專題10-圓錐曲線-備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(文)之糾錯筆記系列(解析版)

專題10圓錐曲線易錯點1混淆“軌跡”與“軌跡方程”如圖，已知點，直線，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且，求動點P的軌跡．【錯解】設(shè)點P(x，y)，則Q(－1，y)，由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得y2＝4x．錯解中求得的是動點的軌跡方程，而不是軌跡，混淆了“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別．【試題解析】設(shè)點P(x，y)，則Q(－1，y)，由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得y2＝4x．故動點P的軌跡為焦點坐標為(1，0)的拋物線．【參考答案】動點P的軌跡為焦點坐標為(1，0)的拋物線．1．求軌跡方程時，若題設(shè)條件中無坐標系，則需要先建立坐標系，建系時，盡量取已知的相互垂直的直線為坐標軸，或利用圖形的對稱性選軸，或使盡可能多的點落在軸上.求軌跡方程的方法有:學@#科網(wǎng)（1）直接法：直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性．（2）定義法：求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程．（3）相關(guān)點法：動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點卻隨另一動點的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將，表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程整理化簡即得動點P的軌跡方程．（4）參數(shù)法：若動點坐標之間的關(guān)系不易直接找到，且無法判斷動點的軌跡，也沒有明顯的相關(guān)動點可用，但較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點的運動受到另一個變量的制約，即動點中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.2．求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即說出圖形的形狀、位置等．1．已知點P(2，2)，圓C：，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．（1）求M的軌跡方程；（2）當|OP|＝|OM|時，求l的方程及的面積．【答案】（1）；（2）．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM．因為ON的斜率為3，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為．又|OM|＝|OP|＝，點O到直線l的距離為，|PM|＝，所以的面積為．易錯點2求軌跡方程時忽略變量的取值范圍已知曲線C：y＝eq\r(x2－2x＋2)和直線l：y＝kx(k≠0)，若C與l有兩個交點A和B，求線段AB中點的軌跡方程.【錯解】依題意，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x2－2x＋2)，,y＝kx，))分別消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②設(shè)AB的中點為P(x，y)，則在①②中分別有，故線段AB中點的軌跡方程為.【錯因分析】消元過程中，由于兩邊平方，擴大了變量y的允許范圍，故應(yīng)對x，y加以限制．【試題解析】依題意，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x2－2x＋2),y＝kx))，分別消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②設(shè)AB的中點為P(x，y)，則在①②中分別有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝\f(1,1－k2)，③,y＝\f(y1＋y2,2)＝\f(k,1－k2)，④))又對②應(yīng)滿足，解得eq\f(\r(2),2)<k<1.結(jié)合③④，則有x>2，y>eq\r(2).所以所求軌跡方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>eq\r(2))．【參考答案】軌跡方程是x2－y2－x＝0(x>2，y>eq\r(2)).1．一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．2．要注意有的軌跡問題包含一定的隱含條件，由曲線和方程的概念可知，在求曲線時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明x的取值范圍，或同時注明x,y的取值范圍.學科@#網(wǎng)2．已知的三邊a、b、c(a>b>c)成等差數(shù)列，A、C兩點的坐標分別是(－1,0)、(1,0)，求頂點B的軌跡方程.故所求的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(－2<x<0)．本題在求出頂點B的軌跡方程后，容易忽略了題設(shè)中的條件a>b>c，使變量x的范圍擴大，從而導(dǎo)致錯誤．另外，注意當點B在x軸上時，A、B、C三點不能構(gòu)成三角形．易錯點3忽略橢圓定義中的限制條件若方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為________________．【錯解】由，可得，所以實數(shù)k的取值范圍為(6，8)．【錯因分析】忽略了橢圓標準方程中a＞b＞0這一限制條件，當a＝b＞0時表示的是圓的方程．【試題解析】由，可得且，所以實數(shù)k的取值范圍為(6，7)∪(7，8)．【方法點睛】準確理解橢圓的定義，明確橢圓定義中的限制條件，才能減少解題過程中的失誤，從而保證解題的正確性．【參考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.定義式：.要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.3．已知F1，F(xiàn)2為兩定點，|F1F2|＝8，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動點M的軌跡是A．橢圓 B．直線C．圓 D．線段【答案】D平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓.若忽略了橢圓定義中|F1F2|＜2a這一隱含條件，就會錯誤地得出點M的軌跡是橢圓.學科！@網(wǎng)易錯點4忽略對橢圓焦點位置的討論已知橢圓的標準方程為，并且焦距為8，則實數(shù)k的值為_____________．【錯解1】因為2c＝8，所以c＝4，由橢圓的標準方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故．【錯解2】因為2c＝8，所以c＝4，由橢圓的標準方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．【錯因分析】當橢圓的焦點位置不確定時，求橢圓的標準方程需要進行分類討論，而錯解中忽略了對橢圓的焦點位置的討論，從而導(dǎo)致錯誤．