2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營-第1節(jié)-平面向量的概念及線性運算

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算A級(基礎(chǔ)應(yīng)用練)1.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))答案：D解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故選D.2．(2022?湖北月考)已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實數(shù)λ，使a＝λb答案：D解析：因為a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a與b共線同向，故D正確．3．(2022?北京模擬)設(shè)m，n為非零向量，則“m?n>0”是“存在整數(shù)λ，使得m＝λn”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：D解析：因為m，n為非零向量，設(shè)m，n的夾角為θ，所以cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)，若m?n>0，則cosθ>0，θ是0或銳角，而當(dāng)θ是銳角時，m＝λn不成立，即“m?n>0”?“存在整數(shù)λ，使得m＝λn”；若有“存在整數(shù)λ，使得m＝λn”，取λ∈Z，λ≤0并且m＝λn，則m?n＝λn?n＝λn2≤0，即m?n>0不成立，所以“存在整數(shù)λ，使得m＝λn”?“m?n>0”．綜上得“m?n>0”是“存在整數(shù)λ，使得m＝λn”的既不充分也不必要條件．故選D.4．(2022?宜賓市月考)在￡ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則必有()A．￡ABCD為菱形B．￡ABCD為矩形C．￡ABCD為正方形D．以上皆錯答案：B解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴BD＝AC，∴￡ABCD為矩形，故選B.5．(2022?四川成都市高三三模)已知a，b是兩個不共線的非零向量，若(2a＋3b)∥(3a＋λb)，則實數(shù)λ＝()A.eq\f(9,2) B．－2C．2 D．－eq\f(9,2)答案：A解析：因為(2a＋3b)∥(3a＋λb)，所以存在t∈R，使得2a＋3b＝t(3a＋λb)，所以(2－3t)a＝(tλ－3)b，又因為a，b是兩個不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3t＝0,tλ－3＝0))，解得λ＝eq\f(9,2)，故選A.6.(2022?江西南昌經(jīng)開區(qū)高三模擬)過△ABC內(nèi)部一點M任作一條直線EF，AD⊥EF于點D，BE⊥EF于點E，CF⊥EF于點F，都有eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，則點M是△ABC的()A．三條高的交點B．三條中線的交點C．三邊中垂線的交點D．三個內(nèi)角平分線的交點答案：B解析：當(dāng)直線EF經(jīng)過C點時，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，于是|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|，EF是AB邊上的中線；同理，當(dāng)EF經(jīng)過A點時，EF是BC邊上的中線；當(dāng)EF經(jīng)過B點時，EF是AC邊上的中線．因此，點M是△ABC的三條中線的交點，故選B.7．(2022?遼寧省莊河市期中)有下列說法，其中正確的說法為()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6C．兩個非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且同向D．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ使得a＝λb答案：B解析：A選項錯誤，例如b＝0，推不出a∥c；B選項正確，設(shè)AC的中點為M，BC的中點為D，因為2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以2×2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，即2eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以O(shè)是MD的三等分點，可知點O到AC的距離等于點D到AC的距離的eq\f(1,3)，而點B到AC的距離等于點D到AC的距離的2倍，故可知點O到AC的距離等于點B到AC的距離的eq\f(1,6)，根據(jù)三角形面積公式可知正確；C選項錯誤，兩邊平方可得－2a?b＝2|a||b|，所以cos〈a，b〉＝－1，即夾角為π，兩向量反向，結(jié)論不正確；D選項錯誤，例如b＝0.故選B.8．(2022?山東菏澤牡丹區(qū)高三月考)已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中所有正確的命題有________．答案：②③④解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯誤；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正確．所以正確的命題序號為②③④.9．(2022?北京順義高三一模)設(shè)向量e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且B，C，D三點共線，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)；實數(shù)k＝________．答案：－e1＋4e28解析：由向量減法法則得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－e1＋4e2.由于B，C，D三點共線，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2e1－ke2＝λ(－e1＋4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＝2,－k＝4λ))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2,k＝8)).10．(2021?河南八市聯(lián)考改編)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點E是線段BC的中點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________．答案：eq\f(5,4)解析：取AB的中點F，連接CF，則由題意可得CF∥AD，且CF＝AD.因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2)，則λ＋μ＝eq\f(5,4).B級(綜合創(chuàng)新練)11．(多選題)(2022?山東省高三段考)若點G是△ABC的重心，BC邊的中點為D，則下列結(jié)論正確的是()A．G是△ABC的三條中線的交點B.eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))D.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))答案：ABC解析：對于A，△ABC的中線的交點就是重心，所以A正確；對于B，根據(jù)平行四邊形法則可知eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，因為點G是△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＝－2eq\o(GD,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以B正確；對于D，綜上所述可知D錯誤．故選ABC.12．(多選題)設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則M是邊BC的中點B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)答案：ACD解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則M是邊BC的中點，故A正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點M在邊CB的延長線上，故B錯誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點M是△ABC的重心，故C正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確．故選ACD.13．已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|＝________．答案：4解析：如圖，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2.所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形，從而OA⊥OB，所以￡OACB為矩形，根據(jù)矩形的對角線相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4.14．(2022?杭州市高三月考)在￡ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，則實數(shù)λ＝________．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則實數(shù)t＝________．答案：－2eq\f(2,3)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))，故λ＝－2.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq