概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)變量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)變量

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機(jī)變量§2.1隨機(jī)變量的定義第2頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.1隨機(jī)變量的定義

1.引進(jìn)隨機(jī)變量（r.v)的目的隨機(jī)事件：樣本空間的子集。例如：擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)建立一種函數(shù)關(guān)系：

一.隨機(jī)變量的定義1).量化隨機(jī)事件2).引進(jìn)微積分來研究隨機(jī)試驗(yàn)第3頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.1隨機(jī)變量的定義

引例：請適當(dāng)定義一變量（函數(shù)）使之與下列各隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對應(yīng)起來.例2.1.1

擲一枚硬幣，觀察朝上一面

一.隨機(jī)變量的定義例2.1.3

從一批燈泡中任取一只，測其壽命例2.1.2

射擊一個目標(biāo)，擊中為止，記錄射擊次數(shù)第4頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量注（1）隨機(jī)變量是一個函數(shù)。定義在樣本空間上。取值在實(shí)軸上；（2）與一般函數(shù)不同，它的自變量是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果；（3）隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性。

一.隨機(jī)變量的定義§2.1隨機(jī)變量的定義

定義2.1.1.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對中的每一個元素，有一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，這樣就得到了一個定義在上的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。第5頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量二.隨機(jī)事件的表示

.

§2.1隨機(jī)變量的定義第6頁,共70頁，星期六，2024年，5月

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機(jī)變量及其分布§2.2離散型隨機(jī)變量第7頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量一.離散型隨機(jī)變量

例如,擲骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)(1,2,3,4,5,6)、電梯在一年內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)（0,1,2，…)等均為離散型隨機(jī)變量。

連續(xù)型隨機(jī)變量:其全部可能取得值雖然也是無限多，但這些值充滿了某個區(qū)間，不能一一羅列出來.

例如，而某元件壽命，零件的長度則的所有可能取值充滿一個區(qū)間,無法按一定次序一一列舉出來,因而它是一個連續(xù)型隨機(jī)變量.第8頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量二.離散型隨機(jī)變量的概率分布第9頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量

概率分布（分布律）也可以表示為表格形式：二.離散型隨機(jī)變量的概率分布

注(1)上述兩條性質(zhì)是分布律必須具有的性質(zhì).如果一個數(shù)列

具有以上兩條性質(zhì),則它可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布律.

(2)第10頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量

所以，概率分布體現(xiàn)了隨機(jī)變量取各個可能值的概率的分布情況。二.離散型隨機(jī)變量的概率分布第11頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量二.離散型隨機(jī)變量的概率分布第12頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量二.離散型隨機(jī)變量的概率分布第13頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布第14頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量：例如：射手射擊是否中靶，產(chǎn)品是否合格，明天是否下雨，種子是否發(fā)芽…第15頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布第16頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.二項(xiàng)分布第17頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.二項(xiàng)分布第18頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.二項(xiàng)分布第19頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布與n次伯努利試驗(yàn)關(guān)系第20頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量例2.2.4

一種40瓦的燈泡，規(guī)定其使用壽命超過2000小時的為正品，否則為次品。一直有很大一批這樣的燈泡，其次品率為0.2。現(xiàn)從該批燈泡中隨機(jī)的抽取20只做壽命試驗(yàn)，問這20只燈泡恰有k只次品的概率是多少？解我們將觀測一只燈泡的使用壽命是否超過2000小時，看成一次試驗(yàn)，觀測20只燈泡，相當(dāng)于做20次伯努利試驗(yàn)。三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.二項(xiàng)分布用X記20只燈泡中次品的只數(shù)，則X是一個隨機(jī)變量且X~B(20,0.2)，于是，得。第21頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量例2.2.5

設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，某出租車公司共有出租車400輛，試求一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。解觀測一輛出租車是否出現(xiàn)故障，看成一次試驗(yàn)。觀測400輛出租車，相當(dāng)于做400次伯努利試驗(yàn)。三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布2.二項(xiàng)分布用X記一天出現(xiàn)故障的出租車數(shù)量，則X是一個隨機(jī)變量且X~B(400,0.02)，于是，得。第22頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量三.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布3.泊松分布第23頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量3.泊松分布查表210頁第24頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量第25頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量第26頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量重點(diǎn)：求解離散型隨機(jī)變量的概率分布熟記并會應(yīng)用常見離散型隨機(jī)變量的概率分布課后作業(yè)：P.48——2.4,2.5,2.6，2.7第27頁,共70頁，星期六，2024年，5月

