一元二次函數(shù)、方程和不等式（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（人教版必修第一冊(cè)）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷

（考試時(shí)間：150分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.（23-24高二下?浙江溫州?期末）下列命題為真命題的是（）

A.若a>8>0,則。<?>兒2B.若a>A>0,則a?>6?

C.若。<6<0,則D.若a<6<0,貝

ab

【答案】B

【分析】取c=0,可判斷A；作差法比較數(shù)的大小可判斷B；由不等式性質(zhì)可判斷C；作差法比較數(shù)

的大小可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)c=O時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閍'-6、=（a+Z>）（a-6）>0,所以片〉尸,故B正確;

對(duì)于C：因?yàn)閍</?<0,所以a?>ab,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)?-!==>0,所以故D錯(cuò)誤.

ababab

故選：B.

2.（23-24高一上?吉林延邊?階段練習(xí)）不等式9-12xK-4f的解集為（）

A.RB.0C.|x|x=|jD.

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.

【詳解】由9一12元W-4尤2,得4--12彳+940,

3

得（2X-3）2<0,解得X=S，

所以不等式的解集為1x|x=|1,

故選：C

3.（23-24高一上?云南大理?期末）不等式V一工+420的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>—B.a>--C.a<—D.a^~~

4444

【答案】A

【分析】判別式小于等于零解出a的范圍即可.

【詳解】因?yàn)椴坏仁絍-X+.NO的解集為R,

所以判別式△=1一4。<0,解得a

4

故選：A.

4

4.（21-22高二下?山東威海?期末）Vx>O,6Z<x+—；成立的充分不必要條件是（）

x+1

A.a<2B.a<3C.a<4D.a<5

【答案】A

【分析】利用基本均值不等式求最值再結(jié)合充分必要條件與集合之間的關(guān)系即可求解.

44/4-4

【詳解】因?yàn)椋?gt;0,x+——=x+l+-------1>2（X+1）----------1=3,當(dāng)且僅當(dāng)冗+1=—時(shí)去等號(hào)，

X+lX+lA7x+1X+1

即X=1時(shí)取等號(hào)；

4

所以使得Vx>0,〃0%+—；的充要條件為a?3,而充分不要條件應(yīng)該為aW3的真子集，所以應(yīng)選

x+l

a<2.

故選：A

5.（23-24高一上?陜西渭南?期末）己知不等式依2+a+2>0的解集為{尤I無(wú)<一2或了>-1},則不等式

2x?+fov+a<0的解集為（）

A.B.{x[x<-l或x>；}C.,工一1<尤<-；}D.{x\x<-2

或x>l}

【答案】C

【分析】

根據(jù)給定的解集求出a,b,再解一元二次不等式即得.

【詳解】由不等式依2+如+2>0的解集為{xb<-2或無(wú)>-1},

得-2,-1是方程加+法+2=0的兩個(gè)根，且a>0,

b7.

因此—2+（—1）=—,且—2x（-1）=—,解得a=l,Z?=3,

aa

不等式2光之+法+々v0化為：2x2+3x+1<0,解得一1〈元〈一],

所以不等式2龍之+Zzx+a<0為[x\-l<x<-^}.

故選：C

6.（23-24高一上?河南駐馬店?階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)x,規(guī)定國(guó)表示不大于九的最大整數(shù)，例

[1.1]=1,[3.8]=3,[-2.3]=-3,[5]=5,那么使得不等式-6國(guó)2+5國(guó)+21>。成立的工的取值范圍是（）

A.-2<x<3B.-l<x<3C.—l<x<2D.—1Wx<3

【答案】D

【分析】由不等式-6[xf+5[x]+21>0解得區(qū)的范圍，然后根據(jù)印的定義求出x的范圍.

【詳解】由題得6[#一5[幻一21<0,即（2[劃+3）（3[幻—7）<0,

37

解得一5<口1<§，貝1J-1W尤<3.

故選：D.

7.（23-24高一上?吉林延邊?階段練習(xí)）已知x>0,y>0,且x+y=2.若4x+l-相沖2。恒成立，則

實(shí)數(shù)加的最大值是（）

A.4B.8C.3D.6

【答案】A

【分析】借助基本不等式中“1”的妙用計(jì)算即可得.

