圓中最值問題專訓(xùn)（九大題型）（原卷版）

第二十四章圓

專題20圓中最值問題專訓(xùn)（九大題型）

言【題型目錄】

題型一圓中的線段最值問題

題型二圓中的線段之和最值問題

題型三圓中的線段平方和最值問題

題型四圓中的面積最值問題

題型五圓中的周長(zhǎng)最值問題

題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問題

題型七圓中的翻折最值問題

題型八阿氏圓求最值問題（含相似證明）

題型九圓中的最值綜合問題

一31經(jīng)典題型一圓中的線段最值問題】

1.（2023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABCP中，BP=血,尸。=4,現(xiàn)以8c為邊在2c的下方作正

方形/3CZ）并連接/P,則/P的最大值為（）

A.2亞B.6C.4+20D.V26

2.（2023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,4（6,0）、8（0,8）,點(diǎn)C在y軸正半軸上,

點(diǎn)。在x軸正半軸上，且CQ=6,以CD為直徑在第一象限作半圓,交線段48于E、F,則線段EF的最大

值為（）

A.3.6B.4.8C.3V2D.36

3.Q023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在BC邊上,連接/E,尸為/E

中點(diǎn)，連接BF,點(diǎn)G在。E上且8尸=入7,連接CG,則CG的最小值為（）

A.2&B.75C.275-2D.亞-2

4.（2023春?廣東?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，直線48：>=-3x+9交>軸于/,交x軸于2,x軸上一點(diǎn)

C（-l,0）,。為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段2。繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段班，連接CE,CD,則當(dāng)C￡長(zhǎng)

A.V10B.V17C.5D.2717

5.（2023春?四川成都?八年級(jí)成都實(shí)外校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸

交于A,8兩點(diǎn)，0。，48于點(diǎn)。，尸是線段。C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,將線段AP繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,

得到線段8P,連接CP,則線段CP的最小值為.

6.（2023春?四川成都?八年級(jí)?？计谥校┰?。8C中，N/C8=90°,C4=C8=4,。為的中點(diǎn)，P為AC

的中點(diǎn)，。為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，將線段尸。繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段E為直線N2上

一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)為G,連接GH,則線段GH的最小值為.

7.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在“BC中，AC=4,BC=6,//C3=30。，。是“BC內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)，。。為A/CD的外接圓，。。交直線5。于點(diǎn)P,交邊8c于點(diǎn)E,若凝石,則40的最小值

為.

8.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知。3c中，BC=6cm,ZA=60°,則/臺(tái)+3二的最大值

2

為.

9.（2023?河南焦作??？级＃┤鐖D，在RM/BC中，AB=3,BC=4,￡）8=90°,正方形CDEF的邊長(zhǎng)為

1,將正方形CD吐繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為E尸的中點(diǎn)，連接4G,則線段NG的取值范圍是.

10.（2023春?江蘇?八年級(jí)期末）小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中

ZACB=ZAED=90°,ZBAC=ZDAE=30°,AE=60AB=443,連接BE,取BE的中點(diǎn)R將三角

板NBC繞點(diǎn)/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)尸到直線/O的距離的最大值是.

二31經(jīng)典題型三圓中的線段平方和最值問題】

1.（2023?廣西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，48=4,以邊CD為直徑作半圓O,E是半圓。上的

動(dòng)點(diǎn)，EF工D4于點(diǎn)、F,EP，4B于點(diǎn)P,設(shè)M=x,EP=y,則/^+下的最小值是（）

4-273C.275-1D.275-2

2.（2022春?全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，在正方形48CD中，AB=2,以邊為直徑作半圓。，E是半圓。

上的動(dòng)點(diǎn)，EFIDA于點(diǎn)、F,EP工4B于點(diǎn)P,設(shè)斯=x,￡P(guān)=y,則/+/的最小值是（）

A.V3-1B.4-26C.V5-1D.6-2V5

3.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)校考期中）在A48C中，若。為3c邊的中點(diǎn)，則必有AB2+AC2=2AO2+2BO2

成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題如圖，在矩形OEFG中，已知。E=12,EF=8,點(diǎn)”在以半徑為4

