湖北省新八校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省新八校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】因為，，與垂直，所以，解得，所以，所以.故選：C.2.橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】由，因為橢圓的焦點在軸上，所以，，因為長軸長是短軸長的兩倍，所以，所以a=2，得.故選：D.3.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是（）A.至少有1名女生與全是女生 B.至少有1名女生與全是男生C.恰有1名女生與恰有2名女生 D.至少有1名女生與至多有1名男生【答案】C【解析】“從中任選2名同學(xué)參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.至少有1名女生與全是女生可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；至少有1名女生與全是男生是對立事件，故B錯誤；恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對立事件，故C正確；至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故D錯誤.故選：C.4.已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為80，21，若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個數(shù)據(jù)80，數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)和方差分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題得，所以，則新數(shù)據(jù)平均數(shù)為，故A，B錯誤；且由題意，所以，則新數(shù)據(jù)方差，故C錯誤，D正確.故選：D.5.在直三棱柱中，，，為的中點，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為原點，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，則，，，，所以，，所以，故與所成角的余弦值為.故選：B.6.過點的直線與橢圓相交于兩點，且恰為線段的中點，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】顯然在橢圓內(nèi)，當(dāng)直線的斜率不存在，即直線方程為時，可得，或，，此時不是線段的中點，所以直線的斜率存在，設(shè)，，則，兩式相減并化簡得，又，，代入得，解得，故選：D.7.已知圓，圓，，分別是圓，上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，如圖：圓關(guān)于軸的對稱圓為圓，連接，交軸于，交圓于，交圓于，此時，最小，最小值為，故選：A.8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點，點.（1）若直線經(jīng)過點，且以為方向向量，是直線上的任意一點，則直線的方程為；（2）若平面經(jīng)過點，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點，則平面的方程為.利用以上信息解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】平面的方程為，平面的一個法向量.根據(jù)，所以直線的方向向量可為：設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為0.7，乙每次命中概率為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（）A.兩人都命中的概率為0.56 B.恰好有一人命中的概率為0.38C.兩人都沒有命中的概率為0.6 D.至少有一人命中的概率為0.7【答案】AB【解析】記“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，則，，兩兩獨立.，，.對于選項A：“兩人都命中”，，故A正確；對于選項B：“恰好有一人命中”，，故B正確；對于選項C：“兩人都沒有命中”，，故錯誤；對于選項D：“至少有一人命中”是“兩人都沒有命中”的對立事件，概率為，故D錯誤.故選：AB.10.設(shè)動直線與圓交于，兩點，則下列說法正確的有（）A.直線過定點 B.當(dāng)最大時，C.當(dāng)最小時， D.當(dāng)最小時，其余弦值為【答案】ABC【解析】對于選項A，由動直線可得：，令可得，即直線過定點，即選項A正確；對于選項B，當(dāng)取得最大值時，直線過圓心，則，得，選項B正確；對于選項C，當(dāng)取得最小值時，直線與和的連線垂直，經(jīng)過和的直線的斜率為1，故直線的斜率為，故，選項C正確；對于選項D，當(dāng)最小時，最小，此時直線與和的連線垂直，則，由余弦定理可得，即選項D錯誤；故選：ABC.11.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為，棱數(shù)為24，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）A.平面B.若是棱的中點，則與平面平行C.若四邊形的邊界及其內(nèi)部有一點，，則點的軌跡長度為D.若為線段上的動點，則與平面所成角的正弦值的范圍為【答案】ACD【解析】如圖所示，“阿基米德體”的所有頂點都是正方體的棱的中點.對于A選項，由圖可知平面，A選項正確；對于B選項，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面平面，而與平面相交，故與平面不平行，B選項錯誤；對于C選項，半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為4，在正方體中，平面，得，故，所以點的軌跡是以為圓心、2為半徑的圓，又點在四邊形的邊界及其內(nèi)部，所以點的軌跡是劣弧，所以點的軌跡長度為，故C正確；對于D選項，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，與平面所成角為，則，取，則，，由，可得，故D選項正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，，則點到直線的距離為__________.【答案】【解析】由題意可得，，，則點A到直線的距離為.故答案為：.13.若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，化簡曲線得：，表示以為圓心，1為半徑的圓的上半圓.直線經(jīng)過定點且斜率為，半圓與直線有兩個交點，設(shè)直線與半圓的切線為，半圓的左端點為，當(dāng)直線的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點，由點到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時滿足，解之得，即，又因為直線的斜率，所以直線的斜率的范圍為.故答案為：.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長與雙曲線的右支相交于點，若，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】雙曲線的方程為，一條漸近線方程為，設(shè)F1-c,0，可得若，則，由雙曲線的定義可得，在直角三角形中，，，在中，，即有，所以，即，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與圓交于、兩點，若，求直線的方程.解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意可得，解得，所以圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)時，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或.16.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）過點，且與雙曲線的離心率相等；（2）兩頂點間的距離為8，漸近線方程為.解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，且，又雙曲線的離心率為，則，得，故，所以雙曲線的方程為.（2）由題意知，當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，則，可得，所以雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，則，可得，所以雙曲線的方程為；綜上所述：雙曲線的方程為或.17.半程馬拉松是一項長跑比賽項目，長度為21.0975公里，為全程馬拉松距離的一半.20世紀(jì)50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“半程馬拉松”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知識競賽者按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與知識競賽者的平均年齡；（2）現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率；（3）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計年齡在內(nèi)的所有參與知識競賽者的年齡的平均數(shù)和方差.解：（1）設(shè)參與知識競賽者的平均年齡為，則（歲）.（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，第五組應(yīng)抽取人，記為（乙），，對應(yīng)的樣本空間為：，，設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，所以.（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，，據(jù)此估計第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差為.18.如圖1，在直角梯形中，已知，，將沿翻折，使平面平面.如圖2，的中點為.（1）求證：平面；（2）若的中點為，在線段上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，的中點為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面；（2）取的中點為，連接，則，由圖1直角梯形可知，為正方形，，，，，.由（1）平面，可知，，兩兩互相垂直，分別以，，為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z取，則.即平面的法向量為，由平面，取平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或（舍）.所以，線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為.點位于線段靠近的三等分點處.19.有一個半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上某一點與點重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當(dāng)取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的軌跡記為曲線，以點，所在的直線為軸，線段的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于，兩點.（i）當(dāng)為何值時，為定值，并求出該定值；（ii）過，兩點分別作曲線的切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時，若其交點在直線上，探究：此時直線是否過定點？若過，求出該定點；