圓的綜合應(yīng)用題-2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專(zhuān)題05圓的綜合應(yīng)用題

麴型努讀I模型枸建.?通關(guān)試練

題吧.送

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

圓的綜合應(yīng)用題中常考題型

情景與應(yīng)用題型

中考圓的命題趨勢(shì)主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)

接四邊形、切線等知識(shí)點(diǎn)。這些知識(shí)點(diǎn)常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知

識(shí)的掌握程度，也考察學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會(huì)直接

考查學(xué)生對(duì)圓心角與圓周角及圓的切線等知識(shí)的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會(huì)涉及到圓的對(duì)稱(chēng)性、圓與

三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算。此外，還可能會(huì)涉及到與其他

知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合。

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問(wèn)基本上考查的為圓的性質(zhì)，

主要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時(shí)，需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，尤其是菱

形、矩形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。圓的綜合問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類(lèi)，也是難度較大的一類(lèi)，所以，對(duì)應(yīng)

的訓(xùn)練很有必要。

模型03情景與應(yīng)用題型

情景與應(yīng)用題型是圓知識(shí)點(diǎn)的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊

密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意

把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。

是結(jié)?牌型■建

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

考I向I預(yù)I測(cè)

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系

數(shù)不大，在各類(lèi)考試中都以中檔題為主。解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)

合圓和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。

答I題I技I巧

第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；

第二步：碰到直徑想直角，直徑所對(duì)的圓周角為90。；

第三步：看到切線——連半徑——90°,證明切線時(shí)注意證明900；

第四步：圓內(nèi)接四邊形——對(duì)角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對(duì)角；

I題型三停I

例1.（2023?河南）如圖，在403中，N3=30。，AB=3.以。為圓心，Q4為半徑的圓。交OB于點(diǎn)

C.點(diǎn)。在。上，連接CO,AD,若ZADC=30。，則圓O的半徑為（）

A.1B.百C.2D.若

【答案】B

【詳解】

解：ZADC=30°,

..ZAOC=2ZADC=60。，

ZB=30°,

.-.Za4B=180o-600-30o=90°,

QA

tanB=tan30°=,

AB

AB=3,

OA=3x=\/3,

3

故選：B.

例2.（2023?安徽）如圖，在ABC中，ZA=90°,AB=AC'=9,以點(diǎn)A為圓心、6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)P.連接相、BP、CP,則,BP+CP的最小值是（）

A.3A/13B.回C.竽

D.2+39

【答案】B

【詳解】解：如圖，在AB上取一點(diǎn)尸，使得4尸=4,

*.*AB=9,AP=6,AF=4,

.^_6_2AF_4_2,AP_AF

??——,——f7\U—,

AB93AP63ABAP

NFAP=ZPAB,

△FAPs^PAB,

.PFAP_2

“PB~AB~3f

：.PF=-BP,

3

當(dāng)廠、P、。共線時(shí)，W+CP的值最小，最小值為b,

：.-BP+CP=CF,

3

在RtZXFCA中，CF=792+42=797>

2

/.jBP+CP的最小值為質(zhì).

故選:B.

例3.（2023?湖北）如圖，A3是：:。的直徑，AB=10,。是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，C在上，連接AC,

BC,DC,ZBCD=ZA,

(2)若tan/A=),求CD的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見(jiàn)解析

(2)CD=5

【詳解】(1)

???AB為。的直徑,

???NACB=90。，

??.ZA+ZABC=90°.

?：OB=OC,

：.ZABC=ZBCO.

,:ZBCD=ZAf

：./BCD+ZBCO=90°,即Z.DCO=90°,

JOCLCD.

*/0。是o。的半徑,

???CO是：。的切線；

(2)

解：〈Ab為。的直徑，

???ZACB=90°,

**,idYi./A==—,

2

.BC1

??一，

AC2

?：ZA=ZBCDf/D=/D,

：.AACDsMBD,

,BD_BC

**CD-AC-25

設(shè)BD-x,CD=2x,

AB=10,

：.OB=OC=5f

9：ZDCO=90°,

222

.\OD=CD+OCf

：.（X+5）2=（2X）2+52,

解得x=1■或元=0（不合題意舍去）,

CD=5.

