2023-2024學(xué)年河南省濟(jì)源市高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濟(jì)源市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，故A正確；若，故B錯(cuò)誤；若，故C錯(cuò)誤；若，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】①錯(cuò)誤，中包括0；②錯(cuò)誤，中沒有任何元素；③錯(cuò)誤，與之間為包含關(guān)系，不應(yīng)該用屬于符號(hào)；由③可知，④正確；⑤錯(cuò)誤，中有兩個(gè)元素，中只有一個(gè)元素；⑥正確，有理數(shù)中包括整數(shù).故選：B.3.命題“任意，都有”的否定為（）A.存，使得B.不存在，使得C.存在，使得D.對(duì)任意，都有【答案】A【解析】命題“任意，都有”的否定為“存在，使得”.故選：A.4.方程的解所在區(qū)間是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，，，，∴，∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的圖象在縱軸右側(cè)先單調(diào)遞增再遞減，又和在縱軸右側(cè)均先遞增，而和在縱軸右側(cè)均先遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可排除B、C；若，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象不符，故D錯(cuò)誤；而，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象相符，故A正確.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以．故選：A.7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，所以．故選：C．8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的滿足且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是定義在上的偶函數(shù).任取，，則：，，所以在上遞增，則在上遞減.，，對(duì)于不等式，當(dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，由，即，綜上所述，不等式的解集為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.，是以為周期的函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A，易知冪函數(shù)，顯然恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由可知，即其定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，所以兩函數(shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由反函數(shù)的定義易知函數(shù)與互為反函數(shù)，故其函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)周期性定義知對(duì)于定義域內(nèi)，，不滿足周期性定義，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.記無理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字是，則是的函數(shù)，記作，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則下列說法正確的是（）A. B.也是的函數(shù)C. D.不是周期函數(shù)【答案】AD【解析】由題可得，，則不是的子集，所以C不正確；無理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第4位上的數(shù)為2，故，A正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的不是唯一確定的，根據(jù)函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，故B不正確；由于為無理數(shù)，所以不是周期函數(shù)，故D正確.故選：AD.11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說法正確的有（）A.B.圖象的對(duì)稱軸過圖象的對(duì)稱中心C.在上，與都單調(diào)遞減D.和圖象的交點(diǎn)為【答案】AB【解析】由的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知=，又根據(jù)題意可知，整理得，即，顯然不能恒為零，所以，故A正確；即，令，所以，即圖象的對(duì)稱軸為過圖象的對(duì)稱中心為，故B正確；當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞增，顯然C錯(cuò)誤；由，即，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.為奇函數(shù)C.D.函數(shù)有11個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且關(guān)于中心對(duì)稱，且，即，所以的一個(gè)正周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以由題意可知：，故A錯(cuò)誤；同理，所以為奇函數(shù)，故B正確；易知，，，所以，故，故C正確；函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象如下：如圖所示，，當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn)，同理時(shí)，與無交點(diǎn)，即兩函數(shù)交點(diǎn)在上，易知共有10個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知某扇形的半徑為，面積為，那么該扇形的弧長為________.【答案】【解析】設(shè)該扇形的弧長為，由扇形的面積，可得，解得.14.設(shè)，，定義運(yùn)算，則函數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，由，所以；當(dāng)時(shí)，，由，此時(shí)函數(shù)無最大值，綜上所述：函數(shù)的最大值是.15.隨著全民健身運(yùn)動(dòng)的開展，人們的健身需求更加多樣化和個(gè)性化．某健身機(jī)構(gòu)趁機(jī)推出線上服務(wù)，健身教練開通直播，線上具有獲客、運(yùn)營、傳播等便利，線下具有器械、場景豐富等優(yōu)勢，成功吸引新會(huì)員留住老會(huì)員．據(jù)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)直播間吸引粉絲量不低于2萬人時(shí)，其線下銷售健身卡的利潤y（單位：萬元）隨粉絲量x（單位：萬人）的變化情況如下表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們用函數(shù)模型進(jìn)行擬合，建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式．請(qǐng)你按此模型估測，當(dāng)直播間的粉絲量為17萬人時(shí)，線下銷售健身卡的利潤大約為______萬元．x（萬人）359y（萬元）【答案】【解析】根據(jù)題意及表格有，作差得，即，則，所以，則時(shí)，.16.已知（）滿足，，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】【解析】滿足，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧系亩x域?yàn)榧希?）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，解得或，所以，所以．當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，得，即，解得，所以．因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以．所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.（1）計(jì)算：；（2）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）由.（2）由，即，若，則，若，則，所以，若，則，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊和單位圓交于A點(diǎn)，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后，終邊在第二象限和單位圓交于B點(diǎn)．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求的值；（3）求值．解：（1）由題意及三角函數(shù)定義可知，，所以，由誘導(dǎo)公式可知.（2）由（1）及二倍角公式可知，又，所以，故（負(fù)值舍去）.（3）由題意可知，為第二象限角，所以，所以，因?yàn)?，為第二象限角，，則為第二象限角，即，所以20.春運(yùn)是中國在農(nóng)歷春節(jié)前后發(fā)生的一種大規(guī)模全國性交通運(yùn)輸高峰期、高交通運(yùn)輸壓力現(xiàn)象.已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時(shí)間t相關(guān)，時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足，.經(jīng)測算，當(dāng)時(shí)，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)5160人，當(dāng)時(shí)，候車人數(shù)會(huì)減少，減少人數(shù)與成正比，且時(shí)間為6點(diǎn)時(shí)，候車人數(shù)為3960人，記候車廳候車人數(shù)為.