵環(huán)的圓心轉(zhuǎn)過(guò)的距離等于自

己的圓周長(zhǎng)，那么小鐵環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)了1圈.

【答案】1圖

【鞏固】如果半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的外例作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵

環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問(wèn)小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，同樣考慮小圓的一條半徑。八，當(dāng)小圓在大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周，即滾動(dòng)了大圓的半周時(shí)，半徑

OA滾動(dòng)了540。，滾動(dòng)了一圈半，所以當(dāng)小圓沿大圓外側(cè)滾動(dòng)一周時(shí)，小圓自身轉(zhuǎn)了3圈.

也可以考慮小圓圓心轉(zhuǎn)過(guò)的距寓.小圓圓心轉(zhuǎn)過(guò)的是一個(gè)圓周，半徑是小圓的3倍，所以這個(gè)圓的

周長(zhǎng)也是小圓的3倍，由于小圓的圓心每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)自身的周長(zhǎng)時(shí)，小圓也恰好轉(zhuǎn)了一圈，所以本題

中小圓自身轉(zhuǎn)了3圈.

【答案】3圈

【鞏固】如圖所示，大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的〃（〃>1）倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)（外側(cè)）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一圈后又回

到原來(lái)的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了幾周？

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】為了確定圓繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)幾周，首先要明確圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的距離.

設(shè)小圓的半徑為“單位1”，則大圓的半徑為“〃二

⑴在內(nèi)測(cè)滾動(dòng)時(shí)，如圖⑴所示，因?yàn)閳A心滾動(dòng)的距離為2兀x（〃-1）.

所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了：空3a=-1（圈）.

2兀

圖⑴圖(2)

⑵在外側(cè)滾動(dòng)時(shí),如圖⑵所示.

因?yàn)閳A心滾動(dòng)的距離為27rx（〃+1）.

所以小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了：至四上?=〃+］（圈）.

【答案】n-1和n+1

［例9］如圖，15枚相同的硬幣排成一個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)同樣大小的硬幣沿著外網(wǎng)滾動(dòng)一周，回到起始位it.問(wèn):

這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圖？

G

1*1

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】當(dāng)硬幣在長(zhǎng)方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)一次時(shí)，由于三個(gè)硬幣的圓心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，所以這枚硬

幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的圓旋轉(zhuǎn)了180。-60。-50。=60°.而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑

等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)了120°.

當(dāng)硬幣從長(zhǎng)方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊時(shí)，這枚硬幣的圓心相當(dāng)于沿著半徑為硬幣2倍的回旋轉(zhuǎn)

了360。-60。-60。-90。=150。.而硬幣上的每一點(diǎn)都是半徑等于硬幣的圓旋轉(zhuǎn)，所以硬幣自身旋轉(zhuǎn)

了300°.

長(zhǎng)方形的外圈有12個(gè)硬幣，其中有4個(gè)在角上，其余8個(gè)在邊上，所以這枚硬幣滾動(dòng)一圈有8次是

在長(zhǎng)方形的一條邊之內(nèi)滾動(dòng)，4次是從長(zhǎng)方形的一條邊滾動(dòng)到另一條邊.120°x8+300°x4=2l60°,

所以這枚硬幣轉(zhuǎn)動(dòng)了2160。，即自身轉(zhuǎn)動(dòng)了6圈.

另解：通過(guò)計(jì)算圓心軌跡的長(zhǎng)度，每走一個(gè)2兀即滾動(dòng)了一周.

【答案】6圈

【鞏固】12個(gè)相同的硬幣可以排成下面的4種正多邊形（圓心的連線）.

用一個(gè)同樣大小的硬幣，分別沿著四個(gè)正多邊形的外圈無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周.問(wèn)：在哪個(gè)圖中這枚硬

幣自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)最多，最多轉(zhuǎn)動(dòng)了多少圈？

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】對(duì)于同樣是12個(gè)硬幣，所轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心軌跡其實(shí)分為兩部分,一是在“角”上的轉(zhuǎn)動(dòng)，一是在“邊”上的

滾動(dòng).抓住關(guān)鍵方法：圓心軌跡長(zhǎng)度+2兀=自身轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù).結(jié)論：一樣多；都是6圈.