【試題解析】因為2c＝8，所以c＝4，①當焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故；②當焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．綜上，或．【方法點睛】涉及橢圓方程的問題，如果沒有指明橢圓焦點所在的位置，一般都會有兩種可能的情形，不能順著思維定式，想當然地認為焦點在x軸上或y軸上去求解．【參考答案】或．1．解決已知橢圓的焦點位置求方程中的參數(shù)問題，應(yīng)注意結(jié)合焦點位置與橢圓方程形式的對應(yīng)關(guān)系求解.對于方程，①表示焦點在x軸上的橢圓且；②表示焦點在y軸上的橢圓且；③表示橢圓且．對于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的橢圓的方程，其包含焦點在x軸上和在y軸上兩種情況，當B＞A時，表示焦點在x軸上的橢圓；當B＜A時，表示焦點在y軸上的橢圓．2．求橢圓的方程有兩種方法:（1）定義法.根據(jù)橢圓的定義，確定a2,b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法.這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：第一步，做判斷.根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能（這時需要分類討論）.第二步，設(shè)方程.根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或.第三步，找關(guān)系.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于的方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系）.第四步，得橢圓方程.解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.3．用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B).求橢圓的標準方程的方法可以采用待定系數(shù)法，此時要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓的標準方程；也可以利用橢圓的定義及焦點位置或點的坐標確定橢圓的標準方程.4．已知，，則該橢圓的標準方程為A． B．或C． D．或【答案】D本題在求解時容易忽略焦點的位置，而默認了橢圓的焦點在x軸上，從而求出橢圓的標準方程為eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,10)＝1.為了避免討論，也可以如下方法設(shè)橢圓方程：學@#科網(wǎng)與橢圓有相同焦點的橢圓方程可設(shè)為且，與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為，焦點在x軸上或，焦點在y軸上．易錯點5忽略橢圓的范圍設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率，已知點到橢圓的最遠距離為，求橢圓的標準方程．【錯解】由題意可設(shè)橢圓的標準方程為，則，故，即．設(shè)橢圓上的點到點P的距離為d，則，所以當時，取得最大值，從而d取得最大值，所以，解得，．故所求橢圓的標準方程為．【錯因分析】錯解中“當時，取得最大值”這一步的推理是錯誤的，沒有考慮橢圓方程中y的取值范圍，事實上，由于點在橢圓上，所以，因此在求的最大值時，應(yīng)分類討論．【試題解析】由題意可設(shè)橢圓的標準方程為，則，故，即．設(shè)橢圓上的點到點P的距離為d，則，若，則當時，取得最大值，從而d取得最大值，于是，解得，與矛盾，故，所以當時，取得最大值，從而d取得最大值，所以，解得，．故所求橢圓的標準方程為．【方法點睛】準確把握橢圓定義中的限制條件，是正確解題的前提，在求解時，應(yīng)做到步步有依據(jù)，這樣才能避免出錯．【參考答案】.1．橢圓的范圍就是方程中變量x,y的范圍，由得，則；，則.故橢圓落在直線x=±a，y=±b圍成的矩形內(nèi)，因此用描點法畫橢圓的圖形時就可以不取“矩形”范圍以外的點了.同時，在處理橢圓的一些參數(shù)或最值問題時要注意x，y的取值范圍.2．設(shè)橢圓上任意一點，則當時，有最小值b，P點在短軸端點處；當時，有最大值a，P點在長軸端點處．3．（1）解決橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中的范圍問題常用的關(guān)系有：①－a≤x≤a，－b≤y≤b；②離心率0<e<1；③一元二次方程有解，則判別式.（2）解決與橢圓有關(guān)的最值問題常用的方法有以下幾種：①利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理；②利用三角替代(換元法)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題處理；③利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘數(shù)學表達式的幾何特征，進而求解；④利用函數(shù)最值的研究方法，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理，此時，應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍，常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來求解.5．已知橢圓的上頂點為，且過點．（1）求橢圓的方程及其離心率；（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點，當直線的斜率之積是不為0的定值時，求此時的面積的最大值．【答案】（1），；（2）1.【解析】（1）由題意可得．又在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為，所以，故橢圓的離心率.（2）設(shè)直線的方程為．由，消去，得，所以，設(shè)，則．，由題意，為定值，所以，即，解得．此時，點到直線的距離．．顯然，當（此時，滿足），即時，取得最大值，最大值為．易錯點6忽略雙曲線定義中的限制條件已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線【錯解】依題意得，當時，，故點P的軌跡為雙曲線；當時，，故點P的軌跡為一條射線．故選B．【錯因分析】錯解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對值”，從而導(dǎo)致錯誤．【試題解析】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線．故選D．【參考答案】D．在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時，準確理解雙曲線的定義，才能正確解題．當||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|時，點M的軌跡是雙曲線，其中取正號時為雙曲線的右(上)支，取負號時為雙曲線的左(下)支；當||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)時，點M的軌跡是以點F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；當||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)時，點M的軌跡不存在．6．