陜西省渭南市大荔縣2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市大荔縣2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知點，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：A.2.已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點的橫坐標為，拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.故選：C.3.下列有關(guān)樣本線性相關(guān)系數(shù)r的說法不正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)可用來衡量與之間的線性相關(guān)程度 B.，且越接近0，相關(guān)程度越小C.，且越接近1，相關(guān)程度越大 D.，且越接近1，相關(guān)程度越大【答案】D【解析】相關(guān)系數(shù)是來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度的，線性相關(guān)系數(shù)是一個絕對值小于等于1的量，并且它的絕對值越大就說明相關(guān)程度越大，所以不正確的只有D.故選：D.4.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底．其中說法正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】對于①，當與的夾角為，滿足，所以①錯誤；對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構(gòu)成空間的另一個基底，所以④正確.故選：B.5.根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地4月份的任一天刮東風的概率為，下雨的概率為，既刮東風又下雨的概率為．則4月8日這一天，在刮東風的條件下下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，設(shè)事件表示吹東風，事件表示下雨，則，，，所以在吹東風的條件下下雨的概率為．故選：D．6.數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學思想”,“世界數(shù)學通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學科分成三組共種不同方式.再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學的不同選修方式有種，故選：B.7.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在“鱉臑”中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，“鱉臑”是由正方體的四個頂點構(gòu)成的，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，則，，，，，則，，，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為．故選：B．8.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，雙曲線的一條漸近線是，則它與橢圓在第一象限的交點記為A，橢圓的左右焦點記為F1、F2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知是直角三角形，且設(shè)，所以.由橢圓的定義，得出，所以橢圓的離心率．故選:B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知圓和圓相交于A，兩點，則下列說法正確的是（）A.B.直線方程為C.線段的長為D.到直線的距離與到直線的距離之比為【答案】ABC【解析】對于A項，因為兩個圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B項，因為圓和圓相交于A，兩點，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；對于C項，圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對于D項，因為圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯誤．故選：ABC．10.下列結(jié)論正確的是（）A.若隨機變量，則B.已知隨機變量X，Y滿足,若，則，C.有8名學生，其中5名男生，從中選出4名學生，選出的學生中男生人數(shù)為，則其數(shù)學期望D.離散型隨機變量服從兩點分布，且，則【答案】ABD【解析】對于A：因為，則正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所以，故A正確；對于B：因為，所以，，又，所以，所以，，即B正確；對于C：依題意的可能取值為、、、，則，，，，所以，故C錯誤；對于D：因為且，解得，故D正確；故選：ABD11.如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點，其他四個面均為矩形，，，，下列說法不正確的是（）A.該幾何體是四棱臺B.該幾何體是棱柱，平面是底面C.D.平面與平面的夾角為【答案】ABC【解析】因為四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點，其他四個面均為矩形，所以這個六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B錯誤；由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，所以，不垂直，故C錯誤；根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個法向量，，設(shè)為平面的法向量，則有則可取，則，所以平面與平面的夾角為，故D正確．故選：ABC12.已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】當時，直線與另一條漸近線平行，所以．當時，如圖1，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由，得，則，所以，則，，所以，則，．當時，如圖2，過作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，由，得，則，則，所以，則，，所以，則，．綜上，的離心率為或．故選:AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線經(jīng)過點，且斜率為，則直線的一個方向向量為______.【答案】（答案不唯一）【解析】不妨令直線的一個方向向量為，則，所以可以取，則，此時直線的一個方向向量為（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）14.展開式中項的系數(shù)為______.【答案】240【解析】由二項式的展開式的通項為，當時，可得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.已知向量，，，，則與的夾角為______．【答案】【解析】因為，所以，則，即，又，，，所以，解得，所以，又，故.故答案為：.16.《九章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離記為,雙曲線的兩條漸近線與直線,以及雙曲線的右支圍成的圖形(如圖中陰影部分所示)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意知漸近線方程為，右焦點為，所以，由，得，由，得，所以截面面積為，由題知，陰影部分繞y軸轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面積與截面面積相等，高為2的圓柱的體積，∴，即，所以，即，∴，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）已知直線經(jīng)過點，在兩坐標軸上的截距都不等于零，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程；（2）求以為圓心，且與圓相外切的圓的方程．解：（1）依題意，設(shè)直線的方程為，由該直線過點可得，解得，所以該直線的方程為，即．（2）設(shè)所求圓的方程為，因為兩個圓的圓心距，又兩個圓外切時滿足，故，所以所求圓的方程為.18.一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響．假設(shè)該時刻有部電話占線．試求隨機變量的概率分布和它的期望．解：設(shè)該時刻有部電話占線，則可取，，，，，又，所以隨機變量的概率分布列為：012340.090.30.370.20.04所以期望.19.已知橢圓：（）的左焦點為，短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）過點、斜率為1的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點，求的面積．解：（1）由題設(shè)知，所以，于是橢圓的方程為；（2）依題意，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，解得或，所以的面積.20.2023年12月大荔縣某高中數(shù)學社團在寶塔文殊廣場對人們的休閑方式進行了一次調(diào)查．共調(diào)查了124人，其中男性54人，女性70人．男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動；女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依題意建立列聯(lián)表為性別看電視運動總計女432770男213354總計6460（2）計算．因為，所以有的把握判斷休閑方式與性別有關(guān)．21.如圖，在長方體，中，，點E在棱上移動．（1）證明：；（2）當E為的中點時，求點E到面的距離；解：（1）在長方體中，有平面，又平面，，又，四邊形為正方形，又平面平面，平面（2）設(shè)點到面的距離為，在中，，，故，而．又，，．∴點E到面的距離為.（3）過作于，連、，由平面ABCD，且，可得，則，為二面角的平面角．設(shè)，則，在△中，，，在中，，在中，，在中，在中．．時，二面角的大小為．22.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.（1）求動點的軌跡方程；（2）設(shè)是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個定點，并求