山西省忻州市2023-2024學年高二年級上冊1月期末考試數(shù)學試題

高二數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1u3r5c7

3—5H—7—9H

1.已知數(shù)列的前4項分別為2,4,8,16,則該數(shù)列的一個通項公式可

以為4=()

A.2〃+1+(-1)”^^

2n

7n-l

B.2n+l+(-l)n+1^^

1

C.2n+l+(-l)z,-1^--^

2n

...2fl—1

D.2n+1+(-1)----

2n

【答案】D

【解析】

【分析】觀察數(shù)列的項的特點，找到各項之間的規(guī)律，即可寫出一個通項公式，結合選項,

即得答案.

【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)2〃+1,后面分數(shù)部分正負相間，首項

的分數(shù)部分為負，

分母為2",分子為2〃-1,

2n-1

故該數(shù)列的一個通項公式可以為an=2〃+1+（-1）",

故選：D

2.己知直線（：5x+（a-3）y+10=0,直線/2：（a+l）x+y+。=0.若，則。=

（）

A.4B.-2C.4或-2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由直線平行的必要條件列出方程求解參數(shù)，并注意回代檢驗是否滿足平行而不是重

合.

【解析】因為“〃2,所以（。一3）（。+1）=5*1,即/一2。一8=（。一4）（。+2）=0,得

a=4或a=-2.

當a=4時，4:5x+y+10=0,/2:5x+y+4=0,符合題意;

當a=—2時，4:5x—5y+10=0,l2：—x+y—2—0,,4重合.

故。=4.

故選：A.

3.已知等比數(shù)列｛a'｝的前〃項和為S”，若S“=3x2"M+/l,則4=()

A.3B.-3C.6D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得什2,…，結合等比數(shù)列的定義，得到.2,即可求解.

【解析】由S“=3x2"+/L,

,,+1

當時，an=-S,,，!=3x2+2-(3x2"+2)=3-2",可得也=2,“22,

an

當〃=1時，a1=S]=3x2?+2,

因為數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，可得?=3：；2：.=2,

解得2=—6.

故選：D.

，、1

4.若數(shù)列｛。“｝滿足出=11，°"+1==—，則為85=（）

1—%

111

A.—B.11C.---

1010

【答案】D

【解析】

【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項.

1

11

：---\-a

3

【解析】因為i-??+21L-an+x=——武=an.所以數(shù)列｛a“｝周期

1_%

l—a.

為3的數(shù)列.

所以。985=0328x3+1=%

110

%=11，所以11=；----=>a.=一,

1-q111

.10

故的85=<31=-?

故選：D

Y—6

5.函數(shù)/（%）二一二的極大值為（）

e

-8-9

A.尸B.JC.eD.e

【答案】B

【解析】

【分析】求導，再根據(jù)極大值與導數(shù)的關;

7-V

【解析】八x）=h，當"7時，?。?gt;。,

當x>7時，f\x)<0.

x—67-61

所以的極大值為〃7）=丁=F

故選：B.

6.過拋物線C:y2=2pxO>0)的焦點的直線與拋物線C相交于A,B兩點,若線段AB中

點的坐標為(4,20),則。=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】利用點差法及中點與焦點坐標分別表示直線A3的斜率，可建立關于。的方程，求

解可得.

【解析】設4和%)，5(4,%)，則］"%'，

』=2px2,

兩式作差得，代一貨=(%+為)(%-%)=2°(芯一9)，

當當=々時，則A5中點坐標為焦點尸究,0,不滿足題意；

一%2P

當V時,得=y

設線段AB中點M,因為M坐標(4,20),且過焦點尸,

所以X+%=4夜>

2P20-0

則AB的斜率=入后=4_￡，

一2

解得P=4.

故選：A.

7.在三棱錐尸—ABC中，P4J_平面A5C,NR4C=90。,。瓦尸分別是棱A仇5C,CP的

中點，A3=AC=2,叢=3,則直線CP與平面。跖所成角的正弦值為（）

63V132V13

B.—

131313

【答案】B

【解析】

【分析】建系，求出平面。跖的法向量為沆=（3,0,2）,再代入線面角的公式求解即可.

