山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由題意得，解得，故選：A.2.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.3.在三角形中，，，，則（）A.10 B.12 C. D.【答案】A【解析】記，則，，，．故選：A.4.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，平行，不可能垂直，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，故選：C5.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡(jiǎn)得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.6.中國(guó)國(guó)家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國(guó)國(guó)家表演藝術(shù)的最高殿堂，中外文化交流的最大平臺(tái).大劇院的平面投影是橢圓,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)度約為,短軸長(zhǎng)度約為.若直線平行于長(zhǎng)軸且的中心到的距離是，則被截得的線段長(zhǎng)度約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)該橢圓焦點(diǎn)在軸上，以中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)橢圓方程為：，，由題意可得，，將，代入方程，得，因?yàn)橹本€平行于長(zhǎng)軸且的中心到的距離是，令，得(m)，故選：C．7.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分條件 B.必要條件C.既是充分條件又是必要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】C【解析】由已知得圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以，即，所以所求直線方程為．“”是“直線與圓相切”的充要條件，故選：C．8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選得0分.9.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為B.直線在軸的截距是2C.直線的傾斜角為30°D.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，直線過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確.故選：CD10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合)，過(guò)點(diǎn)P作平面分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，若CP＝CM＝CN，則下列說(shuō)法正確的是（）A.A1C⊥平面B.存在點(diǎn)P，使得AC1∥平面C.存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為D.用過(guò)點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】連接因?yàn)?，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可證，平面又，、平面，所以平面平面易證⊥平面，所以⊥平面，A正確又平面，所以與平面相交，不存在點(diǎn)P，使得∥平面，B不正確.因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離為所以點(diǎn)A1到平面的距離的取值范圍為又，所以存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面的距離為，C正確.因?yàn)椋?，所以用過(guò)點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體得到的截面是四邊形又，且，所以截面梯形，D正確故選：ACD11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過(guò)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線C.D.若平分，則【答案】AB【解析】由題意知，點(diǎn)，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時(shí)，，則所以，所以A選項(xiàng)正確；又，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知二面角為，在與的交線上取線段，且，分別在平面和內(nèi)，它們都垂直于交線，且，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【解析】如圖：，，，所以，所以，所以的長(zhǎng)為，故答案為：.13.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．【答案】；【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，由題可知：，所以球的半徑所以圓錐的體積為，球的體積，所以；圓錐的表面積，球的表面積，所以，故答案為：；.14.四棱錐各頂點(diǎn)都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，設(shè)分別是的中點(diǎn)，則平面截球所得截面的面積為_(kāi)________.【答案】【解析】如下圖所示，易知四棱錐外接球與以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球相同；由題意可知球心為中點(diǎn)，故球O的直徑，解得由分別是的中點(diǎn)可得，可得平面；所以球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，在三棱錐中，易知平面，且，所以，而，由等體積法得，所以，故截面面積為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓心在直線上.（1）若圓與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為，求圓心的坐標(biāo)（2）若圓與直線相切，且與圓相外切，判斷是否存在符合題目要求的圓.解：（1）根據(jù)題意可設(shè)圓心，半徑為；由圓與軸相切，且與軸正半軸相交所得弦長(zhǎng)為，可得半徑，如下圖所示：由勾股定理可得，解得，此時(shí)圓心，半徑為2，圓的方程為；所以圓心的坐標(biāo)為；（2）依題意設(shè)圓心，半徑為，如下圖所示：因?yàn)閳A心在直線上，所以；若圓與直線相切可得，若圓與圓相外切，則，即，可得，該方程，所以該方程無(wú)解，故不存在滿(mǎn)足題意的圓.16.已知兩條直線：，：.（）（1）若，求值；（2）若，求，之間的距離.解：（1）由于，所以.（2）當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為和，此時(shí)兩直線不平行，不符合題意.當(dāng)時(shí)，由于，所以，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為和，，之間的距離為.17.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且點(diǎn)在直線上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求能使對(duì)恒成立的（）的最小值．解：（1）由點(diǎn)在直線上得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，故，即．（2），所以，要使對(duì)恒成立，，即，又，所以的最小值為5．18.如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn).（1）在線段上找一點(diǎn)，使平面，并說(shuō)明理由；（2）若平面平面，求平面與平面所成二面角的正弦值.解：（1）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：設(shè)為中點(diǎn)，連接.因?yàn)樵谌庵?，，分別為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形.所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）如圖所示：取中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，，所以為正三角形，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，所?以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，所以，.設(shè)平面的法向量，則由，得，令，得.取平面的法向量，設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則.所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.19.已知直線與拋物線相切于點(diǎn)A，動(dòng)直線與拋物線C交于不同兩點(diǎn)M，N（M，N異于點(diǎn)A），且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A.（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)A到直線的距離最大時(shí)，求直線的方程.解：（1）