圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型（原卷版）

專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個(gè)圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。

如圖1所示，48和8c是。。的兩條弦（即/3C是圓的一條折弦），BOAB,M是ABC的中點(diǎn)，則從M

向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補(bǔ)短法：如圖2,如圖，延長。8至R使BF=R4；

2）截長法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作〃，_L射線垂足為

例1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）定義圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點(diǎn)，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABCNABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn)，BD=1,作DE1AB交aABC的外接圓于E,

連接EA,貝！kEAC=

例2.（2023?浙江溫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知8c為。。的直徑，AB為一條弦（BOAB）,點(diǎn)用■是疵上的點(diǎn)，MD1BC

于點(diǎn)。，延長V。交弦48于點(diǎn)￡,連接即若BM=a,48=4,則/￡的長為（）

例3.（2023上?河南周口?九年級(jí)?？计谀﹩栴}呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,和3C是。。的兩條

弦（即折線/8C是弦。。的一條折弦），BOAB,“是弧/3C的中點(diǎn)，則從M向2c所作垂線的垂足。

是折弦N8C的中點(diǎn)，即CZ）=/8+8。，下面是運(yùn)用"截長法"證明CD=/8+8。的部分證明過程?

證明：如圖2,在C3上截取CG=48,連接以4,MB,MC和MG.

是弧/8C的中點(diǎn)，

.-.MA=MC,

⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

⑵實(shí)踐應(yīng)用：如圖3,"8C內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是弧4c8的中點(diǎn)，DELBC于點(diǎn)、E,依據(jù)阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

⑶如圖4,等腰內(nèi)接于AB=AC,。為弧上一點(diǎn)，連接。3,ZACD=45°,AC=6,BC=4,

求ABDC的周長.

例4.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,43和8c是。。的兩條弦（即

折線4BC是圓的一條折弦），8c>48,〃是疵的中點(diǎn)，則從M向8C所作垂線的垂足。是折弦N8C的

是疵的中點(diǎn)，?,?K4=MC

請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

實(shí)踐應(yīng)用：⑵如圖3,已知“8C內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是同的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為—.

（3）如圖4,已知等腰”8C內(nèi)接于0O,AB=AC,D為上一點(diǎn),連接DB,ZACD=45°,AELCD

于點(diǎn)￡,ABOC的周長為4亞+2，BC=2,請(qǐng)求出/C的長.

例5.（2023?河南商丘?統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古

希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長度不同的弦組成的

折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,N2和2C是。。的兩條弦(即/8C是圓的一條折弦)，BC>AB.”是弧48c的中點(diǎn)，則從M向

BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

小明認(rèn)為可以利用“截長法"，如圖2：在線段C2上從C點(diǎn)截取一段線段CN=/8,連接

MA,MB,MC,MN.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法"，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)X,連接他4,MB,MC

任務(wù)：⑴請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，

(2)就圖3證明：MC1-MB1=BCAB.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。

婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交,那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延

長線必經(jīng)過這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)o

如圖1,48co為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線NC和AD垂直相交，交點(diǎn)為￡,過點(diǎn)￡作BC的垂線所，延長也

與40交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是/。的中點(diǎn)。

如圖2,所示已知等腰R/A45C和等腰MA4EZ）,作交NG的延長線于點(diǎn)“，（1）SAACD=SAABE^

（2）若/尸18,則G為2E中點(diǎn)。

2、如圖3,已知等腰R/ZU8C和等腰R/ZUE。，在/尸的延長線取點(diǎn)“，使得”=FH；⑴5AAeD=5AABE；

（2）若尸為CZ）中點(diǎn)，貝IJ/G18E。

例L（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定

理"，也稱"布拉美古塔定理定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角

線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個(gè)定理的已知和求證.

已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形43CZ）中，對(duì)角線/C12。，垂足為尸，過點(diǎn)P作48的垂線分別交DC

于點(diǎn)”，M.求證：M是CD的中點(diǎn).

任務(wù)：⑴請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過程.（2）該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個(gè)命題:

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是—命

題.（填"真"或"假"）。（3）若PZ>=2,HP=y/3,BP=3,求Affi■的長.

例2.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、

天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定理"，也稱"布拉美古塔定理定理

的內(nèi)容是："若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊

任務(wù)：（1）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過程；

己知：求證：證明：

（2）如圖（2）,在。。中，弦/8_LCO于連接/。,。氏80,。4￡,尸分別是/。,8。上的點(diǎn)，EMA.BD

于G,尸于〃，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形EMFC是怎樣的特殊四邊形：.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?浙江溫州??？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇

格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特?西姆森（夫。拉MS加s。"）發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長線）所作垂線

的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來被稱為著名的‘西姆森線"（S加soM%e）.如圖，半徑為4的。。為“8C

的外接圓，C8過圓心。，那么過圓上一點(diǎn)P作。8C三邊的垂線，垂足￡、F、。所在直線即為西姆森線,

Ap

若“*"，33,則方的值為（）

3

CD.

