14.5 等腰三角形的性質（教學課件）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊同步課堂（滬教版）

14.5

等腰三角形的性質2023-2024學年滬教版七年級下冊數(shù)學課件3、在你們的印象里，什么樣的三角形叫做等腰三角形？有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

2、上面三個三角形按邊分類是什么樣的三角形1、上面三個三角形按角分類是什么樣的三角形復習回顧：如圖：在△ABC中,AB=AC，則△ABC就是等腰三角形它的各部分名稱分別是什么？ABC(1)相等的兩條邊都叫做腰。腰腰底邊(2)另一邊叫底邊。頂角底角底角(3)兩腰的夾角∠A叫頂角。(4)腰與底邊夾角∠B、∠C叫底角。等腰三角形再認識等腰三角形的兩個底角相等。已知：△ABC中，AB=AC,說明∠B=C的理由.猜想ABCD問題等腰三角形的兩個底角具有怎樣的大小關系?操作在紙上畫一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,再畫出頂角的平分線AD,設AD與BC相交于點D(圖14-37)把△ABC紙片剪下,將△ABD沿著直線AD翻折因為∠BAD=∠CAD，所以將△ABC沿著AD翻折后射線AB與射線AC疊合由于AB=AC,因此線段AB與線段AC重合，于是點B與點C重合。又因為點D與點D重合，所以線段BD與線段CD也重合(圖14-38)因此∠B=∠C.歸納結論等腰三角形的兩個底角相等。性質1(簡稱“等邊對等角”)用符號語言表示為：ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C(

)等邊對等角ABC則有∠1＝∠2（角平分線的意義）D12在△ABD和△ACD中證明:

過點A作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D.AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）

方法一我們可以直接利用全等三角形對等腰三角形的性質進行說理。ABC則有BD＝CD（中線的意義）D在△ABD和△ACD中證明:過點A作BC邊上的中線AD，交BC于點D.AB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）

方法二想一想:

由△BAD≌△CAD除了能得到∠B＝∠C，你還能發(fā)現(xiàn)什么?相等的線段相等的角

B

C

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD

∠B＝

∠C.∠1

＝∠2

A

D

∠ADB＝∠ADC12＝90°AD是

；AD是

；

AD是

.

底邊上的中線頂角平分線底邊上的高性質2:

三角形的

，

，

互相重合.頂角平分線等腰底邊上的中線底邊上的高(簡稱“等腰三角形的三線合一”)1.∵AB=AC，∠1=∠2

（已知）∴

，

.（）2.∵AB=AC，BD=CD（已知）∴,.（）

3.∵AB=AC，AD⊥BC

（已知）∴,

.（）ABC12D等腰三角形的

與

，

互相重合.頂角平分線底邊上的中線底邊上的高(簡稱“等腰三角形的三線合一”)等腰三角形的三線合一性質2:AD⊥BCBD=CDBD=CD∠1=∠2

等腰三角形的三線合一等腰三角形的三線合一∠1=∠2

AD⊥BC等腰三角形是軸對稱圖形.它的對稱軸是:性質3:所在的直線.底邊上的中線(或頂角平分線,底邊上的高)

等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線

.()判斷題:√D思考：等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？例題1、已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=70o，求∠C和∠A的度數(shù).ACB70o70o解(1)因為AB=AC(已知),所以∠C=∠B(等邊對等角)由∠B=70°(已知)，得∠C=70°.(2)因為∠B=∠C=70°又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內角和等于180°).所以∠A=180°-70°-70°=40°例題2：已知，AB＝AC，∠BAC=110o，

AD是△ABC的中線.

⑴求∠1的度數(shù)；

⑵求∠ADC的度數(shù)

解(1)∵AB=AC，AD是△ABC底邊上的中線（已知）

∴∠1=∠BAC(等腰三角形的三線合一)∵∠BAC=110o（已知）

∴∠1=×110o=55o（等式性質）

⑵∵AB=AC，AD是△ABC底邊上的中線（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形的三線合一）

∴∠ADC=90°（垂直的意義）BCD12A關于撐傘的數(shù)學問題已知：如圖，AB=AC，DB=DC

問：AD與BC有什么關系？

猜想：AD垂直平分BC∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC在⊿ABD和⊿ACD中證明:

ABCD1.下列判斷錯誤的是(____)A.等腰三角形是軸對稱圖形B.有兩條邊相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形的兩個底角相等D.等腰三角形的角平分線、中線、高互相重合【解析】解：A、等腰三角形是軸對稱圖形，正確；B、兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，正確；C、等腰三角形的兩腰相等，兩個底角相等，正確；D、等腰三角形頂角的角平分線與底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，故本選項錯誤；D2.等腰三角形的底角為35°，則一腰上的高與另一腰的夾角是(____)A.55°B.35°C.20°D.以上都不對【解析】解：如圖，BD⊥AC于點D，____∵∠C=35°，∠D=90°，C∴∠DBC=90°-35°=55°，∵∠ABC=35°，∴∠DBA=55°-35°=20°，即一腰上的高與另一腰的夾角是20°，故選：C．3.下列說法錯誤的有(____)①底邊和頂角分別相等的兩個等腰三角形全等②含有100°內角且腰為3cm的兩個等腰三角形全等③腰長和底邊長分別相等的兩個等腰三角形全等④含有80°內角且腰長是3cm的兩個等腰三角形全等A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】解：①兩個等腰三角形頂角相等，A∴兩個等腰三角形底角相等，∴根據(jù)ASA可證底邊和頂角分別相等的兩個等腰三角形全等，故①不符合題意；②等腰三角形100°內角為頂角，∴根據(jù)SAS可證含有100°內角且腰為3cm的兩個等腰三角形全等，故②不符合題意；③根據(jù)SSS可證腰長和底邊長分別相等的兩個等腰三角形全等，故③不符合題意；④等腰三角形80°內角不確定是頂角還是底角，∴不能判定含有80°內角且腰長是3cm的兩個等腰三角形全等，故④符合題意，4.在等腰三角形中，一個內角為40°，則另兩個內角的大小分別是_________________________．