的。。上運(yùn)動(dòng)，則板2+必?2的最大值為（）

C.272D.100

4.（2022春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,BC均在坐標(biāo)軸上，AO=BO=CO1,過A,O,C作

QD,E是。。上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE,BE,則。6+班2的最大值是（）

D.4+V2

5.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)/、B、C均在坐標(biāo)軸上，4O=BO=CO=1,過/、。、C作

QD,￡是。。上任意一點(diǎn)，連結(jié)C￡,BE,則CE2+B￡2的最大值是

6.(2022秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)2(1,0),點(diǎn)M(3,

4),以朋■為圓心，2為半徑作。朋;若點(diǎn)尸是0M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P/2+尸用的最大值為

7.(2022?九年級(jí)單元測(cè)試)如圖，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，AO=BO=CO=\,過A、0、C作。

￡是。。上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE,BE,則CE?+B爐的最大值是.

8.(2022秋?湖北黃岡?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸是以。(-3,4)為圓心，1

為半徑的。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知4-1,0),5(1,0),連接尸/,PB,則Pf+P4的最小值是.

9.(2023秋?廣東廣州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)在邊長(zhǎng)為10的正方形43。中，以43為直徑作半圓，圓心為O,

E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作即，48,垂足為尸，連接。￡.

DD

圖1圖2

（1）如圖1,若直線DE與圓。相切，求線段DE的長(zhǎng);

（2）求DE的最小值;

(3)如圖2,若f=EA2+EB?+EC?+ED?,求t的最小值.

j【經(jīng)典題型四圓中的面積最值問題】

3

1.（2022秋?江蘇徐州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知直線歹=6與x軸、歹軸分別交于A、3兩點(diǎn),

P是以。（04）為圓心、半徑為1的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸/、PB.則△尸面積的最大值是（）

A.21B.33C.—D.42

2

2.（2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)高郵市南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形Z3CD中，45=8,若點(diǎn)E

在對(duì)角線4。上運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸，連接￡/、CF.點(diǎn)尸在上，且

CP=3PD.

給出以下四個(gè)結(jié)論：①EF=4iDE，②EF2=AE2+CE2,③線段尸產(chǎn)的最小值是3vL④△。尸￡面積

的最大是16.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②④C.①②③D.①③④

3.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，△/尸3中，AB=26,4APB=90。，在

42的同側(cè)作正正V/PE和正△APC,則四邊形尸CAE面積最大值是（）

A.1B.2C.2aD.-V2

2

4.（2022秋?江蘇宿遷?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。中，半徑為4的。。與x軸交于

點(diǎn)/,B,與y軸交于點(diǎn)C,D,連接8C,已知x軸上一點(diǎn)2（8,0）,點(diǎn)。是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，點(diǎn)"

為尸。的中點(diǎn)，連接BM,CM,貝IJABCM面積的最小值為（）

A.16-872B.16-472C.12D.16

5.（2023春?四川攀枝花?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtA48c中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F

在邊NC上，并且CF=2,點(diǎn)￡為邊3C上的動(dòng)點(diǎn)，將4CE尸沿直線E尸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，貝面

積的最小值是

B

6.（2023?江蘇蘇州?蘇州市景范中學(xué)校校考二模）如圖，已知等腰中，ZACB=120°,AC=BC=8,

點(diǎn)。、E分別為43、8C邊上任意點(diǎn)，以。E為直徑作圓正好經(jīng)過點(diǎn)C,與4C交于點(diǎn)R貝bC尸E面積最大

7.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考二模）在“8C中，若48=4,ZACB^45°,則。8C面積的最大值

為.

8.（2023?福建福州?福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直線＞=上+3與坐標(biāo)軸分別交于A、

B兩點(diǎn),M是以C（6,0）為圓心，2為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)M4、MB,則△M43面積的最大值

9.（2023春?陜西?九年級(jí)專題練習(xí)）【問題提出】（1）如圖①，48為。。的一條弦，圓心。到弦42的距

離為4,若。。的半徑為7,則。。上的點(diǎn)到弦N3的距離最大值為:

【問題探究】（2）如圖②，在。8C中，NA4c=60。,/。為BC邊上的高，若4D=6,求面積的最

小值；

【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階

段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，^ABC

為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中442C=90。，BD平分/ABC交AC于點(diǎn)、D,點(diǎn)、P為BC上一點(diǎn)、,學(xué)校計(jì)劃