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

考I向I預(yù)I測(cè)

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要

考查對(duì)圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識(shí)的應(yīng)用。實(shí)際題型中對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許

多問(wèn)題的討論中需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)。

答I題I技I巧

第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專(zhuān)題1的解題思路進(jìn)行求解；

第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；

第三步：四邊形的存在性問(wèn)題注意假設(shè)、反推；

第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

題型三例

例1.（2023?湖北）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于：，。，點(diǎn)E在C￡>的延長(zhǎng)線上.若NADE=70。,

【詳解】解：：四邊形ABCD內(nèi)接于。，ZADE=1O°,

：.ZB+ZA￡>C=180°,

又：ZA￡）E+ZADC=180°,

：.NB=ZADE=70。,

：.ZAOC=2ZB=140°.

故答案為：140.

例2.（2023?江西）課本改編

（1）如圖1,四邊形A3co為C。的內(nèi)接四邊形，AC為］。的直徑，則N3=ND=_度,

ZBAD+ZBCD=_&.

（2）如果（0的內(nèi)接四邊形A3CD的對(duì)角線AC不是。的直徑，如圖2,求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ).

知識(shí)運(yùn)用

（3）如圖3,等腰三角形ABC的腰A3是）。的直徑，底邊和另一條腰分別與。交于點(diǎn)D,E,尸是線

【答案】（1）90,180；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【詳解】（1）：四邊形ABCD為、。的內(nèi)接四邊形，AC為。的直徑,

NB=ND=90度，

ABAD+ABCD+AB+AD=360°

JZR4D+ZBCD=360°-ZB-ZD=180°

故答案為：90,180

(2)證明：如圖，連接A。并延長(zhǎng)，交。于點(diǎn)E,連接BEDE.

由(1)可知，ZABE=90°,ZADE=90°,

.\ZABE+ZADE=180°

,\ZBAD+ZBED=180°

/BED=/C,ZCDE=ZCBE

.-.ZfiAr)+ZC=180o,ZABC+Z^C=180°

即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

(3)證明:連接。DDE,如圖所示.

OB=OD,

:.ZB=ZODB

AB=AC,

:.ZB=ZC

:.ZODB=ZC

:.OD//AC

v四邊形ABOE是圓內(nèi)接四邊形,

/.ZB+ZA￡?=180°

ZDEC+ZA￡?=180°,

:.ZB=ZDEC

:.ZC=ZDEC

:.DC=DE

方是線段CE的中點(diǎn)，

.\DF.LAC

:.DF.LOD

OD是。的半徑，

二。尸是的切線

模型03情景與應(yīng)用題型

考I向I預(yù)I測(cè)

圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿

分。該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接

觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)

備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。

答I題I技I巧

第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；

第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；

第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題；

|題型不停I

例1.（2022?河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目.滾鐵

環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)。。與水平地面

相切于點(diǎn)C,推桿A8與鉛垂線的夾角為NBA。，點(diǎn)O,A,B,C,。在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿A8與鐵

環(huán)。。相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果.

(1)求證：ZBOC+ZBAD=90°.

(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)5只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng).圖中點(diǎn)8是該區(qū)域內(nèi)最低位

-3

置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離A0最小，測(cè)得cosNA4D=y.已知鐵環(huán)。。的半徑為25cm,推桿A8的長(zhǎng)為

75cm,求此時(shí)AD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)50cm

【詳解】(1)證明：。。與水平地面相切于點(diǎn)C,

/.OC1CD,

ADLCD,

J.AD/7OC,

???A3與。。相切于點(diǎn)―

:.ABLOB,

.\ZOBA=90°,

過(guò)點(diǎn)3作5石〃

:.ZBAD=ZEBA,BE//OC

:.ZCOB=ZOBE,

/.ZCOB+ABAD=ZOBE+ZABE=ZOBA=90°,

即ZBOC+ZBAD=90°.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)3作。。的平行線，交AD于點(diǎn)G,交OC于點(diǎn)尸,

:.FG±AD,FG±OCf則四邊形CFG。是矩形,

ZBOC+ZBAD=90°,ZABO=90°,

/.ZOBF=90°-ZFOB=ZA,

3

在RtAABG中，cosABAD=AB=75cm,

3

AG=ABxcosZBAD=75x—=45(cm),

3

在RtZkO5/中，cosZOBF=cos=?03=25cm,

33

BF=OBx—=25x—=15(cm),

OF=^OB2-BF2=V252-152=20(cm),

FC=OC-OF=25-20=5(cm)f

DG=FC=5cmf

.?.AZ)=AG+GD=45+5=50(cm).