如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，求頂點C的軌跡方程．【答案】．【解析】由題意可得，．因為，由正弦定理可得，故，由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點)．由題意，設(shè)所求軌跡方程為，因為，，所以，故所求軌跡方程為．【名師點睛】求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時要特別注意：（1）雙曲線的焦點所在的坐標軸；（2）檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支．易錯點7忽略雙曲線中的隱含條件已知M是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，且，則_____________．【錯解】由雙曲線的定義可知，，因為，所以或．【錯因分析】錯解忽略了雙曲線中的一個隱含條件，即雙曲線上的點到任一焦點的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個．【試題解析】由雙曲線方程可得，，，由雙曲線的圖形可得點M到右焦點F2的距離．因為，，所以(舍去)或．【參考答案】331．在求解雙曲線上的點到焦點的距離d時，一定要注意這一隱含條件．2．雙曲線方程中的大小關(guān)系是不確定的，但必有.3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區(qū)域內(nèi),同時,也指明了坐標系內(nèi)雙曲線上點的橫坐標的取值范圍.關(guān)于雙曲線內(nèi)線段最長或最短（距離最遠或最近）問題，有以下結(jié)論：（1）雙曲線的左、右頂點距離相應(yīng)焦點最近；（2）雙曲線上一點與某焦點的距離的值最小為c-a；（3）對于已知雙曲線內(nèi)（或外）一定點M，求雙曲線上一點P，使得點P與相應(yīng)焦點的距離與的和最小的問題，當涉及的三點共線時取得最值.7．若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于A．11 B．9C．5 D．3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．易錯點8忽略雙曲線的焦點所在位置的討論已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標準方程．【錯解】由題意知，且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標準方程為．【錯因分析】錯解的原因是未審清題目條件，而誤認為焦點一定在x軸上，從而導(dǎo)致漏解．【試題解析】當雙曲線的焦點在x軸上時，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標準方程為；當雙曲線的焦點在y軸上時，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標準方程為．綜上，所求雙曲線的標準方程為或．【參考答案】或．1．求解雙曲線的標準方程時，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標準方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標準方程.對于方程表示焦點在x軸上的雙曲線表示焦點在y軸上的雙曲線表示雙曲線對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.注意：焦點在x軸上，漸近線方程為；焦點在y軸上，漸近線方程為．2．在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.已知雙曲線的漸近線方程，而不知焦點所在的坐標軸時，雙曲線的方程有兩個，為避免分類討論，可設(shè)雙曲線方程為．因此，與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為；與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為．8．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，則離心率為A．eq\f(5,4) B．C．eq\f(5,3)或eq\f(5,4) D．或eq\f(\r(15),3)【答案】C【解析】當焦點在x軸上時，eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,4)；當焦點在y軸上時，eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,3)，故選C．由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.易錯點9忽略直線與雙曲線只有一個公共點的特殊情況若過點且斜率為k的直線與雙曲線只有一個公共點，則___________．【錯解】由題意可得，代入雙曲線方程得．由題意可知，解得．【錯因分析】錯解中忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點．【試題解析】由題意可得，代入雙曲線方程得．當，即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點；當時，，解得．綜上，當或時，直線與雙曲線只有一個公共點．【方法點睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程，即二次項系數(shù)是否為0，因為直線與雙曲線有一個公共點包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況．【參考答案】或.1．直線與雙曲線有三種位置關(guān)系：（1）無公共點，此時直線有可能為雙曲線的漸近線．（2）有一個公共點，分兩種情況：①直線是雙曲線的切線，特別地，直線過雙曲線一個頂點，且垂直于實軸；②直線與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的一支有一個公共點．（3）有兩個公共點，可能都在雙曲線一支上，也可能兩支上各有一點．2．研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項系數(shù)，即若二次項系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項系數(shù)不為0，則進一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點個數(shù)．9．已知直線與雙曲線．當k為何值時，直線與雙曲線：（1）有兩個公共點；（2）有一個公共點；（3）沒有公共點．【答案】見解析．【解析】由消去y得①，當，即時，方程①無解；當時，，當，即時，方程①有兩解；當，即或時，方程①無解；當，且時，這樣的k值不存在．綜上所述，（1）當時，直線與雙曲線有兩個公共點；（2）不存在使直線與雙曲線有一個公共點的k值；（3）當或時，直線與雙曲線沒有公共點．【名師點睛】研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項系數(shù)，即若二次項系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項系數(shù)不為0，則進一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點個數(shù)．易錯點10忽略拋物線定義中的限制條件已知點P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，求點P的軌跡方程．