上海市徐匯區(qū)2025屆高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市徐匯區(qū)2025屆高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）2024.12一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】不等式化為，解得，不等式的解集為.故答案為：.2.已知函數(shù)，其中，則__________.【答案】0【解析】由解析式知.故答案為：03.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則正整數(shù)的值為_(kāi)_________.【答案】5【解析】因?yàn)?，且各?xiàng)系數(shù)和為32，令，則，解得，所以正整數(shù)的值為5.故答案為：5.4.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.【答案】-2【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：-25.設(shè).若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可知，再由，所以，故答案為：1.6.已知為空間中兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，若，則是的__________條件.（填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個(gè)）【答案】充要【解析】充分性：因?yàn)?，所以共面，又因?yàn)闉閮蓚€(gè)不同的平面，，所以，所以，故充分性成立；必要性：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故必要性成立，所以是充要條件.故答案為：充要.7.某景點(diǎn)對(duì)30天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬(wàn)人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的第75百分位數(shù)是__________.【答案】51【解析】因?yàn)?，所以該樣本的?5百分位數(shù)是按照從小到大的順序排列的第個(gè)數(shù)，即為.故答案為：.8.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，則.故答案為：.9.設(shè)，若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)y=fx所以在內(nèi)有兩個(gè)不等根，設(shè)，，則只需g(0)>0Δ>0-所以，則的取值范圍為.故答案為：10.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且，若此橢圓的離心率為，則的大小為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖，設(shè)，則，因，故，由余弦定理，，即，將代入，整理得：，解得，則有，，由正弦定理：，即，解得，因，故.故答案為：.11.徐匯濱江作為2024年上海國(guó)際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見(jiàn)容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長(zhǎng)的總和為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)上面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，上面半徑為下半圓半徑為高為，根據(jù)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)公式，帶入數(shù)值計(jì)算得到；設(shè)下面圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，上面半徑為下半圓半徑為由于兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等，可以得到，帶入數(shù)值計(jì)算得到；所以該花盆上?下兩部分母線長(zhǎng)的總和為.故答案為：12.已知定義域?yàn)楹瘮?shù)的值域也是，所有這樣的函數(shù)形成全集.設(shè)非空集合且中的每一個(gè)函數(shù)都是中的兩個(gè)函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函數(shù)，則集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)y=fx的值域也是，所以這樣的不同的函數(shù)有個(gè)，所以集合有6個(gè)不同的元素，又非空集合，且，又中的每一個(gè)函數(shù)都是中的兩個(gè)函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函數(shù)，若中只有1個(gè)函數(shù)，則中有5個(gè)函數(shù)，又中函數(shù)與自身的復(fù)合函數(shù)只能表示一個(gè)函數(shù)，故不能得到中5個(gè)函數(shù)，不符合題意，若中只有2個(gè)函數(shù)，則中有4個(gè)函數(shù)，若中2個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有，如果這4個(gè)函數(shù)是中4個(gè)函數(shù)時(shí)，符合題意，此時(shí)只需驗(yàn)證即可.6個(gè)不同函數(shù)為，，，，，若，此時(shí)，，，，，所以集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為2.故答案為：2.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.下列拋物線中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.14.一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過(guò)重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）A.40個(gè) B.45個(gè) C.50個(gè) D.55個(gè)【答案】B【解析】設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，由題意可得：，解得：.故選：B15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.若函數(shù)是偶函數(shù)且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為取值的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則f-x=f所以可知導(dǎo)函數(shù)y=f由于函數(shù)y=fx與它的導(dǎo)函數(shù)y=f'所以，又因?yàn)閥=f'x在所以y=f'x由于y=fx則y=f'x即y=fx在0,+故AC顯然錯(cuò)誤，而D的變化率越來(lái)越小，所以只能選B，故選：B.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（為正整數(shù)）.若存在常數(shù)，使得任意兩兩不相等的正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列為“輪換均值數(shù)列”.現(xiàn)有下列兩個(gè)命題：①任意等差數(shù)列都是“輪換均值數(shù)列”.②存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列”.則下列說(shuō)法正確的是（）A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題C.①?②都是真命題D.①?②都是假命題【答案】A【解析】對(duì)于①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，代入可得，即可得到，①正確；對(duì)于②，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，代入，可得要使其為常數(shù)，化簡(jiǎn)后會(huì)發(fā)現(xiàn)很難對(duì)于任意的都滿足為常數(shù)（因?yàn)楣龋什淮嬖诠炔粸?的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列.②不正確.故選：A三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對(duì)任意的，都有.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的值.解：（1），由的最小正周期為，知，，∴.（2）由（1）可得：，，或，即或，，又，則不妨令，故.18.如圖，在四棱錐中，.為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成角的大小為.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形.所以，又平面不在平面上，由線面平行的判定定理知，平面.（2）解：方法一：因?yàn)?，即，且異面直線與所成的角為，即，又平面平面，又，由三垂線定理可得，因此是二面角的平面角，，所以，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，（其中，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.方法二：過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，由（1）知：，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又是在平面上的射影，由三垂線定理知，，又，所以平面，再過(guò)作，交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又，所以平面，所以即為直線與平面的所成角，因?yàn)槠矫?，由三垂線定理，因此是二面角的平面角，，設(shè)，則，因?yàn)樗运倪呅螢檎叫危?，所以，所以，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.19.某企業(yè)招聘員工，指定“英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)”?“信息技術(shù)”?“邏輯推理”作為三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門(mén)課程的考試，至少有兩門(mén)及格為通過(guò)；方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，并參加這兩門(mén)課程的考試，兩門(mén)都及格為通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是.，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率和選方案二考試通過(guò)的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由.解：（1）記該應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的事件分別為，則.應(yīng)聘者選方案一考試通過(guò)的概率應(yīng)聘者選方案二考試通過(guò)概率（2），因?yàn)?，所?即.故，即選方案一，該應(yīng)聘者考試通過(guò)的概率較大.20.已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，所以雙曲線的方程為，即.（2）證明：由(1)可知，的斜率存在且不為0，所以設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，所以，且，所以，所以，即得證.（3）解：由(2)可知恒成立，，所以圓心到的距離，半徑，設(shè)所對(duì)圓心角為，則，因?yàn)闉榱踊?，所以，所以，所以，即所?duì)圓心角的大小為定值.21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=fx，其導(dǎo)函數(shù)為y=f'x，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)y=f'x圖象上，且滿足，則稱為函數(shù)y=fx的一個(gè)“類數(shù)”，函數(shù)y=fx的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“（1）若，分別判斷和是否為函數(shù)y=fx的“類數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)y=f'x的圖象在R上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)y=fx的“類集”為集合，若，求證：；（3）已知，若函數(shù)y=fx的“類集”為R時(shí)的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時(shí)的最大值.（1）解：，是函數(shù)的“類數(shù)”；，不是函數(shù)的“類數(shù)”.（2）證明：因