浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（暑假返校考）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（暑假返校考）數(shù)學試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方．3．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，所以.故選：B．2.的展開式中項的系數(shù)是（）A.672 B. C.84 D.【答案】D【解析】由題意可知：的展開式通項為，令，解得，所以項的系數(shù)是.故選：D．3.已知等差數(shù)列前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，由，得.故選：D4.已知隨機變量的分布列如下表所示，則（）123A. B. C. D.【答案】C【解析】由分布列可得，解得，則，所以.故選：C．5.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B6.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，由的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，得，所以.故選：C7.若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的余弦值為，則此圓臺與其內(nèi)切球的體積之比為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】將圓臺母線延長交于點S，得圓錐，作圓錐的軸截面，等腰梯形為圓臺的軸截面，截內(nèi)切球得大圓，并且是梯形的內(nèi)切圓，令切圓于，如圖，設(shè)底面圓直徑，依題意，，，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，，，，于是，且為的中點，而內(nèi)切球體積，圓臺的體積,所以圓臺與其內(nèi)切球的體積比為.故選：A8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，依題意，在上有解，記，，因此函數(shù)在上的圖象有公共點，，如圖，當時，，顯然函數(shù)在上的圖象無公共點，當時，函數(shù)圖象都關(guān)于對稱，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知正實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于選項A：若，則，則，故A錯誤；對于選項B：因為，設(shè)，則，又，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為，即，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以，故D正確．故選：BCD.10.若直線與圓交于不同的兩點為坐標原點，則（）A.當時，B.的取值范圍為C.D.線段中點的軌跡長度為【答案】AC【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑為，且直線過定點O0,0，設(shè)線段中點為M，對于選項A：當時，則直線為，即，圓心到直線的距離為，所以，故A正確；對于選項B：因為，因為點不重合，所以，故B錯誤；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為線段中點滿足，設(shè)的中點為，圓C與x、y分別切于點、，可知圓過點、，且，可知點的軌跡是以為直徑的半圓（除去），所以軌跡長為，故D錯誤．故選：AC.11.若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最大值為2B.若，則函數(shù)為奇函數(shù)C.存，使得D.若，則【答案】ACD【解析】因為，可知的定義域為，對于選項A：當時，，可得，當且僅當時，等號成立，所以函數(shù)的最大值為2，故A正確；對于選項B：當時，則，令，則，可得，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：當時，，則，且對任意，則，所以，故C正確．對于選項D：因為，若，可得，則，解得，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，共15分．12.已知是兩個單位向量，若，則向量夾角的余弦值為______．【答案】【解析】由，得，則．故答案為：13.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】設(shè)，則，，解得，由，得，解得，又，所以.故答案為：14.如圖，設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點為，過作傾斜角為的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線【答案】【解析】令雙曲線右焦點為，半焦距為，設(shè)，則，由雙曲線定義得，，由直線傾斜角為，得，由余弦定理得，即，整理得，于是，，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知三棱錐底面，點是的中點，點為線段上一動點，點在線段上.（1）若∥平面，求證：為的中點；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連結(jié)，因為∥平面平面，平面平面，則，又因為是的中點，所以是中點.（2）解：方法一：因為底面，如圖建立坐標系，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，因此直線與平面所成角的正弦值為；方法二：取中點，因為，則，因為底面，底面，則，且，，平面，則平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即直線與平面所成角，且則.所以直線與平面所成角的正弦值為；方法三：設(shè)到平面的距離為，可得，則，即，解得，則，所有直線與平面所成角的正弦值.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.（1）若，求；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.解：（1）因為，由正弦定理可得，則，整理得，因為，則，則，即，由，得，則，．（2）因為是銳角三角形，則，解得，則，由正弦定理得，得，可得，所以的取值范圍為.17.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段（1）求橢圓的方程；（2）延長交橢圓于，若，求直線的方程.解：（1）由條件得，即，則，則，，解得，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知：，則，且直線與橢圓必相交，若直線的斜率不存在，可知，聯(lián)立方程，解得，不妨取，則，可得，不合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線，則，，與橢圓聯(lián)列方程得，消去y得，可得，則，可得，解得所以直線的方程為；綜上所述：直線的方程為.18.已知函數(shù)；（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；（2）若不等式當且僅當在區(qū)間上成立；求的最大值（3）實數(shù)滿足，求證：．（1）解：，令，令，得，當時，，當時，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值．（2）解：，得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可得在上單調(diào)遞增；易知在處的切線方程為，即；若不等式當且僅當在區(qū)間上成立；結(jié)合及的圖象可知，需滿足，可得，．于是，易知當時，取得最大值，故．（3）證明：左邊：作差；因為，令，則；令當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，因此，所以，即，故；對于右邊令，令，則恒成立；所以在上單調(diào)遞減，可得，即，所以，即，即，故．綜上得．19.混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學模型中，假設(shè)在一個混沌系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)值滿足，已知初始狀態(tài)值，其中