■y八t,4x+l8x+28%+x+y91

【詳解】由4x+l-f2。，則人荔―可T==E+“

9xy）

191（x1f199x>1i5+2

——十—（x+，）=5—+—+一+=4,

212y2x222ylx212y2x,

9rvia

當(dāng)且僅當(dāng)h==,即1=y時(shí)，等號(hào)成立.

2y2x22

故選：A.

8.（23-24高一上?江蘇鹽城?期中）若關(guān)于1的不等式（辦-琰v￡恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是（）

3,4T4,3

A.--<a<-—^—<a<—B.——<a<——或一VQ<一

23322332

3,4T4,3c3,4T43

C.——<a<——或一<Q4一D.——<a<——或一Ka<—

23322332

【答案】B

【分析】對(duì)二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端點(diǎn)范圍，結(jié)合不等式恰有兩個(gè)整數(shù)

解求另一端點(diǎn)的范圍，從而得到實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】由（辦-1）2<尤2恰有兩個(gè)整數(shù)解，即尤-1]<0恰有兩個(gè)整數(shù)解,

所以（。+1）（。-1）>0,解得°>1或a<—1,

□當(dāng)”>1時(shí)，不等式的解集為（義,」],因?yàn)楣?/p>

+la-1）Q+1I2）

143

所以兩個(gè)整數(shù)解1,2,則2<--<3,即2a—2<lW3a—3,

a-132

□當(dāng)av—1時(shí)，不等式的解集為I」-;,--;],因?yàn)椤?/p>

+la-1）a-1\2J

134

所以兩個(gè)整數(shù)解一L—2,貝IJ—3W——<-2,即一2〃一2<1W—3。一3,解得一一<〃（一一，

Q+123

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范3圍為4:或43

2332

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（23-24高一上?安徽安慶?階段練習(xí)）已知〃，b,ceR,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.若ac1>be1,則>

B.若。<A<0,則/>ab

C.若。>a>Z?>0,貝!J&<.

c-ac-b

D.若a>b>0,貝!

ab

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椤ā?>兒2,所以。2>0，所以?>>，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)樗浴猘>—b>0>兩邊同乘以一a得（―。）〉（—"）（—"）'即/>ab，故B正確;

對(duì)于C：因?yàn)椤?gt;々>人>0,所以所以--—>—^->0,

c-ac-b

又a>6>0,兩式相乘得故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：（<?-工]-（6-,]=（“-6）+（,-4],因?yàn)閍>8>0,所以7-->0,所以

<a）\bj\baJbaba

（a-&）+|y--|>0,即故D正確；

\baJab

故選：ABD.

10.（23-24高一上?福建漳州?期末）已知a>0,b>0,且a+2b=2,貝U（）

A.仍的最大值為:IB.上1+2[的最小值為《9

4ab2

C.4+4/的最小值為2D.（。+29+2）的最大值為8

【答案】BC

【分析】A選項(xiàng)，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C選

項(xiàng)，。+26=2兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項(xiàng)，變形得至1」（。+2）（6+2）=8-2〃<8,D錯(cuò)

、口

陜.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;0,力>。，由基本不等式得Q+2Z?之

即abvg,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，因?yàn)閍>0,b>0,

在N122丫。八1。ab、5n[^~b9

abyab）\2）2ba2yba2

當(dāng)且僅當(dāng)f=即。=6=3時(shí)，等號(hào)成立，

ba3

故上1+■?的最小值為9:，B正確；

ab2

C選項(xiàng)，。+2/?=2兩邊平方得a?+4〃8+4〃2=4,

4M=4-（片+4廿），其中4浦V/+4/,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2/?,即。=1,6=1時(shí)，等號(hào)成立，

2

故4-（。2+4/）<。2+4/，解得M+止22,

/+4。2的最小值為2,C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)閍+26=2,a>Q,b>0,

所以（°+2乂1+2）=（2—2&+2）9+2）=8—?<8,

故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.（2024高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾

中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法:

如圖（1）,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為6和。的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接

正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖（2）所示的矩形,

該矩形長(zhǎng)為。+6,寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖（3）,設(shè)

。為斜邊5C的中點(diǎn)，作直角三角形/2C的內(nèi)接正方形的對(duì)角線/E,過(guò)點(diǎn)/作A/IBC于點(diǎn)尸，則下列推

