江蘇省蘇州市八校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市八校2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則,故若，則，不等式無解，此時(shí),符合題意，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，則，解得，綜上可得，故選：A2.“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，且對(duì)任意的，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”；另一方面，若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨取，則數(shù)列為等比數(shù)列，但無意義，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”.因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.3.高速公路管理部門在某一測(cè)速點(diǎn)，測(cè)得100輛車輛的速度（單位：）并匯總整理車速數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）車速頻數(shù)61218302410A.100輛車的車速的中位數(shù)小于B.100輛車中車速低于的車輛所占比例超過80%C.100輛車的車速的極差介于至之間D.100輛車的車速的平均值介于至之間【答案】C【解析】對(duì)于A，，，則中位數(shù)位于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，100輛車中車速低于的車輛數(shù)量為，頻率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，100輛車的車速的極差小于等于，大于等于，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則（）A.10 B.9 C. D.【答案】B【解析】由可得，解得，故選：B5.已知正四棱臺(tái)，二面角的正切值為2，則正四棱臺(tái)的體積為（）A. B.56 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，連接交一點(diǎn)，連接交一點(diǎn)，則是該正四棱臺(tái)的高，設(shè)為，過點(diǎn)分別作、的平行線交于點(diǎn)，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，因?yàn)?，所以，，由圖可得平面的其中一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x則，即，令，則，所以平面的法向量為，則，因?yàn)槎娼堑恼兄禐?，則二面角的余弦值為，所以，解得，該四棱臺(tái)上底面積，下底面積為，所以正四棱臺(tái)的體積為：，故選：B.6.已知P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的垂線，垂足為B，點(diǎn)Q是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為F1,0,圓心,半徑，連接,由拋物線定義可得,故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，故選：D7.已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則與，在有交點(diǎn)，即在有解，可轉(zhuǎn)化為在有解，令，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且時(shí)，，所以，則，又恒成立，即，，則，.故選：D.8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將橢圓繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到橢圓，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.橢圓的對(duì)稱軸為 B.的最大值為C.橢圓的離心率為 D.n的最大值為【答案】C【解析】設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，由可得和均在曲線上，故橢圓的對(duì)稱軸為，故A正確；對(duì)于B，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由A可知：是的兩條對(duì)稱軸，令，則，解得，令，則，解得，故長(zhǎng)半軸軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，故離心率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可將其看作是關(guān)于的方程，且該方程有實(shí)數(shù)根，故，故，因此n的最大值為，故D正確；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則中至少有一個(gè)為0C.D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A,若，滿足，但，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，則或，故中至少有一個(gè)為0，B正確，對(duì)于C，，C正確，對(duì)于D，設(shè)，,故故，，故D正確，故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.是的極大值點(diǎn)C.在處的切線方程為 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】A：，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A對(duì)；B：由，令，則，即且，令，則，即且，顯然時(shí)，上遞減，上遞增，故是的極小值點(diǎn)，B錯(cuò)；C：由B分析知，又，易知在處的切線方程為，C對(duì)；D：由B分析知，區(qū)間中，在上遞增，在上遞減，D錯(cuò).故選：AC11.某高校甲、乙兩個(gè)班級(jí)舉行團(tuán)建活動(dòng)，在活動(dòng)中甲、乙兩個(gè)班各派出由6人組成的一支隊(duì)伍參加一項(xiàng)游戲．甲班的隊(duì)伍由2個(gè)女生和4個(gè)男生組成，乙班的隊(duì)伍由4個(gè)女生和2個(gè)男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊(duì)伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊(duì)伍，以分別表示由甲班隊(duì)伍中抽出的是女生和男生；再?gòu)囊野嗟年?duì)伍中隨機(jī)抽取一名同學(xué)加入甲班的隊(duì)伍，以表示從乙班隊(duì)伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件B相互獨(dú)立C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，不可能同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______．【答案】【解析】由得：,由得：,所以，,所以.故答案為：13.設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．【答案】2【解析】不妨設(shè)在第一象限，則點(diǎn)也在第一象限，設(shè)，，因?yàn)椋?，故，，又，故，解得，由雙曲線定義得，故，，又，又，故，故，又，故，，故，將代入中，得，解得，所以的離心率為.故答案為：214.某校100名學(xué)生軍訓(xùn)時(shí)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，規(guī)則如下：從左到右按照序號(hào)1至100排列，進(jìn)行1至2報(bào)數(shù)，報(bào)到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的50位同學(xué)從左到右按照序號(hào)1至50排列，進(jìn)行1至2報(bào)數(shù)，報(bào)到2的同學(xué)向前一步；把向前走一步的25位同學(xué)從左到右按照序號(hào)1至25排列，進(jìn)行1至2報(bào)數(shù)，報(bào)到2的同學(xué)向前一步；依次類推，直到剩下一位同學(xué)為止．問走到最前面的同學(xué)第一次的序號(hào)是__________號(hào)，如果這位同學(xué)把每次的序號(hào)記住，則這位同學(xué)的所有序號(hào)之和是__________．【答案】①.64②.126【解析】依題意，第一次報(bào)數(shù)后向前一步的原編號(hào)為，為第二次報(bào)數(shù)時(shí)的新編號(hào)，第二次報(bào)數(shù)后向前一步的原編號(hào)為，為第三次報(bào)數(shù)時(shí)的新編號(hào)，第三次報(bào)數(shù)后向前一步原編號(hào)為，為第四次報(bào)數(shù)時(shí)的新編號(hào)，第四次報(bào)數(shù)后向前一步的原編號(hào)為，為第五次報(bào)數(shù)時(shí)的新編號(hào)，第五次報(bào)數(shù)后向前一步的原編號(hào)為，為第六次報(bào)數(shù)時(shí)的新編號(hào)，顯然第六次報(bào)數(shù)時(shí)向前一步的編號(hào)為，因此走到最前面的同學(xué)各次編號(hào)按報(bào)數(shù)由后向前排列為，所以走到最前面的同學(xué)第一次的序號(hào)是64；這位同學(xué)的所有序號(hào)之和為.故答案為：64；126四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，已知（1）求；（2）若邊上的高為1且，求的面積．解：（1）且即由正弦定理得∵在中，，即．（2），由正弦定理得在中，作于點(diǎn)為邊上的高，即設(shè)為上的四等分點(diǎn)，中，中，且．16.已知函數(shù)．（1）已知在處取得極小值，求a的值；（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)樗砸驗(yàn)樵谌〉脴O小值，所以，所以，檢驗(yàn)：，定義域?yàn)椋?，x3-0+↓極小值↑所以；（2）因?yàn)閷?duì)恒成立所以令①即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增恒成立，②即時(shí)，，x1-0+0↓極小值↑所以，與題意不符，舍去，綜上所述：．17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求證：．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，而，所以數(shù)列成首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，（2）解：由（1）知，，則，由，所以，則，設(shè)前n項(xiàng)和記為，所以①，則②，①②得，則，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(3)證明：由（2）知，，則，所以所以，因?yàn)?，所以?8.如圖，在直四棱柱中，平面，，，其中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若異面直線、所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，在直四棱柱中，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則且，所以，且，所以，四邊形平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?（2）解：連接，設(shè)，連接，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，異面直線、所成余弦值即直線、所成余弦值，在直四棱柱中，面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，，且，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，在中，，，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，又因?yàn)槠矫?，則，在中，，則，連接，取其中點(diǎn)，連接、，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、，設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，易知面的一個(gè)法向量，，由圖可知，二面角為鈍角，因此，二面角余弦值為.19.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)訄A與橢圓相交于、、、四個(gè)不同的點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、．①比較與的大?。ú灰o出證