【答案】一樣多；都是6圈

【例10】一枚半徑為1cm的圓形硬幣相互緊靠著平放在桌面上，讓一枚硬幣沿著它們的外輪廓滾過(guò)后回到

原來(lái)的位置，那么與原A點(diǎn)重合的點(diǎn)是.硬幣自己轉(zhuǎn)動(dòng),硬幣圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡周長(zhǎng)為

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】先計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度：三個(gè)半徑為2的半圓，兀）x3=E,

6n+2兀=3，即為3周，所以答案為A點(diǎn)，3周，6兀.

【答案】A點(diǎn)，3周，6n

【例11］先做一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形，再以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2cm為半徑作弧，形成曲邊三角形（如

左圖）.再準(zhǔn)備兩個(gè)這樣的圖形，把一個(gè)固定?。ㄓ覉D中的陰影），另一個(gè)圍繞著它滾動(dòng)，如右圖那樣，

從頂點(diǎn)相接的狀態(tài)下開(kāi)始滾動(dòng).請(qǐng)問(wèn)此圖形滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】在處理圖形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，描繪出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是解決問(wèn)題的第一步，只有大的方向確定了，才

能實(shí)施具體的計(jì)算.

2

在數(shù)學(xué)中，本遨所作出的這個(gè)曲邊三角形叫“萊洛三角形:萊洛三角形“有一個(gè)重要的性質(zhì)就是它在所

有方向上的寬度都相同.

為了求出“萊洛三角形”滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積，可以分2步來(lái)思考：

第1步：如圖⑵所示，當(dāng)“萊洛三角形'從頂點(diǎn)A的上方滾動(dòng)到頂點(diǎn)A的左邊時(shí)，這時(shí)陰影“萊洛三角

形”滾動(dòng)的這部分面積是以4為圓心、2cm為半徑、圓心角為60」的扇形.在頂點(diǎn)A、B、C處各有

這樣的一個(gè)扇形；

第2步：如圖⑶所示，當(dāng)“萊洛三角形”在邊A4上滾動(dòng)時(shí)，這時(shí)可以把陰影“萊洛三角形”看作是以圖

⑶中。點(diǎn)為圓心的圓的一部分，這個(gè)圓在以。點(diǎn)為圓心的弧人8上滾動(dòng)，可知此時(shí)圓心。運(yùn)動(dòng)的軌

跡是圖⑶中的弧“)，所以此時(shí)陰影“萊洛三角形”滾動(dòng)的這部分面積是以。為圓心、4cm為半徑、

圓心角為60。的扇形減去半徑為2cm的60°的扇形；

綜上所述，去掉圖⑷中陰影噪洛三角形后所形成的組合圖形就是要求的面積.

滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積是：3x(jtx22x+3xf；rx42x-itx22x=8n=25.12(cm2).

I360J1360360J

【答案】25.12

【例12］下圖為半徑20厘米、圓心角為144。的扇形圖.點(diǎn)C、D、E、F、G、H、J是將扇形的B、K弧線

分為8等份的點(diǎn).求陰影部分面積之和.

F

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】如下圖，做出輔助線，

AKMA與&ANG形狀相同（對(duì)立角相等），大小相等（對(duì)應(yīng)邊相等），有&KMAJANG,SKMA=S慚,

而MMA是兩個(gè)三角形的公共部分，所以上圖中的陰影部分面積相等.

所以,GNMK與扇形KGA的面積相等，那么KGEB的面積為2倍扇形KGA的面積.

144°54

扇形KGA的圓心角為——>3=54。,所以扇形面積為-x20°x萬(wàn)=604平方厘米.

8360

那么KGEB的面積為604x2=1204平方厘米.

如下圖，做出另一組輔助線.

A

AJQA與&ARH形狀相同（對(duì)應(yīng)角相等），大小相等（對(duì)應(yīng)邊相等），

有AJQAW、ARH,S=S八附=5八,而WQA是兩個(gè)三角形的公共部分，

所以右圖中的陰影部分面積相等.

所以,JHRQ與扇形JHA的面積相等，那么JHDC的面積為2倍扇形JHA的面積.