70°，70°或40°，100°5.等腰三角形的一個內角等于110°，則另兩個內角的度數(shù)分別是___________．【解析】解：∵三角形內角和為180°，∴110°不能為底角，∴剩下兩個角為底角，且他們之和為180°-110°=70°，∵70°÷2=35°，∴另兩個內角的度數(shù)分別是35°，35°，故答案為：35°，35°．35°，35°6.等腰三角形底角的度數(shù)是頂角度數(shù)的2倍，底角的度數(shù)是_____．【解析】解：設等腰三角形的頂角度數(shù)為x,∵等腰三角形的底角是頂角的2倍，∴底角度數(shù)為2x,根據(jù)三角形內角和定理得：x+2x+2x=180°，解得x=36°，則底角的度數(shù)為72°．故答案為：72°．72°7.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，這個三角形三個內角的度數(shù)是_____________________________________．【解析】解：當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1，___由已知可知，∠ABD=30°，又∵BD⊥AC，60°，60°，60°或30°，30°，120°∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=60°．當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2，_____由已知可知，∠ACD=30°，又∵CD⊥AB，∴∠DAC=60°，∴∠B=∠ACB=30°，∠BAC=120°．故答案為：60°，60°，60°或30°，30°，120°．8.已知等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為7cm,則這個三角形的周長是______．【解析】解：①當腰長為3cm時，等腰三角形三邊長為3cm、3cm、7cm,3+3＜7，不符合三角形三邊關系，不能構成三角形；②當腰長為7cm時，等腰三角形三邊長為3cm、7cm、7cm,符合三角形三邊關系，則三角形的周長為：3+7+7=17cm.因此這個三角形的周長為17cm.故答案為：17cm.17cm9.已知等腰三角形的周長為20，一邊長為6，另兩邊長分別是____________．【解析】解：當腰為6時，另一腰也為6，則底為20-2×6=8，∵6+6=12＞8，∴三邊能構成三角形．當?shù)诪?時，腰為(20-6)÷2=7，∵7+7＞6，∴三邊能構成三角形．故答案為：6，8或7，7．6，8或7，710.若等腰三角形的底邊長為8，則它的腰長x的取值范圍是_____．【解析】解：等腰三角形的底邊長為8，腰長為x,則2x＞8，解得x＞4．綜上所述，該三角形的腰長x的取值范圍是x＞4．故答案為：x＞4．x＞411.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，AE⊥BD，如果△ABC的面積是12，那么△ABE的面積是____．

312.已知，△ABC中，AB=AC，點M在AC上，且MA=MB，∠C=65°，求∠BMC的度數(shù)．解：因為△ABC中，AB=AC(已知)，所以∠_____=∠____(_____________)因為∠C=65°(_____)，所以∠ABC=____°(__________)又因為∠A+∠C+∠ABC=180°(________________________)，所以∠A=180°-____°-____°=____°．又因為MA=MB(已知)，所以∠_____=∠A=____°(_____________)，ABCC等邊對等角已知65等量關系三角形內角和為180°656550ABM50等邊對等角而∠BMC=∠____+∠_____(____________________)，所以∠BMC=____°+____°=_____°．【解析】解：因為△ABC中，AB=AC(已知)，所以∠ABC=∠C(等邊對等角)，因為∠C=65°(已知)，所以∠ABC=65°(等量關系)，又因為∠A+∠C+∠ABC=180°(三角形內角和為180°)，所以∠A=180°-65°-65°=50°．又因為MA=MB(已知)，所以∠ABM=∠A=50°(等邊對等角)，AABM三角形外角的性質5050100而∠BMC=∠A+∠ABM(三角形外角的性質)，所以∠BMC=50°+50°=100°．故答案為：ABC，C，等邊對等角，已知，等量關系，三角形內角和為180°，65，65，50，ABM，50，等邊對等角，A，ABM，三角形外角的性質，50，50，100．13.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，試說明∠B=∠D的理由．(要求不用全等三角形說明)【解析】解：如圖，連接BD，在△ABD中，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，在△CBD中，∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC．14.如圖，△ABC中，AB=AC，BE=CE，延長AE交BC于點D，試說明AD⊥BC的理由．【解析】證明：∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線上，∵BE=CE，∴點E在BC的垂直平分線上，∴A、E都在BC的垂直平分線上，∵延長AE交BC邊于點D，∴AD⊥BC．15.如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E、F分別為邊AB、AC上的點，且EB=FC，連接EF，交AD于點O，那么OE=OF，且AO⊥EF，為什么？【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE=CF，∴AB-BE=AC-CF，即AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，