§2.2

§2.3

§2.4

§2.5-7

第2章隨機(jī)變量及其分布§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量第28頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

如燈泡的壽命、測量誤差、天氣溫度的變化等都是連續(xù)型隨機(jī)變量，其特點(diǎn)為所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.一.連續(xù)型隨機(jī)變量第29頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布例.某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不全相同，現(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個零件的長度（單位：毫米）如下：129,132,136,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,123,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136,140.一.直方圖

設(shè)隨機(jī)變量X表示零件的長度，下面來畫直方圖第30頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布（2）確定區(qū)間：（127.5,155.5）取左端點(diǎn)比最小值稍小，右端點(diǎn)比最大值稍大，可包含所有數(shù)據(jù)；（1）找最大值與最小值：128,155；

（3）等分區(qū)間：將（127.5,155.5）等分為7個小區(qū)間

(127.5,131.5)，(131.5,135.5)，(135.5,139.5),(139.5,143.5)，(143.5,147.5)，(147.5,151.5),(151.5,155.5)，每個區(qū)間稱為一個組，區(qū)間的長度為組距；（4）計(jì)算頻數(shù)、頻率和頻率/組距：數(shù)據(jù)落入每個組的個數(shù)為頻數(shù)，每個組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個數(shù)的比值是頻率，列表：一.直方圖

第31頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布組頻數(shù)頻率頻率/組距(127.5,131.5)60.060.015(131.5,135.5)120.120.03(135.5,139.5)240.240.06(139.5,143.5)280.280.07(143.5,147.5)180.180.045(147.5,151.5)80.080.02(151.5,135.5)40.040.01（5）畫直方圖：平面直角坐標(biāo)系橫軸上截取各組區(qū)間，縱軸表示頻率/組距，以該區(qū)間為底，以頻率/組距為高做長方形，則其面積為該組頻率。畫圖：第32頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布0.070.060.050.040.030.020.01頻率/組距127.5131.5135.5139.5143.5147.5151.5155.5組區(qū)間當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)越多，分組越細(xì)，其輪廓接近于一條曲線概率密度曲線第33頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布二.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)

第34頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第35頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布三.概率密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.2是判定一個函數(shù)

f(x)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.第36頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第37頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四.常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)1.均勻分布Uniform.adj均勻的，統(tǒng)一的第38頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第39頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布即乘客候車時間少于5分鐘的概率為第40頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2.指數(shù)分布指數(shù)分布是最常用的壽命分布，如元件的壽命，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時間等都服從指數(shù)分布.第41頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第42頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布3.正態(tài)分布Normal.adj正常的，標(biāo)準(zhǔn)的第43頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布鐘形曲線第44頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X～N(0,1)概率密度記作記性質(zhì)（1）正態(tài)分布（2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布令第45頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布注：（1）若X～N(0,1),第46頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布查表4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第47頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布解

合格品的概率為例2.3.3

已知某臺機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度X（單位：厘米）服從參數(shù)的正態(tài)分布。規(guī)定螺栓長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第48頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第49頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布重點(diǎn)：

1.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算方法

2.三種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，極其應(yīng)用課后作業(yè):p48-p492.92.112.122.14

第50頁,共70頁，星期六，2024年，5月

§2.2

§2.3

§2.4第2章隨機(jī)變量及其分布§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)第51頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

刻畫概率的分布情況：（1）離散型隨機(jī)變量——分布律（概率分布）（2）連續(xù)型隨機(jī)變量——概率密函數(shù)問題：引入分布函數(shù)，可對上述兩類隨機(jī)變量的概率分布情況進(jìn)行刻畫。第52頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

第53頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.第54頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一.分布函數(shù)的性質(zhì)

第55頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)一.分布函數(shù)的性質(zhì)

第56頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)二.求隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是X取的諸值xk

的概率之和，故又稱F(x)為累積概率函數(shù).第57頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)三.隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)例第58頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)三.隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)例第59頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)三.隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)例第60頁,共70頁，星期六，2024年，5月

第二章隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)三.隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)例第61頁,共70頁，星期六，2024年，5月

§2