排列與排列數(shù)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.2.1-6.2.2第1課時(shí)排列與排列數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡(jiǎn)單的排列.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解排列數(shù)公式的推導(dǎo)并應(yīng)用.(邏輯推理)3.掌握排列數(shù)公式并會(huì)運(yùn)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？第1步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1名，有3種選法.第2步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N=3×2=6種.“分步”下午相應(yīng)的選法上午甲丙乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙乙丙甲丙甲乙探究新知問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？第1步：確定百位上的數(shù)字,從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步：確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取,有3種方法；第3步：確定個(gè)位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后,個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取,有2種方法.問(wèn)題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？探究新知思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？“分步”根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N=4×3×2=24４種３種２種百位：十位：個(gè)位：?jiǎn)栴}2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？探究新知樹狀圖如下圖所示：由此可寫出所有的三位數(shù)：123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243;312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432.實(shí)質(zhì)是:從3個(gè)不同的元素中,任取2個(gè),按一定的順序排成一列,有哪些不同的排法.實(shí)質(zhì)是:從4個(gè)不同的元素中,任取3個(gè),按照一定的順序排成一列,寫出所有不同的排法.問(wèn)題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問(wèn)題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？上述問(wèn)題1，問(wèn)題2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？？思考探究新知

一般地，從

n個(gè)不同元素中取出

m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從

n個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的一個(gè)排列(arrangement).注意：1.元素不能重復(fù).2.“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的關(guān)鍵.3.兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同.4.m＜n時(shí)的排列叫選排列,m＝n時(shí)的排列叫全排列。5.為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹狀圖”.（有序性）（互異性）排列的定義：概念形成1.判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？(2)從1,2,3三個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？(3)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？(4)平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？(5)10個(gè)學(xué)生排隊(duì)照相，則不同的站法有多少種？(6)從高二(1)班全體同學(xué)中選5人組成課外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.(7)從高二(1)班全體同學(xué)中選5人分別參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的5個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.（從中歸納這幾類問(wèn)題的區(qū)別）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列小試牛刀是排列不是排列（1）首先要保證元素?zé)o重復(fù)性，即從n個(gè)不同元素中，取出m(m≤n)個(gè)不同的元素，否則不是排列問(wèn)題。（2）要保證元素的有序性，即安排這m個(gè)元素時(shí)是有序的，有序就是排列，無(wú)序則不是排列.

而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的位置，看結(jié)果是否發(fā)生變化，有變化是有序，無(wú)變化就是無(wú)序.排列問(wèn)題的判斷方法：方法歸納解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，

然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì)按分步乘法計(jì)數(shù)原理，

每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為6×5=30.例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.典例分析課本P16--例1題型一排列問(wèn)題判斷與計(jì)算例2(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？典例分析分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜；可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個(gè)位置（給3名同學(xué)）的一個(gè)排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.思考：這兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)別在哪里？課本P16--例2題型一排列問(wèn)題判斷與計(jì)算解：

(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為：5×4×3=60.(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種；有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為：5×5×5=125.例2(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？典例分析課本P16--例2題型一排列問(wèn)題判斷與計(jì)算排列數(shù)的定義和表示：

我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，并用符號(hào)

表示.探究新知

例如，前面問(wèn)題1是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，表示為.已經(jīng)算得

問(wèn)題2是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，表示為.已經(jīng)算得排列數(shù)與排列的區(qū)別：

一個(gè)排列就是完成一件事的一種方法，它不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)(m≤n)是多少？？探究探究新知第1位第2位n種(n-1)種追問(wèn)1:如何求排列數(shù)

？第1位第2位n

種(n-1)種第3位(n-2)種追問(wèn)2:

如何求排列數(shù)

？

假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).第1位第2位n種(n-1)種第3位(n-(m-1))種第m位(n-2)種......探究新知利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算填法的種數(shù)，得到排列數(shù)公式:

一般地，求排列數(shù)

可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：排列數(shù)公式的連乘形式(1)觀察公式的右邊，共有幾個(gè)因數(shù)？各因數(shù)的大小有什么規(guī)律？(2)比較n與m的大小關(guān)系，并說(shuō)明公式右邊的最后一個(gè)因數(shù)有什么特點(diǎn)？(3)利用排列數(shù)公式，計(jì)算.？思考探究新知

特別地，我們把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí)，排列數(shù)公式中m=n，即有

將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用

n!

表示.于是，n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成.我們規(guī)定，0!=1.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得：典例分析例3計(jì)算：×課本P19--例3題型二排列數(shù)的計(jì)算

由例3可以看到，,觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性嗎？？思考排列數(shù)公式的階乘形式排列數(shù)公式的連乘形式探究新知×=常用于計(jì)算常用于化簡(jiǎn)、證明、解方程跟蹤訓(xùn)練3

(1)不等式

的解集為A.[2,8] B.[2,6]C.(7,12) D.{8}√化簡(jiǎn)得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①由①②及x∈N*，得x＝8.題型二排列數(shù)的計(jì)算(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).化簡(jiǎn)得4x2－35x＋69＝0，所以原方程的解為x＝3.跟蹤訓(xùn)練3題型二排列數(shù)的計(jì)算例4用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來(lái)考慮問(wèn)題。解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：

第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)，有

種取法.百位十位個(gè)位典例分析

第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有

種取法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為:課本P19--例4題型三簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位第3類,十位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位,有

種取法.第2類,個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位,有

種取法；第1類,每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù),可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè),有

種取法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為例4用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？典例分析課本P19--例4題型三簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題解法3:從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)其中0在百位上的排列數(shù)為例4用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？典例分析課本P19--例4題型三簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題帶有限制條件的排列問(wèn)題：“特殊”優(yōu)先原則直接法間接法位置分析法元素分析法以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素先不考慮限制條件，計(jì)算出來(lái)所有排列數(shù)，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，從而得出符合條件的排列數(shù)方法歸納分步先分類后分步跟蹤訓(xùn)練4已知有4名司機(jī)，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機(jī)和1名售票員，則可能的分配方法有√題型三簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題證：例5證明:(1)；(2).典例分析(1)(2)排列數(shù)的性質(zhì)變式練習(xí)：1.證明：.證明：1.(多選)下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)C.從a，b，c，d中選出3個(gè)字母D.從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)√由排列的定義知AD是排列問(wèn)題.√當(dāng)堂檢測(cè)A.480 B.520C.600 D.1320√當(dāng)堂檢測(cè)3.3個(gè)學(xué)生在4本不同的參考書中各挑選1本，