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)；（2）若為了照顧群眾的安全，每時(shí)需要提供的免費(fèi)礦泉水瓶數(shù)為，則一天中哪個(gè)時(shí)間需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少?解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，.，故當(dāng)天中午12點(diǎn)時(shí)，候車廳候車人數(shù)4200人.（2），①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；②當(dāng)時(shí)，；又，所以時(shí)，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少.21.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，記，矩形的面積為．（1）求；（2）求的最大值及此時(shí)x的值；（3）若，求x的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意可知，所以，整理得.（2）由（1）知，所以，顯然時(shí)，，此時(shí).（3）由（1）（2）知，且，所以，即不等式的解集為.22.已知，函數(shù)，．（1）若，，求；（2）若，，求m；（3）若，，求證：．解：（1）若，，則依題意，所以.（2）若，，則，，所以.（3）若，，則，，所以，設(shè)，則，易知，設(shè)，顯然在R上單調(diào)遞增，又，即恰有一個(gè)根，故，得證.河南省濟(jì)源市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，故A正確；若，故B錯(cuò)誤；若，故C錯(cuò)誤；若，故D錯(cuò)誤.故選：A.2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】①錯(cuò)誤，中包括0；②錯(cuò)誤，中沒有任何元素；③錯(cuò)誤，與之間為包含關(guān)系，不應(yīng)該用屬于符號(hào)；由③可知，④正確；⑤錯(cuò)誤，中有兩個(gè)元素，中只有一個(gè)元素；⑥正確，有理數(shù)中包括整數(shù).故選：B.3.命題“任意，都有”的否定為（）A.存，使得B.不存在，使得C.存在，使得D.對(duì)任意，都有【答案】A【解析】命題“任意，都有”的否定為“存在，使得”.故選：A.4.方程的解所在區(qū)間是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，，，，∴，∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的圖象在縱軸右側(cè)先單調(diào)遞增再遞減，又和在縱軸右側(cè)均先遞增，而和在縱軸右側(cè)均先遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可排除B、C；若，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象不符，故D錯(cuò)誤；而，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象相符，故A正確.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以．故選：A.7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，所以．故選：C．8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的滿足且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是定義在上的偶函數(shù).任取，，則：，，所以在上遞增，則在上遞減.，，對(duì)于不等式，當(dāng)時(shí)，有，即；當(dāng)時(shí)，由，即，綜上所述，不等式的解集為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.，是以為周期的函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A，易知冪函數(shù)，顯然恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由可知，即其定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，所以兩函數(shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由反函數(shù)的定義易知函數(shù)與互為反函數(shù)，故其函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)周期性定義知對(duì)于定義域內(nèi)，，不滿足周期性定義，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.記無理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字是，則是的函數(shù)，記作，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則下列說法正確的是（）A. B.也是的函數(shù)C. D.不是周期函數(shù)【答案】AD【解析】由題可得，，則不是的子集，所以C不正確；無理數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第4位上的數(shù)為2，故，A正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的不是唯一確定的，根據(jù)函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，故B不正確；由于為無理數(shù)，所以不是周期函數(shù)，故D正確.故選：AD.11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列說法正確的有（）A.B.圖象的對(duì)稱軸過圖象的對(duì)稱中心C.在上，與都單調(diào)遞減D.和圖象的交點(diǎn)為【答案】AB【解析】由的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知=，又根據(jù)題意可知，整理得，即，顯然不能恒為零，所以，故A正確；即，令，所以，即圖象的對(duì)稱軸為過圖象的對(duì)稱中心為，故B正確；當(dāng)，此時(shí)單調(diào)遞增，顯然C錯(cuò)誤；由，即，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.為奇函數(shù)C.D.函數(shù)有11個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且關(guān)于中心對(duì)稱，且，即，所以的一個(gè)正周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，所以由題意可知：，故A錯(cuò)誤；同理，所以為奇函數(shù)，故B正確；易知，，，所以，故，故C正確；函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象如下：如圖所示，，當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn)，同理時(shí)，與無交點(diǎn)，即兩函數(shù)交點(diǎn)在上，易知共有10個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知某扇形的半徑為，面積為，那么該扇形的弧長為________.【答案】【解析】設(shè)該扇形的弧長為，由扇形的面積，可得，解得.14.設(shè)，，定義運(yùn)算，則函數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，由，所以；當(dāng)時(shí)，，由，此時(shí)函數(shù)無最大值，綜上所述：函數(shù)的最大值是.15.隨著全民健身運(yùn)動(dòng)的開展，人們的健身需求更加多樣化和個(gè)性化．某健身機(jī)構(gòu)趁機(jī)推出線上服務(wù)，健身教練開通直播，線上具有獲客、運(yùn)營、傳播等便利，線下具有器械、場景豐富等優(yōu)勢，成功吸引新會(huì)員留住老會(huì)員．據(jù)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)直播間吸引粉絲量不低于2萬人時(shí)，其線下銷售健身卡的利潤y（單位：萬元）隨粉絲量x（單位：萬人）的變化情況如下表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們用函數(shù)模型進(jìn)行擬合，建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式．請(qǐng)你按此模型估測，當(dāng)直播間的粉絲量為17萬人時(shí)，線下銷售健身卡的利潤大約為______萬元．x（萬人）359y（萬元）【答案】【解析】根據(jù)題意及表格有，作差得，即，則，所以，則時(shí)，.16.已知（）滿足，，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】【解析】滿足，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧系亩x域?yàn)榧希?）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，解得或，所以，所以．當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，得，即，解得，所以．因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以．所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.（1）計(jì)算：；（2）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）由.（2）由，即，若，則，若，則，所以，若，則，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊和單位圓交于A點(diǎn)，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角后