備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第二課時(shí)-利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

第二課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題角度一根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是()1.涉及與極值有關(guān)的函數(shù)圖象問題,首先要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象,若給的是f(x)的圖象,應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn),如果給的是f′(x)的圖象,應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正,然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解.2.f(x)在x=x0處有極值時(shí),一定有f′(x0)=0,f(x0)可能為極大值,也可能為極小值,應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x=x0兩側(cè)的符號(hào)后才可下結(jié)論;若f′(x0)=0,則f(x)不一定在x=x0處取得極值,只有確認(rèn)x1<x0<x2時(shí),f(x1)·f(x2)<0,才可確定f(x)在x=x0處取得極值.角度二求函數(shù)的極值函數(shù)f(x)=x22利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,首先是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值,也就是f′(x)的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么y=f(x)在這個(gè)點(diǎn)處取極大值,如果左負(fù)右正,那么y=f(x)在這個(gè)點(diǎn)處取極小值.如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)點(diǎn)處無極值.角度三已知極值點(diǎn)求參數(shù)(范圍)已知函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex在x=1處取得極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.已知函數(shù)的極值點(diǎn)x=x0求參數(shù)的值時(shí),首先明確f′(x0)=0,然后判斷函數(shù)在x=x0左右的函數(shù)值的符號(hào)是否滿足函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì),若是涉及參數(shù)的討論,則還要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)分類討論,一般是將導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)用參數(shù)表示出來,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系分類討論后求解.角度四已知極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)f(x)=ex-1x已知函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.解決此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題求解.角度五討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R).討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由.討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),而討論變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),常常利用數(shù)形結(jié)合法,將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題,需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用圖象討論滿足條件的參數(shù)范圍.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,那么()A.-1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)B.1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)C.2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)D.函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)2.(2021·河北邯鄲一中月考)若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則a的值為()A.-1 B.0 C.1 D.e3.(2021·貴州遵義高三期中)若函數(shù)f(x)=13x3-ax2A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)4.(2021·皖豫名校聯(lián)盟體高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)=(x+1)ex-32x2-6x+1e25.已知函數(shù)f(x)=xln(2x)-ax2-x(a∈R),討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.[典例遷移](變結(jié)論)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m∈R).若m>0,且f(x)在121.求解函數(shù)y=f(x)在給定閉區(qū)間[a,b]上的最值問題,應(yīng)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的大小確定函數(shù)的最值(若函數(shù)值的大小不能確定,則需要利用作差比較法比較其大小);若所給的閉區(qū)間[a,b]含有參數(shù)或函數(shù)解析式含有參數(shù),則需通過對(duì)參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.2.已知函數(shù)的最值求參數(shù),通法是直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),這種方法一般需要較為復(fù)雜的討論;巧法是利用最值的定義通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題.[針對(duì)訓(xùn)練]已知f(x)=ax-lnx,a∈R,是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用南半球某地區(qū)冰川的體積每年隨時(shí)間而變化,現(xiàn)用t表示時(shí)間,以月為單位,年初為起點(diǎn),根據(jù)歷年的數(shù)據(jù),冰川的體積(億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系為V(t)=-(1)該冰川的體積小于100億立方米的時(shí)期稱為衰退期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),問一年內(nèi)哪幾個(gè)月是衰退期?(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本方法(1)將實(shí)際問題利用函數(shù)進(jìn)行抽象表達(dá),并注意函數(shù)定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題.(3)根據(jù)函數(shù)的最值得到優(yōu)化問題的答案.提醒:用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí),如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么依據(jù)實(shí)際意義,該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).[針對(duì)訓(xùn)練]已知某服裝廠每天的固定成本是30000元,每生產(chǎn)一件服裝,成本增加100元,每天最多可以生產(chǎn)m件.生產(chǎn)x件服裝的收入函數(shù)是R(x)=-13x2+400x(x>0),記L(x),P(x)分別為每天生產(chǎn)x件服裝的