【錯解】由拋物線的定義，可知點P的軌跡是拋物線．因為焦點在x軸上，開口向右，焦點到準線的距離，所以拋物線的方程為．【錯因分析】點P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，但，故此拋物線的方程不是標準方程．【試題解析】設(shè)點P(x，y)，則由題意，得，化簡整理得，此即所求的軌跡方程．【參考答案】.1．拋物線的標準方程是特殊的拋物線方程，對坐標軸的位置有嚴格的要求．若從題意中無法判斷方程是否為標準方程，可按求曲線方程的一般步驟求解．2．拋物線定義中要求直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線．因此當動點P到定點F的距離與它到定直線l的距離相等時，不能盲目套用拋物線定義．10．已知圓C的方程，求與y軸相切且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程．【答案】或．【解析】設(shè)P點坐標為(x，y)，動圓的半徑為R，∵動圓P與y軸相切，∴，∵動圓與定圓C：外切，∴，∴．當點P在y軸右側(cè)，即x＞0時，，點P的軌跡是以(5，0)為焦點的拋物線，則圓心P的軌跡方程為；當點P在y軸左側(cè)，即x＜0時，，此時點P的軌跡是x軸的負半軸，即方程．故點P的軌跡方程為或．【名師點睛】拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以轉(zhuǎn)化為利用拋物線的定義求解，利用拋物線的定義求解的關(guān)鍵是找到條件滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離，需要依據(jù)條件進行轉(zhuǎn)化．易錯點11忽略拋物線的焦點所在位置的討論設(shè)拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程.【錯解】易知準線方程為x＝－eq\f(m,4)，因為準線與直線x＝1的距離為3，所以準線方程為x＝－2，所以－eq\f(m,4)＝－2，解得m＝8，故拋物線方程為y2＝8x.【錯因分析】題目條件中未給出m的符號，當m>0或m<0時，拋物線的準線是不同的，錯解中考慮問題欠周到．【試題解析】當m>0時，準線方程為x＝－eq\f(m,4)，由條件知1－(－eq\f(m,4))＝3，所以m＝8.此時拋物線方程為y2＝8x；當m<0時，準線方程為x＝－eq\f(m,4)，由條件知－eq\f(m,4)－1＝3，所以m＝－16，此時拋物線方程為y2＝－16x.所以所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x.【參考答案】y2＝8x或y2＝－16x.1．拋物線的四種標準方程與對應(yīng)圖形如下表所示：圖形標準方程焦點坐標準線方程注：拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義是：拋物線的焦點到準線的距離，所以p的值永遠大于0．2．求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標，一般有兩種標準方程.11．頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當焦點在軸上時，設(shè)方程為，將代入得，；當焦點在軸上時，設(shè)方程為，將代入得，．故選C．本題若只考慮焦點在x軸的負半軸上的情況，而忽略了焦點也可能在y軸的正半軸上的情況，則會出現(xiàn)漏解．易錯點12忽略直線與拋物線有一個公共點的特殊情況求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程．【錯解】當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由消去x，得，則，解得．故所求直線l的方程為或．【錯因分析】錯解中忽略了與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線有一個公共點，故產(chǎn)生漏解．【試題解析】當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)l：，當時，直線l的方程為，此時直線l與拋物線只有一個公共點．當時，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得，則，解得，此時直線l的方程為或．綜上，直線l的方程為或或．【參考答案】直線l的方程為或或．直線與拋物線公共點的個數(shù)等價于方程組的解的個數(shù)．（1）若，則當時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當時，直線和拋物線相離，無公共點．（2）若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．特別地，當直線l的斜率不存在時，設(shè)，則當時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線l與拋物線相切，有一個公共點；當時，直線l與拋物線相離，無公共點．12．“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線與拋物線相切”可得“直線與拋物線只有一個公共點”，“直線與拋物線只有一個公共點”時，直線可能與對稱軸平行，此時不相切，故“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的充分不必要條件．故選A．本題易忽略直線平行于拋物線的對稱軸時，直線與拋物線也只有一個交點,而漏掉k=0.一、曲線與方程1．求曲線方程的步驟求曲線的方程，一般有下面幾個步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件p的點M的集合；（3）用坐標表示條件p(M)，列出方程；（4）化方程為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．一般地，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫．若遇到某些點雖適合方程，但不在曲線上時，可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程．2．兩曲線的交點（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應(yīng)該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．（2）兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題.二、橢圓1．橢圓的定義平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.定義式：.要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.2．橢圓的標準方程焦點在軸上，；焦點在軸上，.說明：要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓方程的標準形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.3．橢圓的幾何性質(zhì)標準方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)圖形范圍，，對稱性對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點焦點左焦點F1(－c，0)，右焦點F2(c，0)下焦點F1(0，－c)，上焦點F2(0，c)頂點軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，長半軸長為a，短半軸長為b離心率e橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不三、雙曲線1．