I4

2.（2023山東??？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ砣鐖D1,和3c是。。的兩條弦（即折線/BC是圓的一條

折弦），BC>AB,〃■是弧/3C的中點(diǎn)，則從〃?向3c所作垂線的垂足。是折弦N3C的中點(diǎn)，即

CD=/8+80.請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2,已知等邊“BC內(nèi)接于。O,N8=10,。為

。。上一點(diǎn)，ZABD=45°,AELBD于點(diǎn)、E,則△區(qū)DC的周長是

MA

圖1圖2

3.（2023春?山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于

弦的直徑平分弦.阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論.

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1,ZC和2C是。。的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），

BOAC,M是初的中點(diǎn)，過點(diǎn)"作"DL3C,垂足為。，小明通過度量/C、CD、DB的長度，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)。平分折弦4CB,即=NC+CA.小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)8。=/。+。仍然成立，于是

三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：

小軍采用了"截長法"（如圖2）,在8。上液取BE,使得BE=4C,......

小麗則采用了“補(bǔ)短法"（如圖3）,延長8c至尸，使CF=/C,......

小明采用了“平行線法"（如圖4）,過〃點(diǎn)作M石〃3C,交圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF/BC,......

⑴請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；

（2）如圖5,在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1,“8C內(nèi)接于（/、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)/、。關(guān)于

8C對(duì)稱，連接AD并延長交。。于點(diǎn)￡,連接CE.

①請(qǐng)用無刻度的直尺作直線/,使得直線/平分ABCE的周長；②求ABCE的周長.

4.Q023?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理如圖1,和8c是。。的兩條弦（即折線N3C

是圓的一條折弦），BC>AB,M是疵的中點(diǎn)，則從M向"所作垂線的垂足。是折弦NBC的中點(diǎn)，即

CD^AB+BD.下面是運(yùn)用"截長法"證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明：如圖2,在上截取CG=A8,連接〃Z,MB,和MG.???〃是疵的中點(diǎn)，：.MA=MC

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3）,已知等邊"8C內(nèi)接于。。，48=2,。為。。上一點(diǎn)，AABD=45°,AE1BD

與點(diǎn)E,則ABDC的周長是.

5\G

圖⑴圖⑵圖(3)

5.（2023秋?山西陽泉?九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

阿基米德折弦定理

阿基米德｛Archimedes,公元前287?公元前212年，

古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯//-瓦電加（973年?1050年）的譯文中保存了

阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)

4-3九加譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題

就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：

如圖1,N8和2C是。。的兩條弦（即折線4BC是

固的一條折弦），BC>AB,M是弧NBC的中點(diǎn)，

則從M向所作垂線的垂足。是折弦48c的中

點(diǎn)，即CD=42+2。.

這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用"垂線法"證

明CD=+5D的部分證明過程.

證明：如圖2.作W_L射線22,垂足為“，連接

MA,MB,MC.

???”是弧/8C的中點(diǎn)，

:.MA=MC.

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

⑵填空：如圖3,已知等邊內(nèi)接于。。，。為就上一點(diǎn)，AABD=15°,CELBD于點(diǎn)E,

AB=2也，則折弦的長是.

A

（圖3）

6.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：

婆羅摩笈多^Brahmagupta'）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)

算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹.他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理"，該

定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：如圖1,四邊形/BCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線垂足為點(diǎn)直線垂

足為點(diǎn)E,并且交直線4D于點(diǎn)尸，則//=￡0.

證明：???AC1BD,MELBC,ABMC=ZAMD=AMEC=90°

：.ZCME+ZECM=90°,ZCBD+ZECM=90°.：.ZCBD=ACME.

■.■CD=cb，:.ACBD=^CAD.（依據(jù)）

又?;NCME=NAMF,；.NAMF=NCAD.AF=FM....

任務(wù)：（1）上述證明過程中的依據(jù)是;（2）將上述證明過程補(bǔ)充完整；

（3）古拉美古塔定理的逆命題如圖，四邊形48。內(nèi)接于。。，對(duì)角線垂足為點(diǎn)直線尸M

交BC于點(diǎn)、E,交4D于點(diǎn)廠.若AF=FD,則EEL3c.請(qǐng)證明該命題.