A.由題圖（1）和題圖（2）面積相等得d=2勺

a+b

B.由AENAF可得N”2

V22

22

la+b>2

C.由ADNAE可得1-2—―f

ab

D.由452AF可得2206

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題圖（1）,（2）面積相等，可求得1的表達(dá)式，從而判斷A選項(xiàng)的正誤，由題意可求

得題圖（3）中AO,AE,AF的表達(dá)式，逐一分析B,C,D選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,由題圖（1）,（2）面積相等得S=H=（a+6）xd,所以［=吟，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)锳F13C,所以—><」=兒，+6"一,所以AF=J”,,

22sla2+b2

設(shè)題圖（3）中內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為3根據(jù)三角形相似可得"=：,解得，二々，所以

aba+b

AE=&二H

a+b

因?yàn)锳ENAF,所以在華21他,整理可得嚴(yán)乙、也，故B正確.

a+by］a2+b2V22

對(duì)于C,因?yàn)椤樾边匓C的中點(diǎn)，所以=土己

2

因?yàn)锳DNAE,所以"廠+”2史藝

2a+b

對(duì)于D,因?yàn)锳D之AF,所以、醫(yī)生上I帥整理得6+從22",故D正確.

V2址+修

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（23-24高一?全國(guó)?課堂例題）不等式—20的解集是—

x-4

【答案］">4或』2}.

【分析】分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，結(jié)合二次不等式的解法求解集.

【詳解】原不等式等價(jià)于卜：2），一4"。

%—4。0,

解得元〉4或x?-2,

故不等式的解集是{小>4或xW-2}.

故答案為：{x|x>4或xV—2}

13.（23-24高一上?河南開封?期末）若命題：“XeR,4d-2了+加<0”為假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為.

【答案】T

4

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為4尤2—2尤+加20恒成立問(wèn)題，從而得解.

【詳解】因?yàn)槊}：44GR,4——2%+機(jī)v0”為假命題，

所以“VXER,4X2—2x+m>0,5為真命題，即4/—2%+mNO怛成立，

,1

所以A=（—2）-4x4m<0,解得加之

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為根NJ.

4

故答案為：m-~i-

14.（22-23高一上?湖北咸寧咱主招生）二次函數(shù)y=/+6x的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x=l,若

1

關(guān)于x的一元二次方程x+bx-t=O（/為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則，的取值范圍

是.

【分析】根據(jù)對(duì)稱軸求出6的值，從而得到x=T,4時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程/+法7=0a

為實(shí)數(shù)）在T<x<4的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于y=/+bx與y=t在-l<x<4內(nèi)有交點(diǎn)，依此求解即可得出結(jié)論.

b

【詳解】1對(duì)稱軸為直線》=-二=1,

2x1

b——2,

□二次函數(shù)解析式為y=x2-2x.

當(dāng)x=_］時(shí)，y=1+2=3；當(dāng)工=4時(shí)，y=16-2x4=8；當(dāng)x=l時(shí)，j=l-2=-l.

因?yàn)榉匠蘹2+bx-t=O的根為y=^+bx圖象與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

□當(dāng)-14<8時(shí)，在的范圍內(nèi)有解.

故答案為：TVr<8.

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分.解答應(yīng)

寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(23-24高一上?江蘇南通?期中)解下列不等式并將結(jié)果寫成集合的形式:

⑴-f+2x+3>0;

2%-1

⑵>0.

x+3

【答案】⑴只一1<%<3}

(2){x|x>g或x<-3}

【分析】(1)應(yīng)用一元二次不等式的解法求解；(2)應(yīng)用分式不等式的求法求解.

【詳解】(1)由一尤2+2X+3>0，得/一2*-3<0,

gp(x+l)(x-3)<0,解得—l<x<3,

則其解集為{x|-l<x<3}.

2x-l1(2尤-l)(x+3)>01

(2)由*>0,得。:，解得或x<-3,

尤+3[x+3/O2

則其解集為{x|x>g或無(wú)<-3}.

16.(23-24高一上?江西宜春?階段練習(xí))(1)比較(a-2)(a-6)和(4-3)(°-5)的大??；

X

(2)已知2vxv3,2<y<3,求％+2y和一的取值范圍；

y

(3)已知爐+2以+120在R上恒成立.求〃的取值范圍.

