弧度制及其與角度制的換算高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

7.1.2弧度制及其與角度制的換算人教B版(2019)必修第三冊1.了解弧度制，能熟練地進(jìn)行弧度制與角度制之間的換算．2.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式．如圖是一種折疊扇.折疊扇打開、合攏的過程可以抽象成扇形圓心角的變大、變小.那么在這個過程中，扇形的什么量在發(fā)生變化？什么量沒發(fā)生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？變化的量：弧長、圓心角；沒有變化的量：半徑.問題：是否可以用弧長來度量圓心角呢？60°的圓心角，半徑r為1，2，3，分別計算對應(yīng)的弧長l，再計算弧長與半徑的比.猜想：圓心角不變，則弧長與半徑的比值不變.問題一般化問題1：觀察下面兩圖，弧AB與弧A'B'都與什么有關(guān)？將折疊扇抽象為如圖所示的圖形，可以看成弧AB與弧A'B'都與角α對應(yīng)，但α≠0時，它們的弧長

與

始終不相等，其原因在于OA≠OA'.問題一般化問題2：那弧長與半徑的比值有什么關(guān)系呢？事實上，設(shè)α=n°，弧AB的長為l，半徑OA=r，則

，因此

.這個等式右邊不包含半徑，這表示弧長比半徑的值不依賴于半徑，而只與α的大小有關(guān).1.弧度數(shù)定義：弧長與半徑比值的這個常數(shù)為圓心角的弧度數(shù).2.1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角,記作1rad.

以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制.如圖，因為

的長度等于r，所以

所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角.問題3：通過對比角度制與弧度制的區(qū)別與聯(lián)系，完成下列表格.弧度制角度制區(qū)別聯(lián)系無論弧度制還是角度制，角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值弧度制以線段長度來度量角角度制是“以角量角”弧度制是十進(jìn)制角度制是六十進(jìn)制1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角的大小

問題4：按照定義，一個周角對應(yīng)的弧度數(shù)應(yīng)是多少？弧度與角度如何互化呢？答：因為半徑為r的圓周長為2πr，所以圓周的弧度數(shù)是

，于是360°=2πrad.180°=πrad角度與弧度的互化思考：某同學(xué)表示與30°角終邊相同的角的集合時寫成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，這種表示正確嗎？為什么？

例1

用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．

歸納總結(jié)

常用角的弧度數(shù)表示一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度0

π

2π

角度制弧度制弧長公式扇形面積公式

l

=|α|·R

若用R

表示圓的半徑，n（0＜n＜360°），α（0＜α＜2π）為圓心角，l是扇形弧長，S

是扇形面積；結(jié)合前面所學(xué)，完成下面的表格：

1.應(yīng)注意結(jié)果是圓心角的絕對值，具體應(yīng)用時既要注意其大小，又要注意其正負(fù)．2.若已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計算，否則結(jié)果出錯．例3

設(shè)扇形的周長為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(

)A．1radB．2radC．3radD．4rad

B例4

已知扇形的周長為20cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？

C2.已知扇形周長為6cm，面積為2cm2，則扇形圓心角的弧度數(shù)為(

)