例2.(2022?江蘇)(現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)。是圓心，直徑A3的長(zhǎng)是12cm,C是半圓弧上的

一點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A、8不重合)，連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

⑴沿AC、3c剪下貝?ABC是______三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)；

(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)￡、下和直徑AB上的點(diǎn)G、H.已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是

一個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的菱形.請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作

法)；

(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)C,一定存在線段AC上的點(diǎn)加、線段上的點(diǎn)

N和直徑AB上的點(diǎn)尸、。，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的菱形.小明的猜

想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)直角

(2)見(jiàn)詳解

(3)小明的猜想正確，理由見(jiàn)詳解

【詳解】(1)解：如圖，

AOB

?..AB是。。的直徑,

，ZACB=90°,

NAC2是直角，

即AABC是直角三角形,

故答案為：直角;

(2)解：以A為圓心，A。為半徑畫(huà)弧交。。于點(diǎn)E,再以E為圓心，EO為半徑畫(huà)弧交于。。點(diǎn)尸連接

EF、FO、EA,G、X點(diǎn)分別與4、。點(diǎn)重合，即可,

作圖如下:

B

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=1AB=6,

即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形;

(3)解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=gc4,CN=；CB,

.CM_CN_1

""CA-CB-3

:.MN//AB,

,MNCM1

"AB~CA~3

MN=-AB=-xn=^cm.

33

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交A3于點(diǎn)尸，Q,作于點(diǎn)。，NE工AB于點(diǎn)、E,

：.MN=MP=NQ=4cm.

?.,MN〃AB,MDA.AB,NE±AB,

：.MD=NE,

在RtAMDP和R山NEQ中，

jMP=NQ

[MD=NEf

：.RtAMD尸三RtAA妝(HL),

.?.ZMPD=ZNQE,

：.MP//NQ,

又「MP=NQ,

：.四邊形MNQ尸是平行四邊形，

又「MN=MP,

**"四邊形MNQP是菱形；

同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)2時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形跖V0尸是菱形，

AO\EB

故小明的猜想正確.

京襄?髓化鈿續(xù)

1.(2022.四川省)如圖，CD為。的直徑，弦ABJ_CD,垂足為E,CE=1,AB=6,則一。的半徑為

B

F

A.3B.4C.5D.無(wú)法確定

連接。4,

F

???CD為。。的直徑，弦ABLCD,

：.AE=^AB=3,

設(shè)OA=OC=x,則OE=x-l,

(x-1)2+32=x2,解得：x=5,

。的半徑為5.

故選c.

2.(2023.廣東)如圖，4。為。O的直徑AD=6cm,NDAC=ZABC,則AC的長(zhǎng)度為（

S

A.72B.2及C.3拒D.3A/3

【答案】c

【詳解】

解:連接8,

AD是，。的直徑，

/.ZACD=90°,

ZDAC=ZABC,ZABC=ZADCf

:.ZDAC=ZADCf

?CD=AC^

AC=CD,

y.QAC2+CD2=AD2,

..2402=3,

AD=6,

二.AC=30,

故選：C.

3.(2023?福建)O的半徑為10cm,弦AB〃CD.若A5=12cm,CD=16cm,則AB和。。的距離為

()

A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.2cm或10cm

【答案】C

【詳解】

當(dāng)弦AB和CO在圓心異側(cè)時(shí)，如圖1,

過(guò)點(diǎn)。作O￡J_A3于點(diǎn)反向延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)憶連接OA,OC,

'：AB//CDf

：.OF±CD9

AB=12cm,CD=16cm,

.\AE=6cm,CF=8cm,

OA=OC=lQcmf

...在RfAAOE中，由勾股定理可得；EO=A/O42-AE2=V102-62=8cm,

在R/ACOF中，由勾股定理可得：OF=7OC2-CF2=7102-82=6cm,

：.EF=OF+OE=S+6=l4cm.

