浙江省寧波市奉化區(qū)2023-2024學年高二上學期期末檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市奉化區(qū)2023-2024學年高二上學期期末檢測數(shù)學試題第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線過點,則此直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知,直線過點,所以直線的斜率為,記直線的傾斜角為,所以,所以.故選：C.2.空間內有三點，，，則點到的中點的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由、可得，故.故選：C.3.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42 C.43 D.45【答案】B【解析】設等差數(shù)列an的公差為，因為，，所以，則.故選：B.4.已知正四棱柱中，，則到平面的距離為（）A.4 B.2C. D.【答案】D【解析】設，連接，由題意，是中點，∴，又，，平面，所以平面，作于點，如圖，則平面，∴，而，平面，所以平面，正四棱柱中，側棱與底面垂直，則必垂直該底面上的直線，中，，，因此，所以，所以到平面的距離為．故選：D．5.已知離心率為2的雙曲線,過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點,設、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和,且,則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設右焦點，依題意F是AB的中點，漸近線為，F(xiàn)到漸近線的距離為，因為、到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，F(xiàn)是AB的中點，所以，所以，故，得，又因為離心率，得，故雙曲線的方程為.故選：A.6.已知是數(shù)列的前n項和，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以當時，.因為，所以.當時，，兩式相減得.因為，所以.因為，所以從第二項起是公比為的等比數(shù)列，所以，所以所以，，所以.故答案為：7.已知，，，其中，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，∴a，b，c的大小比較可以轉化為的大小比較．設，則，當時，，當時，，當時，在上，單調遞減，,∴，∴，故選C．8.已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且,若的內切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可知，即，在中，利用橢圓定義知，由余弦定理得即，整理得易得面積又的內切圓的半徑為，利用等面積法可知，所以由已知，得，則，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得兩邊同除以，則，解得或（舍去）故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列結論正確的是（）A.直線的方向向量，平面的法向量，則B.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C.若直線的方向向量，平面的法向量，若，則實數(shù)D.若，，，則點在平面內【答案】BD【解析】A因為，所以，故A錯誤；B因為，所以，因此，故B正確；C因為，所以，因此，即，故C錯誤；D因為，所以向量共面，即點四點共面，從而點P在平面ABC內，故D正確.故選：.10.已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為4C.以線段為直徑的圓與直線相切D.若，則直線的斜率為1【答案】AC【解析】拋物線：的焦點為，準線，設點，對于A，顯然在拋物線上，則，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，當時，，有，因此當時取得最小值5，B不正確；對于C，，線段AB的中點M縱坐標為，則，顯然點M是以線段為直徑的圓的圓心，點M到直線的距離為，所以圓M與直線相切，C正確；對于D，顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為：，由消去y得：，有，由得：，于是得，解得，D不正確.故選：AC11.已知無窮數(shù)列的前3項分別為2，4，8，…，則下列敘述正確的是（）A.若是等比數(shù)列，則B.若滿足，則C.若滿足，則D.若滿足，則【答案】ACD【解析】選項A，若an是等比數(shù)列，則公比，，A正確；選項BC，若an滿足，則，B錯，C正確；選項D，若an滿足，則，所以時，，又適合上式，因此D正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)的圖象在處切線的斜率為，則下列說法正確的是（）A. B.f(x)在處取得極大值C.當時， D.f(x)的圖象關于點中心對稱【答案】ABD【解析】A：，由題意，得，正確；B：，由得：或，易知在，上，f(x)為增函數(shù)，在上，f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在處取得極大值，正確；C：由B知：，，，故在上的值域為，錯誤；D：令且為奇函數(shù)，則，而g(x)圖象關于中心對稱，所以f(x)關于中心對稱，正確；故選：ABD.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線的焦點為,點為拋物線上一點，則___________.【答案】【解析】因為點為拋物線上一點，所以，解得：.所以焦點.所以.故答案為：14.點到直線距離的最大值______.【答案】【解析】因為直線顯然過點，即，，連接，若，則點到直線的距離為；若不垂直，則點到直線的距離必小于，綜上，點到直線距離最大值.故答案為：.15.如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于已知，，BD=7，則的長為____________.【答案】【解析】由已知，，,，所以，所以,故答案為：16.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,為奇函數(shù)，且則不等式的解集為__________．【答案】【解析】設，則，故單調遞減．

因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，故．

可轉化為，即．

因為單調遞減，所以，解得．

故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知圓的圓心為，且與直線相切.（1）求圓的標準方程；（2）設直線與圓M交于A，B兩點，求AB.解：（1）因為圓心為，所以圓心M到切線的距離=，所以半徑，所以圓M的標準方程為：+；（2）由題可知圓心M到直線的距離=，又由（1）知半徑，所以=，所以AB=．18.已知等差數(shù)列的前n項和為，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）設數(shù)列an的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，，兩式相減得：，所以.19.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當時，求二面角的余弦值.解：（1）因為底面，平面，所以.四邊形是直角梯形，，，因為，所以.所以，所以.又因為，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設點的坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設平面的一個法向量為，則，取，則，得.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點，連接，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設點的坐標為，因為，所以，即，所以.所以.設平面的一個法向量為，則.取，則，則.又因為平面，所以平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為.20.牧草再生力強，一年可收割多次，富含各種微量元素和維生素，因此成為飼養(yǎng)家畜的首選.某牧草種植公司為提高牧草的產(chǎn)量和質量，決定在本年度(第一年)投入80萬元用于牧草的養(yǎng)護管理，以后每年投入金額比上一年減少，本年度牧草銷售收入估計為60萬元，由于養(yǎng)護管理更加精細，預計今后的牧草銷售收入每年會比上一年增加.（1）設n年內總投入金額為萬元，牧草銷售總收入為萬元，求的表達式；（2）至少經(jīng)過幾年，牧草銷售總收入才能超過總投入?()解：（1）由題知，每年的追加投入是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，；同理，每年牧草收入是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）設至少經(jīng)過年，牧草總收入超過追加總投入，即，即，令，則上式化為，即，解得，即，所以，，即，所以.所以，至少經(jīng)過年，牧草總收入超過追加總投入.21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）求證：當時，．解：（1）因為，所以．①當時，在單調遞減；②當時，由得，由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）當時，，要證明，只要證，即證，設，則，令得，列表得a10單調遞減極小值單調遞增所以，即，所以．22.已知橢圓離心率等于，長軸長為4.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與軌