[44。12

扇形JHA的圓心角為——=180”,所以扇形面積為——x2。2x4=2（）萬(wàn)平方厘米.

8360

那么JHDC的面積為204x2=404平方厘米.

所以，原題圖中陰影部分面積為SKGEB-S用火=120萬(wàn)-40萬(wàn)=80萬(wàn)=80x3.14=251.2平方厘米.

【答案】251.2

［例13］10個(gè)一樣大的圓擺成如圖所示的形狀.過(guò)圖中所示兩個(gè)圓心A,B作直線，那么直線右上方圓內(nèi)

圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是多少？

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】直線AB的右上方的有2個(gè)完整的圓，2個(gè)半圓,1個(gè)個(gè)（0而1個(gè)、個(gè)CD正好

組成一個(gè)完整的圓，即共有4個(gè)完整的圓，那么直線AB的左下方有10-4=6個(gè)完整的圓，每人圓的

面積相等，所以直線右上方圓內(nèi)圖形面積總和與直線左下圓內(nèi)圖形面積總和的比是4:6=2:3.

【答案】2:3

【例14］在圖中，一個(gè)圓的圓心是0,半徑尸9星米，/1=z2=15°.那么陰影部分的面積是多少平方厘米?（不

取3.14）

【考點(diǎn)】【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】奧林匹克，初賽，11題

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】有AO=OB,所以AAOB為等腰三角形，AO=OC,所以AAOC為等腰三角形.

zABO=z1=15°,zAOB=180o-z1-zABO=150°.

zACO=z2=15o,zAOC=180°-z2-2ACO=150°,

所以zBOC=3600-zAOB-zAOC=60°,所以扇形BOC的面積為瑞x9,x4之42.39（平方厘米）.

【答案】42.39

【例15］圖是由正方形和半圓形組成的圖形,其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn).已知

正方形的邊長(zhǎng)為10,那么陰影部分的面積是多少？（乃取3.14）

【考點(diǎn)】曲線型旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】奧林匹克，初賽，11題

【解析】過(guò)P做AD平行線，交AB丁。點(diǎn)，P為半圓周的中點(diǎn)，所以0為AB中點(diǎn).

有SABCD=1°X10=100?S.9p|DPC='g")2X^X—=12.5乃.

S1,AOP=5x(10+—)xl=37.5,s種開(kāi).)B=fio+—1+5x5x，=50.

AAVI22I2

陰影部分面積為S^D+S華1gopc-Sg0P-S悌收)Qg=I(X)+12.5%一37.5-50=12.5+12.5萬(wàn)h51.75.

【答案】51.75

園與扇形

例題精講

研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過(guò)變動(dòng)圖形的位

，或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算它們的面積.

圓的面積；扇形的面積=冗/X」-；

360

圓的周長(zhǎng)=2〃；扇形的弧長(zhǎng)=2“x’-.

360

三、跟曲線有關(guān)的圖形元素：

①扇形：扇形由頂點(diǎn)在睡的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說(shuō)

的,圓、!圓、1圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾

246

分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是」L.

360

比如：扇形的面積=所在圓的面積;

360

扇形中的弧長(zhǎng)部分=所在圓的周長(zhǎng)X」-

360

扇形的周長(zhǎng)=所在圓的周長(zhǎng)X就+2x半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長(zhǎng)等司于扇形的弧長(zhǎng)）

②弓形：弓形一般不要求周長(zhǎng)，主要求面積.

一般來(lái)說(shuō)，弓形面積=扇形面積-三角形面積.（除了半圓）

k

③“彎角”：如圖：彎角的面積=正方形-扇形

④“谷子”：如圖：“谷子”的面積=弓形面積x2

四、常用的思想方法：

①轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）

②等積變形（割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等）

③借來(lái)還去（加減法）

④外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的“關(guān)系”）

板塊二曲線型面積計(jì)算

【例16］如圖，已知扇形ZMC的面積是半圓4羽面積的g4倍，則角63的度數(shù)是

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空

【解析】設(shè)半圓4）4的半徑為1，則半圓面積為1兀＞12=四，扇形/MC的面積為二乂±=交.因?yàn)樯刃蜯C

22233

的面積為兀，葭」-,所以，nx22x—=—,得到〃=60，即角CA3的度數(shù)是60度.