圖1

當(dāng)弦A5和CO在圓心同側(cè)時(shí)，如圖2,

過(guò)點(diǎn)。作。尸，8,垂足為尸，交A3于點(diǎn)已連接04,0C,

9

：AB//CDf

：.OE_LAB,

AB=12cmfCD=16cm,

/.AE=6cm,CF=8cm,

0A=0C=5cmf

在放AAOE中，由勾股定理可得：EO=yJo^-AE2=V102-62=8cm,

在放ACOF中，由勾股定理可得：OF=VOC2-CF2=7102-82=6cm,

：.EF=OE-OF=8-6=2cw；

圖2

故選C.

4.（2023?北京）如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)C在圓上，若NADC=130。，則/BAC的度數(shù)為（）

C

D

I》一

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【詳解】解：,四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

ZADC+ZB=180°,

ZADC=130°,

ZB=180°-130°=50°,

AB為。的直徑，

ZACB=90°,

ZBAC=90°-ZB=40°.

故選：C.

5.（2023?浙江）如圖，在..ABC中，AB=AC,以AB為直徑作圓，交BC于點(diǎn)、D,延長(zhǎng)C4交圓于點(diǎn)E,

連接OE,交于點(diǎn)E若AF:BF=1:4,則/的值為（）

【答案】B

?.ZADB=90°,即：AD1BC,

AB=ACf

???點(diǎn)。為5c的中點(diǎn)，

取AC的中點(diǎn)G,連接DG,則：DG//AB,DG=^-AB,

2

???AAEF^GED,

.EFAF

??DE-DG'

VAF:BF=1:4,

AF=-AB,

5

.EFAF_2

“Bi一而—M'

EF=^DE,

3

DF=-DE,

：.EF:DF=2:3；

故選B.

6.（2023?陜西）如圖，O是AABC的外接圓，ZA=72°.過(guò)點(diǎn)。作3C的垂線交于點(diǎn)。，連接

A.64°B.54°C.46°D.36°

【答案】B

【詳解】解：連接CD,

?四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，NA=72。，

/.ZCDB+ZA=180°,

ZBDC=180?！狽A=108°,

OD±BC,

石是邊5C的中點(diǎn)，

/.BD=CD,

/.ZODB=ZODC=-/BDC=54°.

2

7.（2023?上海）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于36。，那么這個(gè)正多邊形的中心角為度.

【答案】36

【詳解】解：-正多邊形的每一個(gè)外角都等于36。，

360°

?二正多邊形的邊數(shù)〃=而=10,

360°

??.這個(gè)正多邊形的中心角=二=36。，

故答案為：36.

8.（2022?上海）如圖，O是RtAABC的外接圓，OE_L交一O于點(diǎn)￡,垂足為點(diǎn)。，AE,的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)尸.如果OD=3,AB=8,那么產(chǎn)C的長(zhǎng)是.

【詳解】解：OE±AB,

:.ZADO=90°,

ZABC=90°,

:.ZABC=ZADO=90°,

:.OD//BC,

OA=OC,

AD=DB=—AB=4,AE=EF,

2

.?.O石是AAFC的中位線，

:.CF=2OE,

在RtAADO中，AO=yjAD2+OD1=74^+32=5>

:.CF=2OE=10,

故答案為：10.

9.（2023?長(zhǎng)寧）如圖，O的直徑例與弦CD交于點(diǎn)E,已知NCE4=45。，DE=1,OE=3叵，那么

cotNASD的值為.

【詳解】解：作OCD于連接3),

■-ZCE4=45°,

:.ZOEF=45°,

OE=3A/2，

OF=EF=3,

DE=1,

,\DF=4,

,-.OD=732+42=5>

:.OB=5,8E=5+30，

作D/f_LO3于H,

.〔ADEH為等腰直角三角形,

DE=1,

：.EH=DH=—母,

2

:.BH=5+342——V2=5——>/2,

22

5-舞

BH572-1

cotNABD------

DH7A/27

2

故答案為:

10.（2023?湖南）如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于O,對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)E,連接OE.若O

的半徑為r,OE=〃z.

(1)若245。=44￡>,求證：OE平分ZAEB；

(2)試用含r,根的式子表示AC2+BD2的值；

(3)記VADE,BCE,_ABE,CDE的面積分別為R,S2,S3,S4,當(dāng)小鳥(niǎo)+邑+一+邑=何+同

時(shí)，求證：AC=BD.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

⑵AC2+BD2=4(2產(chǎn)-病).

