九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)一元二次方程實(shí)際應(yīng)用講解

九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)一元二次方程實(shí)際應(yīng)用講解一、一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的重要性一元二次方程在我們的日常生活和學(xué)習(xí)中有著非常重要的意義。它就像一把神奇的鑰匙，可以幫助我們解決很多實(shí)際的問(wèn)題。比如說(shuō)，在建筑工程里，要計(jì)算一塊矩形土地的面積，當(dāng)知道了長(zhǎng)和寬的關(guān)系以及總面積時(shí)，就可能會(huì)用到一元二次方程。又比如在商業(yè)活動(dòng)中，計(jì)算利潤(rùn)問(wèn)題，知道成本、售價(jià)和銷(xiāo)售量之間的關(guān)系，也常常需要一元二次方程來(lái)幫忙。對(duì)于九年級(jí)的同學(xué)們來(lái)說(shuō)，理解一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，能讓我們更好地將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，提高解決問(wèn)題的能力。這不僅有助于我們?cè)跀?shù)學(xué)考試中取得好成績(jī)，更能讓我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去看待周?chē)氖澜?。二、一元二次方程?shí)際應(yīng)用的常見(jiàn)類(lèi)型1.面積問(wèn)題在面積問(wèn)題里，經(jīng)常會(huì)遇到一些幾何圖形的面積計(jì)算。例如，有一個(gè)長(zhǎng)方形的花園，長(zhǎng)比寬多2米，花園的面積是80平方米，讓我們求長(zhǎng)和寬。我們可以設(shè)寬為x米，那么長(zhǎng)就是(x2)米。根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式，面積等于長(zhǎng)乘以寬，就可以列出方程x(x2)=80，這就是一個(gè)一元二次方程。通過(guò)求解這個(gè)方程，我們就能得到花園的長(zhǎng)和寬了。有一個(gè)圓形的池塘，周?chē)ㄒ粋€(gè)環(huán)形的小路，已知小路的面積和池塘的半徑等條件，也能列出一元二次方程來(lái)求解小路的寬度等問(wèn)題。2.利潤(rùn)問(wèn)題在商業(yè)經(jīng)營(yíng)方面，利潤(rùn)問(wèn)題是很常見(jiàn)的一元二次方程應(yīng)用類(lèi)型。假如一家商店賣(mài)某種商品，每個(gè)商品的進(jìn)價(jià)是20元，售價(jià)是x元時(shí)，每天能賣(mài)出(50x)個(gè)。那么總利潤(rùn)就等于單個(gè)商品的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量。單個(gè)商品的利潤(rùn)是(x20)元，銷(xiāo)售量是(50x)個(gè)，所以總利潤(rùn)y=(x20)(50x)。將這個(gè)式子展開(kāi)化簡(jiǎn)后，就得到了一個(gè)一元二次方程。通過(guò)分析這個(gè)方程，我們可以找到使利潤(rùn)最大的售價(jià)，這對(duì)商家制定價(jià)格策略是非常有用的。3.增長(zhǎng)率問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題在很多領(lǐng)域都會(huì)出現(xiàn)。比如說(shuō)，一個(gè)城市的人口每年以一定的百分比增長(zhǎng)。假設(shè)初始人口是a，每年的增長(zhǎng)率是x，經(jīng)過(guò)n年后人口變?yōu)閎。根據(jù)增長(zhǎng)率的計(jì)算公式，就可以列出方程a(1x)?=b。這也是一元二次方程的一種形式。在企業(yè)的業(yè)務(wù)拓展中，銷(xiāo)售額的增長(zhǎng)或者產(chǎn)品產(chǎn)量的增長(zhǎng)等類(lèi)似情況，都可以用這樣的方程來(lái)描述和分析。三、如何建立一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題1.審題這是非常關(guān)鍵的一步。要仔細(xì)閱讀題目中的每一個(gè)信息，明確已知條件和所求的問(wèn)題。比如在一個(gè)關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，要知道物體的初始速度、加速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間等已知信息，以及是求運(yùn)動(dòng)的距離還是最終速度等問(wèn)題。把這些內(nèi)容都梳理清楚，才能為后面建立方程做好準(zhǔn)備。2.設(shè)未知數(shù)根據(jù)題目情況合理地設(shè)未知數(shù)。如果是求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，我們可以設(shè)寬為x，然后用含x的式子表示長(zhǎng)等其他量。