將四邊形ZAP。部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿8。鋪設(shè)一條人行走道，△CAP部分修建為興趣活動(dòng)基

地.根據(jù)規(guī)劃要求，8。=80亞米，4CDP=45。.且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形N2尸。）的面積應(yīng)盡可能

小，問四邊形45尸。的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

10.2023春?廣東佛山?八年級(jí)?？计谀┤鐖D1所示,“BC是等邊三角形，點(diǎn)。和點(diǎn)E分別在邊和4C

上（。，E均不在所在線段的端點(diǎn)上），且點(diǎn)P,N分別是線段?！?DC,3c上的中點(diǎn)，連

接尸PN.

備用圖

⑴請(qǐng)說明PM=7W.并求出的大小;

（2）把V/OE繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷APMN的形狀并說明理由;

（3）把VADE繞點(diǎn)/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若/。=4,N8=10,請(qǐng)直接寫出ARW的最大面積.

A【經(jīng)典題型五圓中的周長(zhǎng)最值問題】

1.（2023秋?山東濱州?九年級(jí)濱州市濱城區(qū)第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，等腰Rt4/BC內(nèi)接于圓O,直徑

48=2近，。是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,BD,且CD交于點(diǎn)G.下列結(jié)論：①DC平分NADB；

②NDAC=NAGC；③當(dāng)。3=2時(shí)，四邊形NO8c的周長(zhǎng)最大；④當(dāng)ND=CD,四邊形402c的面積為

8正確的有（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

2.（2022秋?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接瓦）,將

助繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到EF,連接。尸,3,則當(dāng)。尸+C尸之和取最小值時(shí)，AOC尸的周長(zhǎng)為（）

A.375+3B.46+3C.572+3D.2而+3

3.2023春?廣東深圳?八年級(jí)?？计谥校┑冗吶切?BC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，ZFOG

=120°,NFOG的兩邊。尸，OGAB,8c分別相交于。，E,NFOG繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論

@OD=OE；@SAODE=SABDE^③S四邊彩ODBEMNM；④ABDE周長(zhǎng)最小值是9.其中正確個(gè)數(shù)是

O

C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，。是邊長(zhǎng)為1的等邊AA8C的中心，將48、BC、C4分別繞點(diǎn)/、

點(diǎn)八點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180。），得到/*、BC、CA',連接B,C'、A'C\0A\OB1.當(dāng)

A/'B'C'的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為（）

C.120°D.150°

5.（2023春?湖北孝感?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形NBCD的邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn),

連接ED,將助繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到EF,連接。。CF,則當(dāng)。尸+C尸之和取最小值時(shí)，AOC尸的

周長(zhǎng)為.（用含a的代數(shù)式表示）

6.（2023春?福建漳州?八年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）等邊A/BC的邊長(zhǎng)為2道，點(diǎn)。是三邊垂直平

分線的交點(diǎn)，ZFOG=nO°,/FOG的兩邊。尸，OG與AB,3c分別相交于。，E,/FOG繞。點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①OD=OE；②S四邊形0BE=6；③周長(zhǎng)最小值是2+6；④ABDE面

積最大值是6-1.其中正確的是

7.（2022?山東青島?山東省青島第二十六中學(xué)?？级＃┤鐖D所示，在扇形048中，ZAOB=90°,半徑

。4=8.點(diǎn)尸位于凝的;處、且靠近點(diǎn)A的位置，點(diǎn)C、。分別在線段CM、OB上,CD=8.E為。。的

中點(diǎn).連接EF、BE.在CD滑動(dòng)過程中（。長(zhǎng)度始終保持不變），當(dāng)￡尸取最小值時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)

為.