⑶證明見(jiàn)解析.

【詳解】(1)解：連接Q4、OB,

由CD=C。，得：ZCBD=ZCAD,

又,:ZABC=ZBAD,

:.ZABC-NCBD=NBAD-NCAD,即NABD=NC4B,

/.AE=BE,

VOE=OE,OA=OB

均BEO(SSS)

ZOEA=ZOEB,即：OE平分ZAEB.

（2）解：如圖，作OM_LAC,ONA.BD,AC1BD,連接。4、OB,得四邊形OMEN為矩形,

ON=ME,

根據(jù)垂徑定理得AC=2AM,BD=2BN

則AC2+BD2=（2AM）2+2（B?/）2

=4^AM2+BN2^

=4[r2-OM2+r2-ON2）

=4[2產(chǎn)一（0"+0儲(chǔ)）]

=4[2r-（OM2+ME2）]

=4（2r-OE2）

=4（2產(chǎn)一根2）

即：AC2+BD2=4（2r2-m2）

（3）由JS|+邑+風(fēng)+邑=S+￡兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)得:1+$2=2屈瓦"

S,SDE

=U4=”（等高，面積之比等于底之比）

d3d26匕

???S￡=53s4

：.d=51+52-2抬2=0

sx=s2,S{+S3=S2+S3,即^^ADB~^Z^ACB

因?yàn)?3和共底，則它們的高相等，由平行線之間的距離處處相等

ABCD,

..BC+CD=AD+CD,

AC=BD，

：.AC=BD.

11.(2022?浙江)如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件.管片的橫截面(陰影部

分)如圖2所示，是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長(zhǎng)線交于圓心，甲、乙、丙三個(gè)小組分別采用三

種不同的方法，測(cè)算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑.

圖1

⑴如圖2,BA,CO的延長(zhǎng)線交于圓心。，若甲組測(cè)得AB=Q6m,AD=3m,3c=4m,求02的長(zhǎng).

3,ED,尸C的延長(zhǎng)線交于圓心若乙組測(cè)得OE=0.8m,CD=12m，EF=15m，直接寫(xiě)出

EH的長(zhǎng).

(3)如圖4,有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體木塊固定，管片與地面的接

觸點(diǎn)L為的中點(diǎn)，若丙組測(cè)得MV=PQ=0.5m,NL=LQ=2m,求該管片的外圓弧半徑.

【答案】(l)O3=2.4m

(2)EH=4m

(3)該管片的外圓弧半徑為4.25m

【詳解】(1)

解：VOA=OD,OB=OC

1QQO_/Q

：.ZOAD=ZODA=-------------=ZOBC=ZOCB

2

J.AOD^OBC

.OAAD3

??瓦—拓-Z

設(shè)08=無(wú)，貝=0.6

.x—0.63

??一

x4

解得：x=2.4,經(jīng)檢驗(yàn)％=2.4是原方程的解，即03=2.4m

.lHD,

(2)解：???3cn=右，設(shè)石"=y,則m0.8

IEH

EF

.12_y-0.8

??,石=y

解得：y=4,經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn)y=4是原方程的解

/.EH=4m；

（3）

解：如圖所示，設(shè)圓心為。，連接。尸、OM、OL、MP,OL與MP交于點(diǎn)T,則NO7M=90。，MT=NL=2

o

設(shè)外圓弧的半徑為r,則。7=廠-0.5,

在RtMOT中，勾股定理可得ON?=OT2+“T2,即/=&-0.5丫+2?

解得：r=4.25

.??該管片的外圓弧半徑為4.25m

1.（2024?陜西西安?一模）如圖，點(diǎn)A,2在以8為直徑的半圓上，2是AC的中點(diǎn)，連結(jié)即，AC交于點(diǎn)E,

若NECD=40。，則NBDC的度數(shù)是（）

A.45°B.40°

【答案】D

【詳解】解：連接AD,

8是直徑，

:.ZCAD=90°,

/ECD=40。,

.\ZADC=90°-40°=50°f

B是AC的中點(diǎn)，

/.ZBDC=-ZADC=25°.

2

故選：D.