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四

邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形/3CD的對(duì)角線NC8。互相垂直，垂足為點(diǎn)G,過點(diǎn)G的直線垂直于

AD,垂足為點(diǎn)E1,與邊3C交于點(diǎn)尸，由垂直關(guān)系得/EGD+/FGC=90°,ZEGD+ZEDG=90°,所以

NEDG=NFGC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得/4D8=N4CB,所以/尸GC=NFCG,則尸G=/C,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命題"若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊"為一

（填"真命題"，"假命題"）；

【探究】（1）如圖2,A4G3和ADGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC=90°,過點(diǎn)G的直線

垂直于垂足為點(diǎn)E,與邊交于點(diǎn)尸.證明：點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)；

（2）如圖3,A4G8和NDGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形N4GB=ZDGC=90°,點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，連接FG

交AD于點(diǎn)、E,若G尸=2,求40的長.

8.（2023?山西太原?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn).他曾經(jīng)提出了“婆

羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于OO,對(duì)角線NC18D,垂足為直線垂

足為E,并且交直線4D于點(diǎn)?，則/尸=FD

證明："ACIBD,ME1BC.-.zCAffi,+zC=90o,zC5￡>+zC=90°

：./.CBD=/.CME：.,乙CME=UMF；/CAD=UMF：.AF=MF...

任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：;

（2）請(qǐng)用符號(hào)語言將下面"布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：

已知：如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線NC1AD,垂足為尸為4D上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)

E,①.求證：②.證明：

8.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用

材料一：如圖1,在ZU8C中，AB=c,BC=a,ZS=0,用c和6表示BC邊上的高為,用a.c和3

表示ZU2C的面積為

材料二：如圖2,已知NC=LP,求證：CF?BF=QF?PF.

材料三蝴蝶定理＜iButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由

W.G.霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶.

定理：如圖3,M為弦尸。的中點(diǎn)，過M作弦和CD,連結(jié)4D和8c交尸。分別于點(diǎn)E和尸，則〃￡=

MF.

證明：設(shè)乙4=z_C=a,z_B=乙。=0,

(DMP=cCMQ=v,Z-AMP—Z.BMQ=p,PM=MQ=a,ME=x,MF=y

S,B_]/M?Z—?sina?EM?CM?sinyED?AfD?sin0MF?MB?s\n6

S^ME—'即MC-CF-sina,EM-MD-siny,FB-BM-sin/3,MA-ME^m8

向右MF1CF-FB

化簡得：MF2?AE?ED=ME2?CF?FB則有：——r=-----------

ME2AE-ED

又,:CF?FB=QF-FP,AE?ED=PE?EQ,

.MF?_QF*FPMF?_(a-y)(a+y)_/"222

即看=三一彳，從而x=y,ME=MF.

ME2PE'EQ'ME2(a-x)((z+x)a2-x2

請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：

如圖4,B、C為線段P0上的兩點(diǎn)，且8P=C。，/為尸0外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足乙8/P=N。。，判斷△尸/。的

形狀，并證明你的結(jié)論.

9.（2022?河南駐馬店?統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.如圖1,已

知。3C內(nèi)接于。。，點(diǎn)尸在。。上（不與點(diǎn)N、B、。重合），過點(diǎn)尸分別作48,BC,NC的垂線，垂足分

別為。，E,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上

以下是他們的證明過程：

圖1圖2

如圖1,連接尸2,PC,DE,EF,取尸C的中點(diǎn)。，連接。E,QF,

則P0=CQ=；PC=EQ=F。（依據(jù)1）,

.?￡F,P,C四點(diǎn)共圓.???/尸CP+N五E尸=180。（依據(jù)2）.

又；ZACP+ZABP=180°,:"FEP=AABP.

?;/BDP=/BEP=9Q°,：.B,D,P,E四點(diǎn)共圓.尸=（依據(jù)3）.

?:NABP+/DBP=180°,.-.ZFEP+ZDEP=180°（依據(jù)4）.

.?.點(diǎn)D,E,尸在同一條直線上.

任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及;②依據(jù)2指的是；

③依據(jù)3指的是；④依據(jù)4指的是.

（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是部的中點(diǎn)時(shí)，8。=6.請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性.

10.（2022?河南安陽?統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知“8C內(nèi)接于。。，點(diǎn)尸在。。上（不與點(diǎn)/,B,C重合），過點(diǎn)尸分別作48,BC,AC

的垂線，垂足分別為?點(diǎn)。，E,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

圖⑴

如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取尸C的中點(diǎn)。，連接。E,QF,則E。=/。=1■尸C=尸0=CQ,

（依據(jù)1）

:點(diǎn)E,F,P,C四點(diǎn)共圓，尸CP+NFE尸=180。.（依據(jù)2）

又???NACP+NABP=180°,:"FEP=NABP.

同上可得點(diǎn)8,D,P,￡四點(diǎn)共圓，......

任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及;②依據(jù)2指的是.

（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整.⑶善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)尸是前的中點(diǎn)時(shí)，BD=CF,請(qǐng)你利用圖（2）證

明該結(jié)論的正確性.