3603603

【答案】60度

【例17］如下圖，直角三角形48c的兩條直角邊分別長(zhǎng)6和7,分別以及C為圓心，2為半徑畫(huà)圓，已知圖

中陰影部分的面積是17,那么角A是多少度（北=3）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答

【解析】

5A4/JC=ix6x7=21,

三角形ABC內(nèi)兩扇形面積利為21-17=4,

根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為生"xjrxT=4,

360°

所以Z.B+ZC=120",N4=60°.

【答案】60度

【例18］如圖，大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的已，是小圓面積的|.如果量得小圓

的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答

【解析】小圓的面積為7rx52=25x，則大小圓相交部分面積為2Sirx3=157r,那么大圓的面積為

5

］5兀+百=空兀,而空=”x竺,所以大圓半徑為7.5厘米.

154422

【答案】7.5

【例19】有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆（如圖），此時(shí)櫬皮筋的長(zhǎng)度是多少厘

米？（兀取3）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答

【解析】由右圖知，繩長(zhǎng)等于6個(gè)線段A3與6個(gè)8c弧長(zhǎng)之和.

將圖中與BC弧相似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心角平移拼補(bǔ)，可得到6個(gè)角的和是360。，

所以8C弧所對(duì)的圓心角是60。，6個(gè)8c弧合起來(lái)等于直徑5厘米的圓的周長(zhǎng).

而線段A3等于塑料管的直徑，

由此知繩長(zhǎng)為：5X6+5TT=45（厘米）.

【答案】45

【例20］如圖，邊長(zhǎng)為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)為圓心，12厘米為半徑作圓皿，請(qǐng)

問(wèn)：中間陰影部分的周長(zhǎng)是多少？（兀=3.14）

12cm12cm

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答

【解析】如圖，點(diǎn)C是在以8為中心的扇形上，所以=，同理C"=4C，則A4BC是正三角形，同理，

有ACDE是正三角形.有ZACB=NECD=g,正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是180-360+5=108.因此

ZEC4=60X2-108=12°,也就是說(shuō)圓弧如？的長(zhǎng)度是半徑為12厘米的圓周的一部分，這樣相同

的圓弧有5個(gè)，所以中間陰影部分的周長(zhǎng)是2x3.l4xl2x募x5=l2.56（cm）.

【答案】12.56

【例21］如圖是一個(gè)對(duì)稱圖形.比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積灰色

部分面積.

曾

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空

【解析】圖中四個(gè)小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個(gè)小圓的面積等于大圓面積的1，則4個(gè)小圓的面

4

積之和等于大圓的面積.而4個(gè)小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為黑色部分，所以這兩

部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等.

【答案】相等

【例22］如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，，空白部分面積為S2,那么這兩個(gè)部

分的面積之比是多少？(圓周率取3.14)

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度］3星【題型】解答

【解析】如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正方形.設(shè)

大圓半徑為r，貝1］§2=2產(chǎn)，￡=不，一2/，所以=(3.14—2):2=57:100.

移動(dòng)圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系.

【答案】57:100

【例23］用一塊面積為36平方扈米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板.問(wèn)：所余下的邊

角料的總面積是多少平方厘米？

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答

【解析】大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積:大圓面積="一n*=1:9,

小圓面積=36x"=4,7個(gè)小圓總面積=4x7=28,

邊角料面積=36-28=8（平方厘米）.

【答案】8

【例24］如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個(gè)小圓和三個(gè)半眼的半徑都是1.求陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答

【解析】由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來(lái)構(gòu)造新圖形.

I

由右圖可見(jiàn)，陰影部分面積等于一大圓面積減去一個(gè)小圓面積，再加上120。的小扇形面積（即-小圓

63

19

面積），所以相當(dāng)于一大圓面積減去二小圓面積.而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為個(gè)圓的

63

3?=9倍,那么陰影部分面積為仕X9-2］XTTX12=1=2.5.