2.（2024?安徽池州?一模）如圖，已知一ABC內(nèi)接于：O,AC為直徑，半徑OD〃5C,連接。8,AD.若

ZAOB=140°,則—BAD的度數(shù)為（）

A.75°B.70°C.55°D.50°

【答案】C

【詳解】解：???A3=A3，ZAOB=140°,

AZC=-ZAOB=70°,ZBOC=180°-ZAOB=40°,

2

,:OD〃BC,

???ZDOC=ZC=10°,

：.ZBOD=ZBOC+ZDOC=400+70°=110°.

BD=BD，

：./BAD=-/BOD=55°,

2

故選：c.

3.（2024.安徽?一模）如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于C。，AC為一。的直徑，NACD+/BCD=180。，連接0。，

過(guò)點(diǎn)。作DE1AC,垂足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。的切線交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則下列結(jié)論中不正確的是

I)

c

A.AD=DB

B.ZCDF=ZBAC

C.DF±BF

Q

D.若。的半徑為5,8=4,則C尸二y

【答案】B

【詳解】ZACD+ZBCD=180°,ZACD+ZACB+ZDCF=180°,

/.ZBCD=ZACB+ZDCF,

ZBCD=ZACB+ZACD,

:.AACD=ADCF,

?四邊形A5CD內(nèi)接于，O,

:.ZDCF=ZDABf

，ZACD=NDAB,

AD=05故A選項(xiàng)正確；

DE1AC,

:.ZDEC=ZDEA=90°,

NCDE+/DCE=90°,

AC為1。的直徑，

ZADE+ZCDE=ZADC=90°,

ZDAC=ZCDE,

FD是O的切線，

/.NFDC+ODC=ZODF=90°,

OA=OD=OC,

:.ZDAC=ZADOfZODC=ZOCD,

:.NFDC=NEDC

在“CDE和,CDb中

NFDC=/EDC

<NDCF=ZACD,

CD=CD

???ACDE^ACDF

ZDEC=ZDFC=90°

:.DF±BF,故C選項(xiàng)正確；

。的半徑為5,CD=4,

二.AC=10,

QZADC=Z.DEC=90°,

zc=zc,

Z\DEC^Z\ADC

.DCAC

'~EC~~DC

DC2=ECAC,

42=ECX10,

E“C=—8,

△DCE咨DCF

Q

:.CF=EC=~,

.,?所以，D選項(xiàng)正確，

/CDF=NCDE,NDAC=NCDE,

:.NCDF=ZDAC,

無(wú)已知條件證明BC=DC,

.?./8萬(wàn)=〃4。但不一定等于/BAC,故選項(xiàng)B不成立，該選項(xiàng)符合題意；

故選：B.

4.在Rt^ABC中，NC=90。，點(diǎn)。是斜邊邊上一點(diǎn)，以。為圓心，Q4為半徑作圓，。恰好與邊

5c相切于點(diǎn)。，連接AD,若AD=BD,。的半徑為4,則。。的長(zhǎng)度為（）

c

D

A.273B.4C.3D.5

【答案】A

【詳解】解：；。恰好與邊3C相切于點(diǎn)。，ZC=90°,

BC±OD,

：.ZODB=ZC=90°,

：.OD//AC,

???ZODA=ZCAD,

OA=OD,

：./ODA=/BAD,

：.ZCAD=ZBADf

AD=BD,

：.NBAD=/B,

：./CAD=/BAD=/B,

ZG4Z)+ZBAr)+ZB=ZG4B+ZB=90o,

???ZCAD=ZBAD=ZB=30°,

：.OB=2OD=2x4=8,

???AD=BD=^OB2-OD2=A/82-42=4A/3

.?.CD=-AD=-x4yf3=2y/3

22f

故選：A.

5.如圖，O半徑長(zhǎng)2cm,點(diǎn)A、B、C是(。三等分點(diǎn)，。為圓上一點(diǎn)，連接AD,且AO=2j5cm，

CD交A8于點(diǎn)E,貝U/BED()

A.75°B.65°C.60°D.55°

【答案】A

【詳解】解：如圖所示，連接ODOA,BD,

O半徑長(zhǎng)2cm,

OA=OD=2cm,

AD=2后cm，

，OA2+亦=22+22=8=m,

AAOD是直角三角形，且ZAOD=90°,

/.ZDBE=-ZAOD=45°,

2

?.?點(diǎn)4、B、C是，O三等分點(diǎn)，

Z.ZBDC=180°=60°,

3

/.ZBED=180°-ZBDE-ZDBE=75°,

故選：A.

