2024-2025學年北京朝陽區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第2頁/共11頁2025北京朝陽高三（上）期末數(shù)學2025.1（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知全集，集合,則（A）（B）（C）（D）（2）在復平面內，復數(shù)對應的點位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限（3）已知拋物線．若其焦點到準線的距離為4，則拋物線的焦點坐標為（A）（B）（C）（D）（4）函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（A） （B）（C） （D）（5）“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（6）已知圓：，過點的直線與圓交于.當取最小值時，直線的方程為（A）（B）（C）（D）（7）沙漏是一種古代計時儀器.如圖，某沙漏由上下兩個相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm,細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的，則這些細沙的體積為（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3（8）若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（A）(B)（C）（D）（9）“三分損益法”是古代中國發(fā)明制定音律時所用的方法，現(xiàn)有一古琴是以一根確定長度的琴弦為基準，第二根琴弦的長度是第一根琴弦長度的，第三根琴弦的長度是第二根琴弦的長度的，第四根琴弦的長度是第三根琴弦長度的，第五根琴弦的長度是第四根琴弦的.琴弦越短，發(fā)出的聲音音調越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調由低到高分別稱為“宮?商?角?徵?羽”，則“宮”與“角”所對琴弦長度之比為（A）（B）（C）（D）（10）設是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)使得對任意，均有，則稱是間隔遞減數(shù)列，其中稱為數(shù)列的間隔數(shù)．給出下列三個結論：①若，則是間隔遞減數(shù)列；②若，則是間隔遞減數(shù)列；③若,則是間隔遞減數(shù)列且的間隔數(shù)的最小值是，其中所有正確結論的序號是（A）①（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開式中,的系數(shù)為____．（用數(shù)字作答）（12）雙曲線的漸近線方程是____；設,是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且,則____．（13）使不等式成立的一個的值是．（14）已知為所在平面內一點，滿足,且,設為的夾角，則；.（15）棱長為的正方體中，點在線段上（不與重合），于，于，以下四個結論：①平面；②線段與線段的長度之和為定值；③面積的最大值為；④線段長度的最小值為；其中所有正確的結論的序號是____．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（17）（本小題14分）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經逐漸融入我們的日常生活，在教育領域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計如下：使用AI大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計概率.（Ⅰ）從該地區(qū)教師中隨機選取一人,估計至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學期望;（Ⅲ）從該地區(qū)男、女教師中各隨機選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為,,比較,的數(shù)學期望的大小.（結論不要求證明）

（18）（本小題15分）如圖,在五面體中,平面,,,,，.,分別為,的中點，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值;（Ⅲ）線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.（19）（本小題13分）已知函數(shù)，其中是常數(shù),.（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求的極值.（20）（本小題15分）已知橢圓的離心率為，右頂點為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點．已知點，直線與橢圓的另一個交點分別為．求證：直線過定點．

（21）（本小題15分）已知無窮數(shù)列，給定正整數(shù)，若數(shù)列滿足以下兩個性質，則稱為數(shù)列：①；②（Ⅰ）已知和分別為數(shù)列和數(shù)列，且，，求和；（Ⅱ）已知正整數(shù)數(shù)列是數(shù)列．（?。o窮數(shù)列滿足且為奇數(shù)，其中，證明：對于任意的，；（ⅱ）求滿足條件的，并寫出與對應的的所有可能取值．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）B （3）C （4）A （5）A（6）C （7）B （8）D （9）D (10)B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）;7 （13）（答案不唯一）（14）（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）因為,所以.所以.又,所以.又,所以.…………………..5分（Ⅱ）選條件①:根據(jù)余弦定理有,則.又，則.兩式相減，解得.可得或者所以.選擇條件③：因為且,所以由正弦定理可知.又.所以.…..13分（17）（本小題14分）（Ⅰ）記事件為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計為.…………4分（Ⅱ）記事件為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型B”,根據(jù)題中數(shù)據(jù),可以估計為.的可能取值為,,,的分布列為0123…………11分（Ⅲ）…………14分（18）（本小題15分）（Ⅰ）因為平面,平面,所以又因為,,所以平面.又平面，所以.又因為,為線段的中點，所以.因為,,所以.因為,分別為,的中點,所以.又，所以.即四點共面.又,平面，平面，所以平面.………6分（Ⅱ）因為平面，所以,又所以兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系.于是,,,可得，.由（Ⅰ）可得平面.所以平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，則有則直線與平面所成角的正弦值為.………11分（Ⅲ）設是線段上的一點，則存在使.,從而.由點的坐標可得.設平面的法向量為則有，即令，則法向量為.令，即，解得.此時，又顯然有平面,從而平面.所以，線段上存在點，使得平面,此時.……………15分（19）（本小題13分）解：（Ⅰ）當時，所以.所以，又.所以曲線在處的切線方程為，即…………5分（Ⅱ）依題意，.（1）當時，由（Ⅰ）可知，所以在上單調遞減，無極值.（2）當（）時，，（ⅰ）當（）時，,所以在上單調遞減，所以無極值.（ⅱ）當（）時,時，，在上單調遞增，時,，在上單調遞減.所以時，取極大值，無極小值.綜上，當（）時，無極值；當（）時，有極大值，無極小值.…………15分（20）（本小題15分）（Ⅰ）由題意可得解得所以橢圓的方程為．………5分（Ⅱ）設點，則，且．直線，即由得．所以．所以．所以．所以．同理,．依題意,所以．所以直線的方程為．整理得．所以直線過定點．………15分（21）（本小題15分）（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的定義可知：，，，；根據(jù)數(shù)列的定義可知：，，，；…4分（Ⅱ）（?。┘僭O結論不成立，不妨設為滿足且使得最小的某個整數(shù).由，可知，因為是奇數(shù),從而，,且，這與最小性矛盾，所以對于任意的，.………9分（ⅱ）假設及的取值已使得為數(shù)列且每一個項均為整數(shù).由（Ⅱ）中所定義出的構成數(shù)列,首先證明滿足對任意的，有.若，則，從而；若，則.分三種情況討論.若，則.故;若，則.故;若，則，又因為為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，從而有;綜上所述，對任意的，有.又根據(jù)（ⅰ）的結論可知必存在某個，使得對于任意的，均有；由于當時，總有，于是，數(shù)列中存在無窮多項小于，從而，可取某個，使得.由前面的證明可知只