江蘇省四市十一校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段聯(lián)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省四市十一校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段聯(lián)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得.故選：C.2.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】中，，故，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，故焦點(diǎn)到漸近線的距離為，由對(duì)稱性可知，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.故選：B3.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列（）A.第11項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第13項(xiàng) D.第14項(xiàng)【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.4.以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為圓心到直線的距離為，所以圓的半徑為，圓的方程為.故選：D.5.已知點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)，則的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】已知拋物線上有一點(diǎn)Px0,y0，則又，故在拋物線的外部，則，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為，則，故．由于，當(dāng)三點(diǎn)共線（在之間）時(shí)，取到最小值，則的最小值為．故選：B6.“天問(wèn)一號(hào)”是執(zhí)行中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)的探測(cè)器，該名稱源于屈原長(zhǎng)詩(shī)《天問(wèn)》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無(wú)止境．圖（1）是“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．過(guò)橢圓上的點(diǎn)P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問(wèn)一號(hào)”在點(diǎn)P時(shí)對(duì)火星的觀測(cè)角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個(gè)點(diǎn)處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T【答案】A【解析】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?，所以越小，越大，越大，所以?dāng)點(diǎn)P位于條件中點(diǎn)Q處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大.故選：A.7.將正整數(shù)分解為兩個(gè)正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)，時(shí)，，所以；當(dāng)，時(shí)，，所以；所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和為：，故選：B.8.已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以三角形為正三角形，所以，即點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，點(diǎn)所在圓的方程為，要使得為鈍角恒成立，則點(diǎn)所在的圓在以為直徑的圓的內(nèi)部，而在直線上，到直線的距離，所以以為直徑的圓的半徑的最小值為，所以的最小值為．此時(shí)為直角，所以的取值范圍是,．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對(duì)得6分，部分對(duì)得部分分.9.已知曲線，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則曲線C為橢圓B.若，則曲線C為雙曲線C.若曲線C為橢圓，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定大于2D.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若為橢圓，則，A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若為雙曲線，等價(jià)于，即或，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，雙曲線的離心率為，且雙曲線的離心率，故D正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列C.中存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】ABD【解析】數(shù)列中，由，得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，即成等差數(shù)列，B正確；對(duì)于C，假定連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，整理得，此方程無(wú)解，即中不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，兩式相減得，因此，D正確.故選：ABD11.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.的離心率為 C. D.【答案】ACD【解析】由，所以為等邊三角形，且在以為直徑的圓上，所以，即，A對(duì)；若，則，B錯(cuò)；，C對(duì)；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，即，D對(duì).故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列條件中，哪兩個(gè)條件組合一定能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的是______（填序號(hào)）（寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可）.①焦點(diǎn)在軸上；②焦點(diǎn)在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；④焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為.【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到拋物線的方程為，則焦點(diǎn)一定在軸上，故①必選，②不選.若選①③，由拋物線的定義可知，得，則拋物線的方程為.若選①⑤，設(shè)焦點(diǎn)，，，，由，得解得，故拋物線的方程為.由④可知，故還可選擇①④.故答案為：①③（答案不唯一）13.已知數(shù)列滿足，，且.若是數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，所以?shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列，所以，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取最大值，所以故答案為:14.如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線l交雙曲線C于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l的垂線交雙曲線C于點(diǎn)G，【答案】【解析】設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)，連接，設(shè)則再根據(jù)雙曲線的定義可知：由雙曲線的對(duì)稱性可知，是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，所以四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以可得，所以由勾股定理得：，化?jiǎn)得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知雙曲線的離心率，實(shí)軸長(zhǎng).（1）求的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，求；解：（1）由題設(shè)，又，所以，則.（2）由右焦點(diǎn)為，則，聯(lián)立雙曲線方程，得，整理得，顯然，則，，所以.16.在等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡(jiǎn)可得，整理可得，由，則，由方程解得，由，則.由數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.（2）由，則，，由數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則.17.如圖，圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）是否存在弦被點(diǎn)平分？若存在，寫(xiě)出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）是過(guò)點(diǎn)的另一條弦，當(dāng)與始終保持垂直時(shí)，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，直線為，故，由圓的圓心為原點(diǎn)且半徑為，則圓心到距離為，所以.（2）假設(shè)存在，當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則，故，又，即，所以直線為，則.（3）記點(diǎn)到的距離分別為，有，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最大值為.18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過(guò)焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補(bǔ)，問(wèn)直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）在第（2）問(wèn)的條件下，當(dāng)面積最大時(shí)，求直線MN的方程.解：（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得，由圖知，直線的傾斜角互補(bǔ)，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，代入，消去得.設(shè)，所以，可得，因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)，所以在上式中以代替，可得，所以直線的斜率，即直線的斜率為定值.（3）由（1）已得，,可設(shè)直線的方程為：，代入，整理得：，則，即，設(shè)，則，于是，，點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為：，因，則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線的方程為,即和.19.若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.（1）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，，判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列.（3）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和.解：（1）因?yàn)槌?/p>