雙曲線的定義（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．（2）符號語言：.（3）當時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；當時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；當時，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；當時，動點軌跡不存在．2．雙曲線的標準方程（1）焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為(a＞0，b＞0)，焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且.（2）焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為(a＞0，b＞0)，焦點分別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且．3．雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形范圍，，對稱性對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點焦點左焦點F1(－c，0)，右焦點F2(c，0)下焦點F1(0，－c)，上焦點F2(0，c)頂點軸線段A1A2是雙曲線的實軸，線段B1B2是雙曲線的虛軸；實軸長|A1A2|＝2a，虛軸長|B1B2|＝2b漸近線離心率e在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用．4．等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)：（1）方程形式為；（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角；（3）實軸長和虛軸長都等于，離心率．1．求雙曲線的離心率一般有兩種方法：（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即.（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進行取舍.2．求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時，注意雙曲線上的點到焦點的距離的最值的應(yīng)用.四、拋物線1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．拋物線關(guān)于過焦點F與準線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸．注意：直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線．2．拋物線的標準方程（1）頂點在坐標原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標準方程為；（2）頂點在坐標原點，焦點在x軸負半軸上的拋物線的標準方程為；（3）頂點在坐標原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標準方程為；（4）頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線的標準方程為.注意：拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離，所以p的值永遠大于0，當拋物線標準方程中一次項的系數(shù)為負值時，不要出現(xiàn)p＜0的錯誤.3．拋物線的幾何性質(zhì)標準方程圖形幾何性質(zhì)范圍對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱焦點準線方程頂點坐標原點(0，0)離心率4．拋物線的焦半徑拋物線上任意一點與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑．根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程焦半徑公式5．拋物線的焦點弦拋物線的焦點弦即過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦．焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點弦，，，則拋物線方程焦點弦公式其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于A，B兩點的線段AB，稱為拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為2p．1．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，即或，使問題簡化．2．有關(guān)拋物線上一點M到拋物線焦點F和到已知點E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點E作準線l的垂線，其與拋物線的交點到拋物線焦點F和到已知點E的距離之和是最小值.五、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．曲線的交點在平面直角坐標系xOy中，給定兩條曲線，已知它們的方程為，求曲線的交點坐標，即求方程組的實數(shù)解.方程組有幾組實數(shù)解，這兩條曲線就有幾個交點.若方程組無實數(shù)解，則這兩條曲線沒有交點.2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線相交時，直線與橢圓有兩個公共點，與雙曲線、拋物線有一個或兩個公共點.（1）直線與橢圓有兩個交點相交；直線與橢圓有一個交點相切；直線與橢圓沒有交點相離.（2）直線與雙曲線有兩個交點相交.當直線與雙曲線只有一個公共點時，除了直線與雙曲線相切外，還有可能是直線與雙曲線相交，此時直線與雙曲線的漸近線平行.直線與雙曲線沒有交點相離.（3）直線與拋物線有兩個交點相交.當直線與拋物線只有一個公共點時，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物線相交，此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.直線與拋物線沒有交點相離.3．弦長的求解（1）當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解；（2）當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個不同的點，則弦長.（3）當弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.4．中點弦問題（1）AB為橢圓的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.（3）在拋物線中，以M(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率.1．（2018新課標全國Ⅰ文）已知橢圓的一個焦點為，則的離心率為A． B．C． D．【答案】C2．（2018浙江）雙曲線的焦點坐標是A．(?，0)，(，0) B．(?2，0)，(2，0)C．