U3）6

【答案】2.5

【例25］如圖所示，求陰影面積，圖中是一個(gè)正六邊形，面積為1040平方圈米，空白部分是6個(gè)半徑為10

厘米的小扇形.（圓周率取3.I4）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答

【解析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個(gè)小扇形面積、正六邊形的面積已知，現(xiàn)在關(guān)鍵是小

扇形面積如何求，有扇形面積公式幾=嚼.

可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對(duì)圓心角為60。那么NAOC=I20。，

又知四邊形ABC。是平行四邊形，所以/A8C=120°,這樣就可求出扇形的面積和為

6x士”X7txl（）2=628（平方厘米），陰影部分的面積=1（）40-628=412（平方厘米）.

【答案】412

【例26］（09年第十四屆華杯賽初賽）如下圖所示，A3是半圓的直徑，。是圓心，AC=CD=OB，何是C。

的中點(diǎn)，〃是弦C。的中點(diǎn).若N是08上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分

的面積是平方厘米.

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空

【解析】如下圖所示，連接OC、OD、OH.

M

本題中由于C、。是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，M是。。的中點(diǎn)，方是弦CD的中點(diǎn)，可見(jiàn)這個(gè)圖形是

對(duì)稱的，由對(duì)稱性可知C。與A4平行.由此可得ACHN的面積與AC”。的面積相等，所以陰影部分

面積等于扇形CO。面積的一半，而扇形COO的面積又等于半圓面積的g,所以陰影部分面積等于

半圓面積的L,為12x1=2平方厘米.

66

【答案】2

【鞏固】如圖，C、。是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，0是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖,連接。。、CD.

由于C、。是半圓的三等分點(diǎn)，所以A4OC和AC。。都是正三角形，那么C。與40是平行的.所

以AACO的面積與△OCD的面積相等，那么陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，為

7tx6?x-=18.8.

6

【答案】18.84

【例27］如圖，兩個(gè)半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過(guò)豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部分

的面積之差.（兀取3）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答

【解析】本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計(jì)算它們的差但是

這樣較為繁瑣.由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與面積較小的陰影相同

的圖形，再求剩余圖形的面積.

如右圖所示，可知弓形8c或C。均與弓形A4相同，所以不妨割去弓形BC.剩下的圖形中.容易

看出來(lái)八8與是平行的,所以ABC。與AAC。的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形AC。的

面積相等，而扇形AC。的面積為冗xFx里=0.5，所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為0.5.

360

【答案】0.5

【例28］如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起其中大正方形邊長(zhǎng)為12那么陰影部分面積是多少？（圓周率取3.I4）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度］3星【題型】解答

【解析】方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為“，則三角形W與梯形A3CD的面積均為（a+12）xa+2.陰影部

分為：大正方形+梯形-三角形AB/：-右上角不規(guī)則部分=大正方形-右上角不規(guī)則部分=1

4

圓.因此陰影部分面積為：3.14x12x12+4=113.04.

方法二：連接AC、DF，設(shè)Ab與C。的交點(diǎn)為也,由于四邊形ACD/是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理

有SAA/W=*所以S陰魴=S扇形女尸=3/4x12x12+4=113.04

【答案】113.04

【鞏固】如右圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10和6,求陰影部分的面積.（兀取3）

【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答

【解析】（法1）觀察可知陰影部分面積等于三角形ACO的面積減去月牙8C。的面積，那么求出月牙BC。的

面積就成了解題的關(guān)鍵.

月牙的面積為正方形ECDE的面積減去四分之一圓：6:<6--X7TX6X6=9；

4

則陰影部分的面積為三角形AC。的面積減去月牙BC。的面積，為：

S陰影=gx（10+6）x6-9=39.

（法2）觀察可知A尸和8。是平行的，于是連接BD、DF.

則A4皮）與&5。1面積相等，那么陰影部分面積等于AZm尸與小弓形的面積之和，也就等于拉走廠與

扇形的面積之和，為：（10—6）X6XL+1XTIX62=39.

24

【答案】39

【例29］如圖，A8C,是等腰直角三角形，。是半圓周的中點(diǎn)，8c是半圓的直徑.已知八8=8C=10,那

么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）

【解析】連接尸￡>、AP.，如圖，尸。平行于A3,則在梯形450P中，對(duì)角線交于M點(diǎn)，那么A4%）與