設(shè)未知數(shù)要盡量簡(jiǎn)單明了，讓后續(xù)的計(jì)算和方程建立更加方便。3.找等量關(guān)系這是建立一元二次方程的核心。在不同的實(shí)際問(wèn)題中，等量關(guān)系是不一樣的。在面積問(wèn)題中，就是幾何圖形的面積公式；在利潤(rùn)問(wèn)題中，就是總利潤(rùn)等于單個(gè)利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量；在增長(zhǎng)率問(wèn)題中，就是增長(zhǎng)后的量等于初始量乘以(1增長(zhǎng)率)的n次方等。找到正確的等量關(guān)系后，就可以根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出方程了。4.解方程列出一元二次方程后，就要進(jìn)行求解。一元二次方程有多種求解方法，比如因式分解法、配方法和公式法。如果方程可以很容易地進(jìn)行因式分解，就用因式分解法，例如x25x6=0，可以分解為(x2)(x3)=0，解得x=2或者x=3。如果方程不容易因式分解，就可以用配方法或者公式法。公式法對(duì)于任何一元二次方程ax2bxc=0(a≠0)，其解為x=[b±√(b24ac)]/2a。四、一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的解題示例1.面積問(wèn)題示例有一塊正方形的土地，在它的一邊增加3米，另一邊減少3米后，得到一個(gè)長(zhǎng)方形土地，長(zhǎng)方形土地的面積比正方形土地的面積少9平方米。求正方形土地的邊長(zhǎng)。設(shè)正方形土地的邊長(zhǎng)為x米。那么正方形土地的面積就是x2平方米。長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)是(x3)米，寬是(x3)米，其面積就是(x3)(x3)平方米。根據(jù)題目中的等量關(guān)系“正方形土地的面積長(zhǎng)方形土地的面積=9”，可以列出方程x2(x3)(x3)=9。展開(kāi)方程左邊得到x2(x29)=9，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為x2x29=9，這個(gè)方程恒成立，所以x可以取任意正數(shù)。但是從實(shí)際意義出發(fā)，邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)或者0，所以x只要是一個(gè)合理的正數(shù)就可以，比如x=5米（這里取一個(gè)合理的值為例）。2.利潤(rùn)問(wèn)題示例某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本是40元，如果每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元，每天的銷(xiāo)售量是30010x件。要使每天的利潤(rùn)達(dá)到1500元，求售價(jià)x。單個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)是(x40)元，銷(xiāo)售量是(30010x)件，根據(jù)利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，可列出方程(x40)(30010x)=1500。展開(kāi)方程得到300x10x212000400x=1500，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得到10x2700x13500=0，兩邊同時(shí)除以10得到x270x1350=0。用因式分解法將方程分解為(x30)(x45)=0，解得x=30或者x=45。所以售價(jià)為30元或者45元時(shí)，每天的利潤(rùn)能達(dá)到1500元。3.增長(zhǎng)率問(wèn)題示例某公司去年的營(yíng)業(yè)額是100萬(wàn)元，今年計(jì)劃營(yíng)業(yè)額達(dá)到121萬(wàn)元。如果設(shè)營(yíng)業(yè)額的年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)增長(zhǎng)率公式可列出方程100(1x)2=121。方程兩邊同時(shí)除以100得到(1x)2=1.21，開(kāi)平方得到1x=±1.1。當(dāng)1x=1.1時(shí)，x=0.1=10%；當(dāng)1x=1.1時(shí)，x=2.1（增長(zhǎng)率不能為負(fù)數(shù)，舍去）。所以營(yíng)業(yè)額的年增長(zhǎng)率為10%。五、總結(jié)與提升通過(guò)以上對(duì)一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的講解，我們可以看到它在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們要按照審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、解方程的步驟來(lái)進(jìn)行。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要多做一些練習(xí)