黃金卷05備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知點P在拋物線M：上，過點P作圓C：的切線，若切線長為，則點P到M的準線的距離為（

）A．5 B． C．6 D．5．已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（

）．A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則（

）A．的一個對稱中心是B．的對稱軸方程為C．在上的值域為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為11．在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于4第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．兩個線性相關變量與的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：99.51010.5111110865其回歸直線方程是，則相對應于點的殘差為．13．雙曲線的左焦點為，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為.14．2024年新高考數(shù)學Ⅰ卷多選題的計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，共18分；②每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對的得6分，有選錯或不選的得0分；③部分選對的得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，第二小題選了兩個選項，第三小題選了一個選項，則他多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數(shù)為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)求的最大值；(2)當時，證明：.16．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．18．（17分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點M在上，且.(1)求的標準方程；(2)若直線與交于A，B兩點，且的面積為求的值.19．（17分）已知編號為的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中1號袋子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號袋子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號袋子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球．現(xiàn)按照如下規(guī)則連續(xù)摸球兩次；第一次先從1號袋子中隨機摸出1個球，并將摸出的球放入與球編號相同的袋子中，第二次從剛放入球的袋子中再隨機摸出1個球．(1)若第二次摸到的是3號球，計算此3號球在第二次摸球過程中分別來自號袋子的概率；(2)設是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量．設的一切可能取值為，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．若表示第一次摸出的是號球，表示第二次摸出的是號球．①求；②證明：．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷05·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CDCCDDAA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABDABDABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．13四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）【詳解】（1），令得，…………………2分當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；…………………4分當時，取得最大值，且最大值為.……6分（2）設，，則，……7分在上單調(diào)遞增，……8分，即在上的最小值為4，……10分，，，……12分當時，.……13分16．（15分）【詳解】（1）當時，，即，……1分當時，①，②，……2分②得，即，……3分所以．……5分因為，……6分所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．則，即．……7分（2）由（1）得，，……9分所以，，……11分故，……14分所以．……15分17．（15分）【詳解】（1）如圖，取棱的中點，連接．……1分因為是棱的中點，所以且．……2分又因為四邊形是矩形，是棱的中點，故且，……3分所以四邊形是平行四邊形，所以．……4分又平面平面，故平面．……5分（2）取棱的中點，則在正三角形中，，所以平面．……6分以為坐標原點，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系……7分設，則．……8分所以．……9分設平面的法向量為，則即可取．……11分設平面的法向量為，則即可?。?3分由題設知，故，……14分即．……15分18．（17分）【詳解】（1）由題意，設的標準方程為，則，，即，……2分所以，……4分所以的標準方程為；……5分（2）設Ax1,由聯(lián)立得，……7分由題意，即，……9分，，……10分顯然直線過定點，所以，……12分所以，即，……14分所以，解得或，均滿足，……16分所以或.……17分19．（17分）【詳解】（1）設第一次摸到球的事件為，第二次摸到的是3號球的事件為，第二次在第號袋子里摸到的是3號球的事件為，，，……2分于是，…………4分所以第二次摸到的是3號球，它來自1號袋子的概率；…………6分第二次摸到的是3號球，它來自2號袋子的概率；…………8分第二次摸到的是3號球，它來自3號袋子的概率.…………10分（2）①依題意，，即第一次摸出1號球，并放入1號袋子，第二次從該袋子摸出2號球的概率，所以.…………13分②由定義及全概率公式知，，所以.…………17分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可求得，則得，從而可求解.【詳解】由題意可知，只需，解得，故C正確.故選：C.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先應用同角三角函數(shù)公式切化弦，再應用兩角和與差的正弦公式計算即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，，所以．故選：D.3．已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得，再由向量的夾角公式，代入計算，即可求解.【詳解】因為在上的投影向量為，即，所以，又，，所以，且，則.故選：C4．已知點P在拋物線M：上，過點P作圓C：的切線，若切線長為，則點P到M的準線的距離為（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【分析】根據(jù)點P的位置以及切線長可解得點橫坐標為5，再由焦半徑公式可得結(jié)果.【詳解】設點，由圓的方程可知圓心，半徑；又切線長為，可得，即，解得，可得；再由拋物線定義可得點P到M的準線的距離為.故選：C5．已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識得，則，，當且僅當，即時取等.故選：D6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對數(shù)運算等知識列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D7．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先由圓錐的表面積公式求出底面半徑，在中由余弦定理解出，然后在中由勾股定理求出，最后由余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果即可；【詳解】設，由題意可得，即，解得或（舍去），連接，因為M為中點，所以，過作于，連接，則，在中，，即，解得，又在中，，所以，所以，所以的面積為，故選：A.8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的奇偶性，由奇偶性得，接著利用導數(shù)工具二次求導研究函數(shù)在0,+∞上單調(diào)性，由單調(diào)性即可判斷的大小關系.【詳解】因為，所以函數(shù)定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故，當時，，所以，因為，所以，所以在0,+∞單調(diào)遞增，故即f'x所以在0,+∞單調(diào)遞增，又，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由歐拉公式，利用復數(shù)的基本概念，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，其虛部為，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，由，故的共軛復數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則（