3

6-⑵23?浙江金華三模）如圖，已知直線丁=/-3與，軸、，軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（。，D

為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)R4、PB.則一面積的最小值是（)

21

D.

~2

【答案】A

【詳解】解：過(guò)C作于連接AC,

.,.令x=0,貝U>=-3；令y=。，貝［jX=4；

，點(diǎn)A為(4,0),點(diǎn)B為(0,-3),

AB=^42+(-3)2=5；

:.OA=4,5。=1-(-3)=4,

則由三角形面積公式得，|xABxCM=1xG>AxBC,

:.5xCM=16,

:.CM=?,

圓C上點(diǎn)到直線y=：x-3的最小距離是當(dāng)-1=當(dāng)

455

面積的最小值是Jx5x1=?；

乙52

故選：A.

7.（2024.河南潦河.一模）如圖圓。的半徑是4,5c是弦，N3=30。且A是弧5c的中點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為

)

B

c

A.2也B.473C.4D.6

【答案】C

ZB=30°,

/.ZAOC=60°,

是弧3C的中點(diǎn),

ZAOB=ZAOC=60°,

"：AO=BO,

是等邊三角形，

AB=AO=4.

故選：C.

8.（2024重慶?一模）如圖，A3是：。的直徑且43=40,點(diǎn)C在圓上且NA3C=60,/ACB的平分線

交（。于點(diǎn)O,連接AD并過(guò)點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,則弦AD的長(zhǎng)度為（）

D

A.2A/3B.V15C.4D.|■新

【答案】C

【詳解】解：■是O的直徑,

.\ZACB=90°,

ZABC=60°,AB=46,

..o_._AC_6

..sinB=sinA60no—-----——，

AB2

\AC=2屈,

CD平分NACB,

:.ZACE=-ZACB=45°,

2

QAE±CD,

.「ACE是等腰直角三角形，

:.AE=—AC=2^3,

2

ZD=ZB=60°,

ApL

tanD=tan60°=----=V3,

DE

DE=2,

NZM￡=90?！狽O=30。，

:.AD=2DE=4,

故選：C.

9.如圖，。半徑長(zhǎng)2cm，點(diǎn)A、B、C是。三等分點(diǎn)，點(diǎn)。為圓上一點(diǎn)，連接A￡>,且A￡)=2j5cm,

CD交AB于點(diǎn)E,則NBE￡>=()

C.60°D.55°

【答案】A

【詳解】

解：連接。4、OB、OC、OD,則。l=OB=OC=OD=2cm,

A

???點(diǎn)A、B、。是.二O三等分點(diǎn)，

ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°,AB=BC=ACf

：./OBC=NOCB=300,

,**OD=OA=2cm,AD=2y/2cm，

OD2+O^=AD2,

???▲AOD為等腰直角三角形，

/.ZAOD=90°,ZDOA=ZADO=45°f

???弧BO對(duì)應(yīng)ZDAB和NDCB,

：./DAB=/DCB

???AB=BC=AC,

：.ZACB=ABAC=ZABC=60°,

/BED=NEDA+ZDAB,/DAB=/DCB,

ZBED=NADE+NDCB,

NADE=NADO+NODC,ZADO=45°,ZODC=ZOCD

NADE=45°+NOCD

"HED=45。+NOCD+/DCS=45。+NOCB=45。+30。=75。，

故選：A

10.如圖，有圓O,內(nèi)部有四邊形ABC。，連接CO和49,已知N5=60。，CO是/AC。的角平分線，則

NAOC的度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.75°D.45°

【答案】B

【詳解】

解：四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

.-.ZACr>+ZB=180°,

ZB=60。，

/.ZACD=120°,

CO平分/ACO,

/.ZACO=-ZACD=60°,

2

OA=OCf

.'AOC是等邊三角形，

/.ZAOC=60°.

故選:B.

11.如圖，A3是：。的直徑，CO與。。相切于點(diǎn)C,A3的延長(zhǎng)線交直線CO于點(diǎn)E,連接AC,

BC.若NAC￡>=60。，AC=m,則破的長(zhǎng)度是.

