河南省濟源市2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省濟源市2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若實數(shù)a，b，c滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以，故A正確；若，故B錯誤；若，故C錯誤；若，故D錯誤.故選：A.2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】①錯誤，中包括0；②錯誤，中沒有任何元素；③錯誤，與之間為包含關(guān)系，不應該用屬于符號；由③可知，④正確；⑤錯誤，中有兩個元素，中只有一個元素；⑥正確，有理數(shù)中包括整數(shù).故選：B.3.命題“任意，都有”的否定為（）A.存，使得B.不存在，使得C.存在，使得D.對任意，都有【答案】A【解析】命題“任意，都有”的否定為“存在，使得”.故選：A.4.方程的解所在區(qū)間是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，，，，∴，∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，∴函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：C.5.華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，國際上以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的圖象在縱軸右側(cè)先單調(diào)遞增再遞減，又和在縱軸右側(cè)均先遞增，而和在縱軸右側(cè)均先遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可排除B、C；若，則根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性有時函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象不符，故D錯誤；而，則根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性有時函數(shù)單調(diào)遞減，與圖象相符，故A正確.故選：A.6.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，，所以．故選：A.7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，，所以．故選：C．8.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的滿足且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是定義在上的偶函數(shù).任取，，則：，，所以在上遞增，則在上遞減.，，對于不等式，當時，有，即；當時，由，即，綜上所述，不等式的解集為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.冪函數(shù)的圖象都過點B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D.，是以為周期的函數(shù)【答案】AC【解析】對于A，易知冪函數(shù)，顯然恒過定點，故A正確；對于B，由可知，即其定義域為，而的定義域為R，所以兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；對于C，由反函數(shù)的定義易知函數(shù)與互為反函數(shù)，故其函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，根據(jù)周期性定義知對于定義域內(nèi)，，不滿足周期性定義，故D錯誤.故選：AC.10.記無理數(shù)小數(shù)點后第位上的數(shù)字是，則是的函數(shù)，記作，定義域為，值域為，則下列說法正確的是（）A. B.也是的函數(shù)C. D.不是周期函數(shù)【答案】AD【解析】由題可得，，則不是的子集，所以C不正確；無理數(shù)小數(shù)點后第4位上的數(shù)為2，故，A正確；當時，對應的不是唯一確定的，根據(jù)函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，故B不正確；由于為無理數(shù)，所以不是周期函數(shù)，故D正確.故選：AD.11.將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的有（）A.B.圖象的對稱軸過圖象的對稱中心C.在上，與都單調(diào)遞減D.和圖象的交點為【答案】AB【解析】由的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱可知=，又根據(jù)題意可知，整理得，即，顯然不能恒為零，所以，故A正確；即，令，所以，即圖象的對稱軸為過圖象的對稱中心為，故B正確；當，此時單調(diào)遞增，顯然C錯誤；由，即，此時，故D錯誤.故選：AB.12.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，，當時，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.為奇函數(shù)C.D.函數(shù)有11個不同的零點【答案】BC【解析】因為，，所以的圖象關(guān)于軸對稱，且關(guān)于中心對稱，且，即，所以的一個正周期為，因為當時，，則，所以由題意可知：，故A錯誤；同理，所以為奇函數(shù)，故B正確；易知，，，所以，故，故C正確；函數(shù)的零點等價于與的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象如下：如圖所示，，當時，與無交點，同理時，與無交點，即兩函數(shù)交點在上，易知共有10個交點，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知某扇形的半徑為，面積為，那么該扇形的弧長為________.【答案】【解析】設(shè)該扇形的弧長為，由扇形的面積，可得，解得.14.設(shè)，，定義運算，則函數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】當時，，由，所以；當時，，由，此時函數(shù)無最大值，綜上所述：函數(shù)的最大值是.15.隨著全民健身運動的開展，人們的健身需求更加多樣化和個性化．某健身機構(gòu)趁機推出線上服務，健身教練開通直播，線上具有獲客、運營、傳播等便利，線下具有器械、場景豐富等優(yōu)勢，成功吸引新會員留住老會員．據(jù)機構(gòu)統(tǒng)計，當直播間吸引粉絲量不低于2萬人時，其線下銷售健身卡的利潤y（單位：萬元）隨粉絲量x（單位：萬人）的變化情況如下表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們用函數(shù)模型進行擬合，建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式．請你按此模型估測，當直播間的粉絲量為17萬人時，線下銷售健身卡的利潤大約為______萬元．x（萬人）359y（萬元）【答案】【解析】根據(jù)題意及表格有，作差得，即，則，所以，則時，.16.已知（）滿足，，且在上單調(diào)，則的最大值為________.【答案】【解析】滿足，，即，，在上單調(diào)，，即，當時最大，最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)的定義域為集合的定義域為集合．（1）當時，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，解得或，所以，所以．當時，由，得，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，得，即，解得，所以．因為“”是“”的必要條件，所以．所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍是．18.（1）計算：；（2）當時，求關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）由.（2）由，即，若，則，若，則，所以，若，則，所以，綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19.如圖，在平面直角坐標系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊和單位圓交于A點，將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角后，終邊在第二象限和單位圓交于B點．點A的橫坐標為，點B的橫坐標為．（1）求的值；（2）求的值；（3）求值．解：（1）由題意及三角函數(shù)定義可知，，所以，由誘導公式可知.（2）由（1）及二倍角公式可知，又，所以，故（負值舍去）.（3）由題意可知，為第二象限角，所以，所以，因為，為第二象限角，，則為第二象限角，即，所以20.春運是中國在農(nóng)歷春節(jié)前后發(fā)生的一種大規(guī)模全國性交通運輸高峰期、高交通運輸壓力現(xiàn)象.已知某火車站候車廳，候車人數(shù)與時間t相關(guān)，時間t（單位：小時）滿足，.經(jīng)測算，當時，候車人數(shù)為候車廳滿廳狀態(tài)，滿廳人數(shù)5160人，當時，候車人數(shù)會減少，減少人數(shù)與成正比，且時間為6點時，候車人數(shù)為3960人，記候車廳候車人數(shù)為.（1）求的表達式，并求當天中午12點時，候車廳候車人數(shù)；（2）若為了照顧群眾的安全，每時需要提供的免費礦泉水瓶數(shù)為，則一天中哪個時間需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少?解：（1）當時，設(shè)，，則，.，故當天中午12點時，候車廳候車人數(shù)4200人.（2），①當時，，當且僅當時等號成立；②當時，；又，所以時，需要提供的礦泉水瓶數(shù)最少.21.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，C是扇形弧上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記，矩形的面積為．（1）求；（2）求的最大值及此時x的值；（3）若，求