山東省八校2025屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省八校2025屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所?故選：B.3.已知平面向量滿足，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，在方向上的投影向量為.故選：A．4.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，由于y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，故，解得，故取時(shí)，為最小值.故選：A.5.2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（）A.1440種 B.1360種C.1282種 D.1128種【答案】D【解析】采取對(duì)丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，如果“乙正月初一值班”，則安排方案有：種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．則不同的安排方案共有(種)．故選：D．6.若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由知直線l過定點(diǎn)，由曲線，兩邊平方得，則曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓（包含軸上的兩點(diǎn)），當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線l與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，解得，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心到直線的距離，解得，要使直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線夾在兩條直線之間，因此，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B.7.從重量分別為克的砝碼（每種砝碼各2個(gè)）中選出若干個(gè)，使其重量恰為9克的方法總數(shù)為，下列各式的展式中的系數(shù)為的選項(xiàng)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】取一個(gè)砝碼時(shí)，有一種情況，方法有種；取兩個(gè)砝碼時(shí)，有幾種情況，方法有種；取三個(gè)砝碼時(shí)，有幾種情況，方法有種；取四個(gè)砝碼時(shí)，有幾種情況，方法有種；取五個(gè)砝碼時(shí)，有一種情況，方法有種，所以總計(jì)方法總數(shù)種．對(duì)A，系數(shù)可為單獨(dú)組成，其他為常數(shù)，則有種，系數(shù)為1；由兩項(xiàng)與，或與，或與，或與組成，系數(shù)為；由三項(xiàng)與，或與組成，系數(shù)為；所以選項(xiàng)系數(shù)為7，故不符合，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，的系數(shù)可為10個(gè)因式中選9個(gè)帶的，剩下1個(gè)因式選常數(shù)項(xiàng)組成，所以的系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，系數(shù)為單獨(dú)組成，其他為常數(shù)，則有種，系數(shù)為2，由兩項(xiàng)組成，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為4，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為4，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為4，系數(shù)為與組成，其他為常數(shù)，，系數(shù)為4，同理由三項(xiàng)組成幾種情況，其他項(xiàng)為常數(shù)，則系數(shù)為，同理由四項(xiàng)組成幾種情況，其他為常數(shù)，則系數(shù)，同理由五項(xiàng)組成，其他項(xiàng)為常數(shù)，則系數(shù)為，綜上系數(shù)為，故C正確；對(duì)D，由一項(xiàng)及其他為常數(shù)項(xiàng)組成，有種情況，系數(shù)為2，由與兩項(xiàng)及其他為常數(shù)項(xiàng)組成，有種情況，系數(shù)為27，由與兩項(xiàng)及其他為常數(shù)項(xiàng)組成，有種情況，系數(shù)為32，由與兩項(xiàng)及其他為常數(shù)項(xiàng)組成，有種情況，系數(shù)為35，由與兩項(xiàng)及其他為常數(shù)項(xiàng)組成，有種情況，系數(shù)為36，此時(shí)的系數(shù)為，還有其他組成的情形，所以系數(shù)大于，故D錯(cuò)誤．故選：C.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.的解集是 D.，都有【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，所以，即，所以函數(shù)的解析式為，故不正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故不正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的解集為，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又當(dāng)從左側(cè)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，又當(dāng)從右側(cè)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，都有，所以D不正確.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【解析】設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，即，且，則，可得，所以．對(duì)于選項(xiàng)A：為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉樽钚≈担缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因，且，則，可得，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．10.如圖所示，，，是圓錐底面圓周上的三個(gè)點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，分別為，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱錐與三棱錐公共部分的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭堑冗呏羞吷系母?，所以，因?yàn)椋?，分別是，的中點(diǎn)，所以，顯然，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槿切问沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，三角形為等腰三角形，是的中點(diǎn)，所以，而，所以，這表明與不垂直，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，則由對(duì)稱性可知必定交于點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的重心，所以，由上易知，圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓錐的高為，所以，所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.11.已知雙曲線的離心率為分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為，則（）A.始終垂直于軸 B.C. D.【答案】ABC【解析】由雙曲線的離心率為2，得半焦距，對(duì)于A，記的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則，，令點(diǎn)，則，解得，而軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此始終垂直于軸，故A正確；對(duì)于B，由分別平分，得，所以，故B正確；對(duì)于C、D，設(shè)直線的傾斜角為，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，雙曲線的漸近線為，其傾斜角分別為和，由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，得直線與雙曲線的兩條漸近線在軸右側(cè)部分都相交，因此，即，所以，則，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某站臺(tái)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站或者二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“一號(hào)列車不準(zhǔn)點(diǎn)到站且二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則______.【答案】【解析】記“一號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，“二號(hào)列車準(zhǔn)點(diǎn)到站”為事件，則，，，由，故，則，則，故，而，即，故，則.故答案為：13.《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.已知長(zhǎng)度為的線段PQ，取PQ的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則____________.【答案】【解析】由題可得，，從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的，故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則滿足條件的最小正整數(shù)的值為______．【答案】3【解析】由題，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)0,+∞恒成立，則Fx在0,+當(dāng)時(shí)，若，則，函數(shù)Fx在上單調(diào)遞減，若，則，函數(shù)Fx在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則Fx的最小值，所以即，因?yàn)?，所以，令，顯然在0,+∞上為增函數(shù)，且，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件的最小正整數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足（1）求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解：（1）證明：因?yàn)?，故，所以，即，所以?shù)列是以首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列，可得，所以；（2）由（1）可知：，所以；（3）因?yàn)?，即，可得，令，解得，且，可得，即，可得，所以?shí)數(shù)的最小值．16.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）判斷的形狀；（2）已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，.①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最小值；②是否存在常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考公式：，.解：（1）在中，因?yàn)?，且，所以，即，，所以或?當(dāng)時(shí)，所以，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，所以，為等腰三角形.綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.（2）①因?yàn)?，所以，又，，所以?如圖，設(shè)，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)椋?，故?dāng)，即時(shí)，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)，.②假設(shè)存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，都有成立，則存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，利用參考公式，有.由題意，是定值，所以，是定值，對(duì)于所有滿足題意的，成立，故有，因?yàn)?，從而，即，，所?故，.17.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：由題意知，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，得，所以.（2），得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以，即AB與平面所成角的正弦值為.（3）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)（），由（1）（2）知，所以，得，解得，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，又平面的一個(gè)法向量為，故，整理得，由，得.即當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為，此時(shí)，即.18.已知橢圓，兩焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正三角形．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，不過原點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．記直線的斜率為，直線的斜率為．①求的值；②若，，，四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，求的值．解：（1）由題意，從而，，所以橢圓方程為.（2）①由消得（*），由，得，此時(shí)方程（*）可化為：，解得：（由條件可知：k，m異號(hào)），設(shè)Px0,y0即，所以，因?yàn)?，所以可設(shè)直線，由消得，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)Ax1,y1，B因?yàn)锳，C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，，所以．②設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，則，于是，由①可知：，若O，P，B，C四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，則還需