2024-2025學(xué)年北京石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)（含答案）

第2頁/共9頁2025北京石景山高二（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共5頁，滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘。請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）直線的傾斜角為（A） （B） （C） （D）（2）雙曲線的漸近線方程為（A） （B） （C） （D）（3）已知兩條不同直線與兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是（A）若，則 （B）若，則（C）若，則 （D）則（4）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（A） （B）（C）或 （D）或（5）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（6）如圖所示，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（A） （B）（C） （D）（7）在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（A） （B） （C） （D）（8）在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（A）圓 （B）橢圓 （C）拋物線 （D）直線（9）在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（A） （B） （C） （D）（10）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（A）兩個(gè)點(diǎn)（B）線段（C）圓的一部分（D）拋物線的一部分第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。（11）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn),則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是___________．（12）點(diǎn)到直線的距離為__________.（13）若直線與直線平行，則的值為___________．（14）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為，則_______．（15）如圖所示，在四面體中，，截面是矩形，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面平面；②∥平面；③平面平面；④平面．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

三、解答題共5小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題6分）在中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，求的外接圓方程．（17）（本小題8分）如圖，在三棱柱中，底面，底面為等邊三角形，,分別為,的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面．（18）（本小題8分）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；（Ⅱ）若的面積為，求的值．

（19）（本小題9分）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，四邊形為梯形．，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面．（結(jié)論不要求證明）EEDCBAF（20）（本小題9分）已知橢圓，過點(diǎn)，且離心率為.設(shè)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于的一點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：直線與的斜率之積為定值；（Ⅲ）判斷三點(diǎn)是否共線，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D （2）C （3）A （4）C （5）C（6）B （7）D （8）A （9）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）（11） （12）（13） （14）（15）①②③注：（15題未選全給2分）三、解答題（共5小題，共40分）（16）(本小題6分)解：設(shè)的外接圓的方程為（），【1分】則，【4分】解得，所以的外接圓方程為．【6分】（17）(本小題8分)解：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，【1分】則且又且所以四邊形為平行四邊形所以【2分】又平面，平面【3分】所以平面【4分】（Ⅱ）因?yàn)椤偷酌妫酌嫠浴鸵驗(yàn)槿切螢榈冗吶切?所以【5分】又,所以⊥平面【6分】又，所以⊥平面，【7分】而底面，所以平面平面.【8分】（18）(本小題8分)解：（Ⅰ）由題意得，的方程為．設(shè)，由得．【1分】，故．【2分】所以．【3分】當(dāng)時(shí)，．【4分】（Ⅱ）因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離．【5分】所以【6分】化簡得，【7分】解得，即．【8分】（19）(本小題9分)解：（Ⅰ）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以．?分】又因?yàn)?，所以．因?yàn)樗云矫妫?分】所以．【3分】（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．因?yàn)?，所以兩兩垂直．分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)椋?，所以，?分】所以．zDAyDAxDAEDCzDAyDAxDAEDCBAFM則【5分】即令，則，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則．【7分】（Ⅲ）存在【9分】設(shè)，設(shè)，則，所以，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則因?yàn)?，所以令，則，所以．在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得．因?yàn)?，由，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．（20）(本小題9分)解：（Ⅰ）根據(jù)題意可知【1分】解得所以橢圓的方程.【3分】（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為零.設(shè)，則.【4分】則.【5分】因?yàn)椋?所以.所以直線與的斜率之積為定值.【6分】（Ⅲ）三點(diǎn)共線.證明如下：【7分】設(shè)直線的方程為，則直