廣東省江門一中2024屆5月高考三輪模擬試卷數(shù)學(xué)試題

廣東省江門一中2023屆5月高考三輪模擬試卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，，則（）A． B． C． D．2．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．3．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．5．幻方最早起源于我國(guó)，由正整數(shù)1，2，3，……，這個(gè)數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．50506．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，187．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．8．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平，實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．12011．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．212．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，則_________.14．已知數(shù)列滿足對(duì)任意，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15．已知是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為______.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，求證：.20．（12分）我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求，（用n表示）.21．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn)；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因?yàn)?，所以有：是方程的二?shí)根，又，，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D．考點(diǎn)：等比數(shù)列．2．C【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運(yùn)行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎(chǔ)題4．C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．5．C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛小⒚織l對(duì)角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6．A【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．7．B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng)．8．C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

由題意得出的值，進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

可分成兩類，一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，其他一新一老結(jié)對(duì)，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師，分別計(jì)算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，有．∴共有結(jié)對(duì)方式60＋90＝150種．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用．解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計(jì)數(shù)．本題中有一個(gè)平均分組問題．計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò)．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．11．C【解析】

推導(dǎo)出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題.12．B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱性，求出所求式子的最大值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，，，，解得：，，則.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.14．【解析】

利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由題，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設(shè)，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算與的夾角的余弦值得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，分別是，的中點(diǎn)，，，又，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，，1，，，，，，，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，，，直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定，空間向量與直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題．18．（1）（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義計(jì)算，再根據(jù)，，的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫，得出關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍．【詳解】（1）由題意可知，，．又，，，橢圓的方程為：．（2）若存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn)．設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，消元得：，△，又，故．由根與系數(shù)的關(guān)系可得，設(shè)的中點(diǎn)為，，則，，線段的中垂線方程為：，令可得，即．，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，，且．的取值范圍是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力．19．（1）（2）詳見解析【解析】

（1），在上，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因?yàn)?，所?所以在上是增函數(shù)，所以，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.（2），.令，則，根據(jù)題意知，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?，?dāng)從正方向趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對(duì)任意，，即，所以在上是減函數(shù)；對(duì)任意，，即，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，．20．（1），.（2），【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出最終結(jié)果.【詳解】解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：，，，，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在向量的n個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個(gè)數(shù)為：1，3，…，進(jìn)行討論：的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；的n個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為1；所以，.因?yàn)椋?，②得，，所?解法1：因?yàn)?，所?.解法2：得，.又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和組合，是一道較難的綜合題.21．（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)（2）解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以（3）解:由題,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,則,所以方程（*）變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件：,即,得【點(diǎn)睛】本題考查