(0，?)，(0，) D．(0，?2)，(0，2)【答案】B【解析】設(shè)的焦點坐標為，因為，，所以焦點坐標為，故選B．3．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，故選A．4．（2018新課標全國Ⅱ文）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A． B．C． D．【答案】D5．“”是“曲線=為雙曲線”的A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時,=,故方程是雙曲線方程.當原方程為雙曲線方程時,有,學@#科網(wǎng)由以上說明可知“”是“曲線=為雙曲線”的充分而不必要條件,故選A．6．頂點在坐標原點,對稱軸為坐標軸,又過點的拋物線方程是A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】(1)拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸是x軸,并且經(jīng)過點(?2,3),設(shè)它的標準方程為y2=?2px(p>0)，∴9=4p,解得p=,∴.(2)拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(?2,3),設(shè)它的標準方程為x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得p=.∴.∴拋物線方程是或.故選D．7．已知點及拋物線上一動點,則的最小值為A． B．C． D．【答案】C8．已知雙曲線的左、右焦點分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為,則此雙曲線方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】∵雙曲線的左、右焦點分別為,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(1,2),∴c==,∴a2+b2=5,①又點(1,2)在y=x上,∴,②由①②解得a=1,b=2,∴雙曲線的方程為．故選B．9．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B．C． D．【答案】D10．（2018新課標全國Ⅲ文）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B．C． D．【答案】D【解析】，，所以雙曲線的漸近線方程為，所以點到漸近線的距離，故選D．學科@！#網(wǎng)11．設(shè)拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于，兩點，則A．5 B．6C．7 D．8【答案】D12．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為A．2 B．C． D．【答案】A【解析】由幾何關(guān)系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．13．已知雙曲線，為坐標原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若為直角三角形，則A． B．3C． D．4【答案】B【解析】由題可知雙曲線的漸近線的斜率為，且右焦點為，從而可得，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，，所以，故選B．14．（2018天津文）已知雙曲線的離心率為，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點．設(shè)，到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】A15．已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A．16．已知F為拋物線C：的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14C．12 D．10【答案】A【名師點睛】對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，將到定點的距離轉(zhuǎn)化到準線上；另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握．考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決．此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以．17．橢圓=和雙曲線=的公共焦點為是兩曲線的一個交點,那么的值是________________．【答案】【解析】不妨設(shè)點P是第一象限的點,18．（2018北京文）若雙曲線的離心率為，則________________．【答案】【解析】在雙曲線中，且，所以，即，因為，所以．19．（2018江蘇）在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________________．【答案】【解析】因為雙曲線的焦點到漸近線，即的距離為，所以，因此，，．20．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為________________；雙曲線的離心率為________________．【答案】 21．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則________________．【答案】【解析】如圖所示，不妨設(shè)點M位于第一象限，設(shè)拋物線的準線與軸交于點，作于點，于點，由拋物線的解析式可得準線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故．【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．22．已知A,B是直線y=-2上的兩動點,∠AOB=(O為坐標原點),則外心M的軌跡方程為________________．【答案】(y+4)2-x2=8(y≥2-4)【解析】設(shè)M(x,y),過M作MN⊥AB,交AB于點N,由外心的性質(zhì)得∠AMN=,cos,整理得(y+4)2-x2=8(y≥2-4).故外心M的軌跡方程為(y+4)2-x2=8(y≥2-4).學@#科網(wǎng)23．已知拋物線C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是拋物線上的點.若存在斜率為-2的直線l與拋物線C有公共點,且點A到直線l的距離等于,則直線l的方程是________________．【答案】2x+y-1=024．（2018浙江）已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大．【答案】【解析】設(shè)，，由得，，所以，因為，在橢圓上，所以，，所以，所以，與對應(yīng)相減得，，當且僅當時取最大值．【名師點睛】解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.25．若一個動點P(x,y)到兩個定點F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離之差的絕對值為定值m(0≤m≤2)，求動點P的軌跡方程.【答案】見解析26．已知雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點為(0,3)，求k的值.【答案】－1【解析】將雙曲線方程化為kx