圖⑵

11.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）閱讀與思考;

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界

數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是

領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：己知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與

圓O對(duì)角線AC1BD于點(diǎn)M,ME1BC于點(diǎn)E,延長EM交CD于F,求證：MF=DF

ijEllvAClBD,ME1BC.-.ZCBD=ZCME

???ZCBD=ZCAD,Z_CME=NAMF；.NCAD=NAMF；.AF=MF

???NAMD=90°,同時(shí)NMAD+NMDA=90°.-.ZFMD=ZFDM

；.MF=DF,即F是AD中點(diǎn).

（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定，理的證明:

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接與圓0,對(duì)角線AC1BD于點(diǎn)M,F是AD中點(diǎn)，連接FM并延長交BC于點(diǎn)

E,求證：ME1BC

(2)已知如圖2,AABC內(nèi)接于圓0,ZB=30°ZACB=45°,AB=2,點(diǎn)D在圓。上，ZBCD=60°,連接AD交

BC于點(diǎn)P,作0N1CD于點(diǎn)N,延長NP交AB于點(diǎn)M,求證PM1BA并求PN的長.

12.(2023?北京昌平?九年級(jí)統(tǒng)考期末)已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xQy中的點(diǎn)p和。。，。。的半徑為4,

交x軸于點(diǎn)4,B,對(duì)于點(diǎn)尸給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與。。交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn),

我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于"N的"折弦點(diǎn)".

⑴若C(-2,0),①點(diǎn)4(0,0),^(-1,1),乙(2,2)中是關(guān)于跖V的“折弦點(diǎn)”的是；

②若直線y=+6(左/0)上只存在一個(gè)關(guān)于初V的"折弦點(diǎn)"，求上的值；

(2)點(diǎn)C在線段N3上，直線＞=x+b上存在關(guān)于九W的"折弦點(diǎn)"，直接寫出6的取值范圍.

13.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示，48和2c組成圓的折弦，AB>BC,。是說的中點(diǎn),

DE1AB,垂足為E.連結(jié)AC,BD.（1）寫出所有與ND?/相等的角（不添加任何線段）

（2）判斷BE,之間的數(shù)量關(guān)系并證明.（3）如圖，己知/。=7,BD=3,求N88C的值.

14.（2023.浙江九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在OO中，C是劣弧的中點(diǎn)，直線CC/8

于點(diǎn)E,則=請(qǐng)證明此結(jié)論；

（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,P8組成。。的一

條折弦.C是劣弧的中點(diǎn)，直線COLP/于點(diǎn)￡,則=+可以通過延長D8、/P相交于點(diǎn)

F,再連接證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過程；

（3）如圖3,PA.必組成。。的一條折弦，若C是優(yōu)弧N8的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)￡,則PE

與尸3之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

D圖1圖2C圖3

15.（2023.重慶九年級(jí)期中）先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形/8CD中，已知：ZEAF=45°,角的兩邊/￡、4F分別與8C、CD相交于點(diǎn)E、

F,連接求證：EF=BE+DF.

證明思路：如圖2,將A48E繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ZUDEL=/54D=90。，；.48與/。重

合.VAADC=ZS=90°):.NFDE'=180°,WF、D、E是一條直線.

根據(jù)S4S,得證A4E尸=,得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

（1）特例應(yīng)用：如圖1,命題中，如果B￡=2,DF=3,求正方形/BCD的邊長.

（2）類比變式：如圖3,在正方形48co中，已知NEN尸=45。，角的兩邊/￡、N尸分別與8C、CD的延

長線相交于點(diǎn)E、F,連接寫出斯、BE、。廠之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

（3）拓展深入：如圖4,在。。中，48、是。。的弦，且=M、N是。。上的兩點(diǎn)，

AMAN=-ABAD.①如圖5,連接ACV、MD,求證：MH=BM+DH,DM1AN；

2

②若點(diǎn)C在彳麗（點(diǎn)C不與點(diǎn)N、D、N、M重合）上，連接C8、CD分別交線段NM、NN或其延長

線于點(diǎn)E、F,直接寫出斯、BE、。尸之間的等式關(guān)系.

MM

圖4圖5

16.（2023?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】

我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形.如圖1,線段"0、”組成

折線段若點(diǎn)尸在折線段上，MP=PQ+QN,則稱點(diǎn)尸是折線段的中點(diǎn).

【理解應(yīng)用】（1）如圖2,。。的半徑為2,取是。。的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)8是折線段尸。/的中點(diǎn).若

NAPO=30°,則尸8=；

【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3,和2C是。。的兩條弦（即折線段28c是圓的一條折

弦），8c>/5,點(diǎn)M是疵的中點(diǎn)，從河向2C作垂線，垂足為D,求證：。是折弦/3C的中點(diǎn)；

【變式探究】（3）如圖4,若點(diǎn)M是應(yīng)的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、民4之間

存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

【靈