）A．的一個對稱中心是B．的對稱軸方程為C．在上的值域為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【分析】觀察圖象確定的最小值，周期求，結(jié)合對稱性可得函數(shù)過點由此可求，通過三角恒等變換求，驗證是否為的對稱中心判斷A，求的對稱軸判斷B，由條件求的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間判斷D.【詳解】由題圖可得函數(shù)的最小值為，，又，，，所以，結(jié)合對稱性可得函數(shù)的圖象過點，所以，解得，又，所以，所以，所以，所以.對于A，當，，所以是的一個對稱中心，故A正確；對于B，令，，可得，，故的對稱軸方程為，，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域為，故C錯誤；對于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選：ABD.11．在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于4【答案】ABD【分析】對于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點的坐標，即得；對于C，將直點線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標，由兩點間距離公式求得弦長，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據(jù)A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經(jīng)過點時取最大值4，經(jīng)過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計算判斷，并運用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．兩個線性相關變量與的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：99.51010.5111110865其回歸直線方程是，則相對應于點的殘差為．【答案】0.2/1【分析】根據(jù)線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點中心，進而求解參數(shù)，再根據(jù)殘差的計算公式即可得出答案.【詳解】，所以樣本點中心為，代入回歸方程得:，解得，所以回歸方程為，當時，，所以殘差為:.故答案為：0.2.13．雙曲線的左焦點為，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為.【答案】32/【分析】利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為，然后利用三點共線時取最小值求解即可.【詳解】∵，，∵周長的最小值為14，∴的最小值為14，即的最小值為，設右焦點為，則，即，則，即三點共線時最小，此時，即最小值為，得，∵，∴離心率.故答案為：14．2024年新高考數(shù)學Ⅰ卷多選題的計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，共18分；②每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對的得6分，有選錯或不選的得0分；③部分選對的得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，第二小題選了兩個選項，第三小題選了一個選項，則他多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數(shù)為．【答案】13【分析】根據(jù)多選題的計分標準，結(jié)合甲在此卷多選題的作答情況、百分位數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，因此甲此題的得分可以是分，或分；第二小題選了兩個選項，因此甲此題的得分可以是分，或分，或分；第三小題選了一個選項，因此甲此題的得分可以是分，或，或，因此甲多選題的所有可能總得分為分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，共種情況，因為，所以甲多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數(shù)為分，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)求的最大值；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值，（2）利用導數(shù)求解的最小值，即可根據(jù)的最大值求解.【詳解】（1），令得，…………………2分當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；…………………4分當時，取得最大值，且最大值為.……6分（2）設，，則，……7分在上單調(diào)遞增，……8分，即在上的最小值為4，……10分，，，……12分當時，.……13分16．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關系，作差可得為等比數(shù)列，即可由等比通項求解，（2）利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）當時，，即，……1分當時，①，②，……2分②得，即，……3分所以．……5分因為，……6分所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．則，即．……7分（2）由（1）得，，……9分所以，，……11分故，……14分所以．……15分17．（15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）取棱的中點，連結(jié)，，可證四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定即可證明；（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量公式求出參數(shù)，即可求解【詳解】（1）如圖，取棱的中點，連接．……1分因為是棱的中點，所以且．……2分又因為四邊形是矩形，是棱的中點，故且，……3分所以四邊形是平行四邊形，所以．……4分又平面平面，故平面．……5分（2）取棱的中點，則在正三角形中，，所以平面．……6分以為坐標原點，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系……7分設，則．……8分所以．……9分設平面的法向量為，則即可?。?1分設平面的法向量為，則即可?。?3分由題設知，故，……14分即．……15分18．（17分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點M在上，且.(1)求的標準方程；(2)若直線與交于A，B兩點，且的面積為求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，由橢圓的定義可得，根據(jù)橢圓中，，的關系可得，即可求解；（2）設Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線和橢圓構成的方程組，根據(jù)可得，由韋達定理可得，，再根據(jù)【詳解】（1）由題意，設