【答案】1

【詳解】解：連接OC,

「AB是。的直徑，8與。。相切于點(diǎn)C,

NOCD=ZAC3=90。，

"?ZACD=60°,

AOCB=ZACD=60°,

,?OC=OB,

??.△CO5是等邊三角形，則NCOE1=ZABC=60°,

AR=AC=也一

在RtaACB中，AC=百，貝l|sinZABC也，

彳

OC=OB=-AB=1,

2

OE=g=1=2

在RtOCE中，cos/COE1，

2

Z.BE=OE-OB=\,

故答案為：1.

12.（2023?寧波）如圖，在RtaABC中，ZC=90°,E為AB邊上一點(diǎn),以AE為直徑的半圓。與BC相切

于點(diǎn)D,連結(jié)4。,8石=3,或>=3泥.P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)"DP為等腰三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為

【答案】6或2倔.

【詳解】解：如圖1,連接OD,DE,

???半圓。與BC相切于點(diǎn)。，

：.OD±BC,

在RtAOBO中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3辰.

：.OB2=BD2+OD2,

：.（?！?gt;+3）2=（3遙）2+OD2,

解得?！?gt;=6,

：.AO=EO=OD=6,

①當(dāng)AP=PD時(shí)，此時(shí)尸與。重合,

：.AP=AO=6；

②如圖2,當(dāng)AP=AD時(shí),

在R3ABC中,

VZC=90°,

：.AC±BC,

J.OD//AC,

:ABODSABAC,

.OD=BD=BO

"AC-BC-BA，

.6—3“—3+6

"AC3A/5WD3+6+6'

.\AC=10,CD=2煙,

?■?A￡)=VAC2-H：D2=V100+20=2V30>

.?.AP=AD=2板；

③如圖3,當(dāng)。P"=A￡>時(shí)，

???AO=2同，

：.DP"=AD=2-/2Q,

"：OD=OA,

：./ODA=ZBAD,

：.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAD,

平分NBAC,

過(guò)點(diǎn)D作DHLAE于點(diǎn)H,

：.AH=P"H,DH=DC=2

"：AD=AD,

：.Rt^ADH^Rt^ADC(HL),

：.AH=AC=IO,

：.AH^AC=P"H^IO,

：.AP"=2AH=2Q（尸為AB邊上一點(diǎn)，不符合題意，舍去），

綜上所述：當(dāng)△4DP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6或2伺.

故答案為：6或

AAA

13.如圖，AB是。的直徑，AC是弦，且。于點(diǎn)區(qū)0。交。。于點(diǎn)孔連接CRBF,若NBFC=

Z0DA.

DK

(1)求證：AO是。。的切線：

(2)若45=10,AC=8,求A。的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

20

⑵可

【詳解】(1)證明：vZBFC-ZODA,NBFC=/BAC,

：.ZD=ZBAC,

'：ODLAC,

：.ZAED=90°,

：.ZDAO=ZBAC+ZDAC-ZD+ZDAC=9Q°,

：AO經(jīng)過(guò)。。的半徑。4的外端，且ACOA

.?.AD是。。的切線；

(2)解：'：OD±AC,AC=8,

AE=CE=1-AC=1x8=4,

"：OA=OF=^AB=5,

OE=y/oA2-AE2=3,

ZOAD=ZOEA=90°,ZAOD=ZEOA,

：./1OAD^/\OEA,

.ADOA

??一,

AEOE

5x420

AD=-------=——，

33

20

故AD的長(zhǎng)為

14.如圖，四邊形ABCD是〈。的內(nèi)接四邊形，A5是直徑，。是30的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作CE_LA￡＞交AD的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

⑴求證：CE是：0的切線；

（2）若BC=6,AC=8,求CEDE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）EC=y,DE=y.

【詳解】（1）連接OC

E

為B￡）的中點(diǎn),

??CD=BC'

：.Z1=Z2,

又,:OA=OC,

：./2=/3,

：.Z1=Z3,

AE//OC,

又,:CELAE,

：.CEYOC,OC為半徑，

:.CE為。的切線，

(2):4臺(tái)為；。直徑，

ZACB=90°,

BC=6,AC=8,

???AB=10,

又???N1=N2,ZAEC=ZACB=90°f

，ABCs.ACB,

.EC