2x3

【答案】(1)(tz-2)(di-6)<(a-3)(^-5)；(2)6<x+2y<9；-<—<-；(3)-l<a<l.

【分析】(1)作差法比較大小即可；

(2)應(yīng)用不等式性質(zhì)判斷大小關(guān)系；

(3)由一元二次不等式恒成立有AK0,即可求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)因?yàn)?Q—2)(〃一6)—(a—3)(〃-5)=(/—8a+12)—(a?—8Q+15)=—3v0,

所以(a—2乂〃—6)<(a—3乂〃—5)；

(2)由2V%<3,2<y<3,貝|4<2y<6,故6<%+2y<9；

「1112x3

又§W故It

(3)由題意A=4/—4?0n—

17.(23-24高一上?陜西西安?期末)求下列式子的最小值.

4

(1)已知x〉2,求----+x；

x-2

(2)已知％>0,y>0,且1+,=1,求％+y的最小值.

%y

【答案】(1)6

⑵4

44

【分析】(1)根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到一-+%=--+x-2)+2,結(jié)合基本不等式，即可求解;

x-2尤-2'7

⑵根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到x+y=(x+y)d+L)=2+'+2,結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】(1)解：由x〉2,可得％-2>0,

44)

則—+x=-+(一)+222.-^■(x-2+2=6,

當(dāng)且僅當(dāng)\4=苫-2時(shí)，即x=4時(shí)，等號(hào)成立，所以4」7+尤的最小值為6；

x-2x-2

(2)解：由x>0,y>0,且工+1=1,

xy

貝IJx+y=(x+y)(L+L)=2+2+2Z2+2jl.±=4,

xyxy\xy

yx

當(dāng)且僅當(dāng)2=一時(shí)，即％=y=2時(shí)，等號(hào)成立，所以九+y的最小值為4.

%y

18.(23-24高一上?浙江杭州?期中)為了豐富學(xué)生的課余生活、給學(xué)生更好的校園生活體驗(yàn)，某高中

決定擴(kuò)大學(xué)校規(guī)模，為學(xué)生打造一所花園式的校園.學(xué)校決定在原有的矩形花園ABCD的基礎(chǔ)上，拓展建

成一個(gè)更大的矩形花園AMPN.為了方便施工，建造時(shí)要求點(diǎn)5在AM上，點(diǎn)。在AN上，且對(duì)角線過(guò)

點(diǎn)C,如圖所示.已知AB=30m,AD=20m.

NP

D

ABM

(1)當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形4W/W的面積最小？并求出最小面積.

(2)要使矩形AMPN的面積大于3200x1?，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

【答案】(l)DN=20m時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小面積2400m2

20

(2)0<x<—^x>60,

【分析】(1)設(shè)出。N的長(zhǎng)為x(x>0)m,則AN=(x+20)m,表示出矩形面積的解析式，利用不等

式求解;

(2)化簡(jiǎn)矩形面積，利用基本不等式求解.

【詳解】(1)設(shè)出ON的長(zhǎng)為x(x>0)m,則4V=(x+20)m,AB=30m,AD=20m

NDCD30(x+20)

?/CD!/AM,，AM=—-------L

ANAMx

2

Lmm”“"“附而中。30(X+20)30X+1200X+12000”12000小

口矩形AMPN的面積S=(x+20)——--------=----------------------------=30x+--------+1200(x>0),

由基本不等式得：30x+擔(dān)S+1200>2130x.坦”+1200=2400，

XVX

當(dāng)且僅當(dāng)30%=坦80%=20時(shí)，取.■.當(dāng)％=20,即DN=20m時(shí)，5min=2400m2；

30x2+1200x4-12000

(2)由(1)得>3200,即3x2-200A:+1200>0,

X

（%-60）（3x-20）＞0,

20、

0＜x＜—或x＞60,

3

20

:.DN的范圍在0＜x＜可或%＞60,

19.（23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí)）對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)（。力），（c,d）作

如下定義:，那么稱點(diǎn)（。力）是點(diǎn)（C,d）的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)（c,d）是點(diǎn)（。,6）的“下位點(diǎn)”.

（1）試寫出點(diǎn)（3,5）的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；

（2）設(shè)。、3、。、d均為正數(shù),且點(diǎn)（。⑼是點(diǎn)（G。的上位點(diǎn),請(qǐng)判斷