8.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB、NC是以/為公共端點(diǎn)的兩條線段，且滿足

AB=AC=a,ZBAC=12O°,作線段/C的垂直平分線/交4C于點(diǎn)。.點(diǎn)P為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，連接/尸,

以/P為邊構(gòu)造等邊連接。0.當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，AP=b,則△"。周長(zhǎng)的最小值

為.（用含有0、6的式子表示）

9.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)?？计谥校┒x兩個(gè)角對(duì)應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

叫做“互余三角形”.如圖1,在A48C和ADE尸中，若//+/￡=/3+/。=90。，S.AB=DE,則A48C

和ADE尸是“互余三角形”

C

圖1

（1）以下四邊形中，一定能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)“互余三角形”的是;（填序號(hào)）

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如圖2,等腰直角其中//CB=90。，/C=3C,點(diǎn)。是48上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)/、2重合）,

則圖中△和4是互余三角形，并求證：AD2+BD2=2CD2.

⑶如圖3,的半徑為5,四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，且和A/DC是，互余三角形”

①求ACP+BC?的值；

②若=NABC=15。,求A/3C和A/OC的周長(zhǎng)之差.

10.（2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。。為。8C的外接圓，AC=BC,點(diǎn)、D

是劣弧標(biāo)上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/，8重合），連接。4DB、DC.

圖2圖3

（1）如圖1,若是直徑，將A/CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABCE.若CO=4,求四邊形4D8C的面積；

（2）如圖2,若AB=4C,半徑為3,設(shè)線段DC的長(zhǎng)為x,四邊形NOBC的面積為S.

①用含有x的代數(shù)式表示S；

②若點(diǎn)分別在線段C4C3上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置.&DMN

的周長(zhǎng)有最小值p隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，p的值會(huì)發(fā)生變化.則所有p值中的最大值是.

5【經(jīng)典題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問題】

1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZ\492的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)

/的坐標(biāo)為（-6,4）；RSCQD中，ZCOD=90°,OD=473,ND=30。，連接8C,點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接

AM.將RMCO。以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（）

C.2V13-2D.2

2.（2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是中線4D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC,

將線段EC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到尸C,連接DF.當(dāng)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，。廠取得最小值時(shí),

773

丁

3.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三角形48C,三角形EFG均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。是

BC、EF的中點(diǎn)，直線4G、尸C相交于點(diǎn)三角形EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值為（）

A.473B.273C.2A/3-2D.473-4

4.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在。8C中，ZC<90°,48=30。，/3=10,AC=7,O為AC

的中點(diǎn)，M為2C邊上一動(dòng)點(diǎn)，將“3C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<a4360。）得到點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為ML連接。AT,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長(zhǎng)度的最小值是（）

B

C

A.1B.1.5C.2D.3

5.（2023春?江蘇無錫?八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知在矩形/BCD中，4D=9,AB=12,。為矩形的中心，在

等腰Rt“E尸中，ZEAF=90°,AE=AF=6.則EF邊上的高為:將/繞點(diǎn)/按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)一周，連接CE,取CE中點(diǎn)連接尸則尸M的最大值為.

6.（2023春?江蘇?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtA48C中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,點(diǎn)尸是

邊48上的一動(dòng)點(diǎn)，將。8C繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周得到A/'HC,點(diǎn)E是邊/'C的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過

7.（2023?河南焦作??？级＃┤鐖D，在RtA/8C中，AB=3,BC=4,05=90°,正方形COER的邊長(zhǎng)為

1,將正方形CDE尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接/G,則線段4G的取值范圍是.

8.（2023春?江蘇?八年級(jí)期末）小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中

ZACB=ZAED=90°,NBAC=NDAE=30°,AE=66,AB=4s/3,連接BE,取BE的中點(diǎn)尸，將三角

板4BC繞點(diǎn)/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)尸到直線/。的距離的最大值是.

9.(2022?福建泉州??？寄M預(yù)測(cè))在A48c中，AC=AB,ZCAB=12Q°,點(diǎn)。是邊48上的一動(dòng)點(diǎn).F

是邊。。上的動(dòng)點(diǎn).連接在'并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,交BC于G,連接BE.且NE+N8Db=180。，N4FC=6Q°.

用I圖3

(1)如圖1,若BC=6C，BE=4,求CD的長(zhǎng).

(2)如圖2,若點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，求證：AE=DF+6BF.

(3)如圖3,在(2)的條件下，將ASOE繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作取2月的中點(diǎn)為

M,連接CN.當(dāng)CM最大時(shí)，直接寫出器的值.

10.(2023秋?重慶?九年級(jí)重慶市第H^一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)如圖，在RtZUBC中，44c8=90。,

/C=3C,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)3作交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡.

A

AAM'

（1）如圖1,若NBCE=2ZDBE,BE=4,求“8C的面積；

（2）如圖2,延長(zhǎng)班到點(diǎn)尸使EF=CE,分別連接C尸，AF,AF交EC于點(diǎn)G.求證：BF=2EG.

（3）如圖3,若/C=N。，點(diǎn)/是直線4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD,將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。

得到線段MID,點(diǎn)P是NC邊上一點(diǎn)，/尸=3尸C,。是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸。，QM'.^PQ+QM'

的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出/尸。小的度數(shù).

=5【經(jīng)典題型七圓中的翻折最值問題】

1.（2022秋?江蘇無錫?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形NBCD中，NBCD=30。,BC=4,

CD=3后，〃?是邊的中點(diǎn)，N是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將A4W沿肱V所在直線翻折得到△⑷MTV,連

A.5<?<9B.3>/3<m<V79C.5<m<V79D.5<m<9

2.（2021?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RM/8C中，//CBugOOMCnS*Cng,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn),

點(diǎn)￡是邊48上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)8重合），沿?！攴跘DBE使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，連接度，則線段

好'長(zhǎng)的最小值是（）

A

A.2B.V41-4C.3D.3V13-4

3.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4,￡是邊CD的中點(diǎn)，尸是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接

BF,將△NAF沿3/翻折得到AG瓦"連接GE.當(dāng)GE的長(zhǎng)最小時(shí)，。尸的長(zhǎng)為（)

A.275-2B.275-4

C.475-6D.6-2石

4.（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形/BCD為矩形，AB=6,AD=4,點(diǎn)尸為邊

AB上一點(diǎn)，以。尸為折痕將AO4P翻折，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)連接44'交尸。于點(diǎn)M,點(diǎn)。為線段2C上

一點(diǎn)，連接"。，MQ,則/。+同。的最小值為.

5.（2023?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形/3CD中，ZA=60°,M是邊上的一點(diǎn)，且

AM=\AD,N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將九W沿亞W所在直線翻折得到△/'MN,連接HC,則HC長(zhǎng)度

4

的最小值是.

DC

6（2022秋?福建泉州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形紙片/BCD中，/B=10,/。=12,點(diǎn)￡是43

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是/。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△/￡尸沿E尸所在直線翻折，得到△/'所，則HC的長(zhǎng)的最小值

是.

【經(jīng)典題型八阿氏圓求最值問題（含相似證明）】

1.（2023春?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，4cB=90。，CB=I,NC=9,以C為圓心、3為半

徑作（DC,P為OC上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P、BP,則;NP+AP的最小值為（）

B.5也C.4+V10D.2V13

2.（2022春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，4（0,4）,8（4,0）,尸是第一象限內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，OP=2,連接/尸、BP,則AP+g/P的最小值是.

2V

-升

-4（-

3.（2023秋?浙江溫州?九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，AACB=60°,半徑為2的圓O內(nèi)切于/NC8.尸為圓

。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PM、PN分別垂直于N4C8的兩邊，垂足為M、N,則尸M+2PN的取值范圍

4.0023?江蘇蘇州?蘇州市第十六中學(xué)校考二模）如圖，在。。中，點(diǎn)4點(diǎn)B在。。上，ZAOB=90°,OA=6,

點(diǎn)C在CM上，且。C=2/C,點(diǎn)。是。5的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧48上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2OW的最小值

5.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方48。的邊長(zhǎng)為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)P是圓8上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.

D

6.（2023秋?浙江溫州?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在邊長(zhǎng)為4的正方形/BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,且BP=?.連

接CP,將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸Q.連接C。、DQ,則;。Q+CQ的最小值為

7.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)8為圓心作圓8與NC

相切，點(diǎn)尸為圓2上任一動(dòng)點(diǎn)，則P/+注PC的最小值是.

2

8.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在RTA42c中，乙4c2=90。，CB=4,C4=6,圓C的半徑為2,

點(diǎn)尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接NP,BP,求：

圖1

①4P+5P,

?2AP+BP,

③；/P+8尸,

④4P+38尸的最小值.

9.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，RtAABC,乙4c2=90。，AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形