【解析】因為上4平面ABC，ABAC都在面ABC內(nèi),

所以PALACPALAB,

又NB4C=90°,所以AB1AC,所以A3,AC,AP兩兩垂直,

以A為坐標原點，N及衣，衣的方向分別為羽％z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標系，

則。（0,2,0）,「（0,0,3）,。。,0,0）,￡（1,1,0）/[0,1,|

CP=（0,-2,3）,DE=（0,l,0）,DF=l-l,l,|

設平面D跖的法向量為玩=（九,y,z）,

y=0

m-DE=0,

則一所以＜3八取z=2,得慶=（3,0,2）.

m-DF=0,-x+y+—z=0

設直線CP與平面DEF所成的角為。，

?.?ICP-fn\3x26

所以sin8="sCP,同==—j=-.

11|cp||m|屈x屈13

故選：B

8.若函數(shù)〃力，g(x)的導函數(shù)都存在，/'(x)[g(x)+l]+/(x)g'(x)〉4x3恒成立，且

/⑴=g6=l,則必有()

A.A2)g(2)<16B./⑵[g⑵+1]<17

C.〃2)g(2)>16D.〃2)[g⑵+1]>17

【答案】D

【解析】

【分析】由/'(x)[g(x)+l]+/(x)g'(x)〉4x3,得"(x)g(x)]'+/'(%)〉(n'，設函數(shù)

h(x)=f(x)g(x)+f(x)-x4,利用導數(shù)證明以無)單調(diào)遞增，所以人(2)>〃(1),據(jù)此即可

求解.

【解析】由八x)[g(x)+l]+/(x)g〈x)〉4x3,得"(X)g(X)r+尸(%)〉14)'，

設函數(shù)丸(%)=/(函g(x)+f(x)-x4,則/(%)=7'(x)[g(x)+l]+/(x)gf(x)-4x3>0,

所以/z(x)單調(diào)遞增，所以丸(2)>丸(1),

即/(2)g(2)+/(2)-24>/(l)g(l)+/(1)-14,

因為/⑴=g⑴=1,所以/(2)g(2)+/(2)-16>1,

即/⑵[g⑵+1]>17.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.等差數(shù)列｛4｝的前w項和為3，若%=9,S4=3a4,則()

A.｛4｝的公差為1B.｛4｝的公差為2

C.S4=18D.tz2023=2025

【答案】ACD

【解析】

【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項，判斷A,B；根據(jù)等差數(shù)列通項公式以

及前W項和公式即可判斷c,D.

_a,+6d=9

S.=3a4，得《,

【解析】設｛4｝的公差為d，由%=9,44

[4al+6d=3ai+9d

a,=3

解得,，，故A正確，B錯誤;

d=1

S4=4。]+6d=18,。2023=6+2022d=2025,C,D正確.

故選：ACD

10.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，則()

A.)⑴在(—3,—1)上單調(diào)遞減

B.〃力在(-1,2)上單調(diào)遞增

C.Ax)有2個極大值點

D./(尤)只有1個極小值點

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關系一一分析即可.

【解析】由圖可知，當—3<x<—1時，f\x)<0,所以/(x)在(—3,—1)上單調(diào)遞減,

當—l<x<2時，f\x)>0,所以/a)在(—1,2)上單調(diào)遞增，A,B均正確.

當*<一3時，f\x)>0,當—3<x<—1時，f\x)<0,當%>—1時，f'(x)>0,

所以/(X)的極大值點為-3,"X)的極小值點為-1,C錯誤，D正確.

故選：ABD.

11.已知？在同一個坐標系下，曲線如2=根”與直線如+改=加〃的位置

可能是(

【解析】

22

【分析】先根據(jù)題意得到曲線為土+工=1,直線為'+'=1,再根據(jù)當機=〃>0,

nmnm

加>0,m>〃>0,7?>0>加時，曲線及直線的橫截距與縱截距的關系即可逐項判斷.

22Y"V

【解析】因為加所以曲線為土+匕=1,直線為一+2=1,

nmnm

當加=〃>0時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；

當〃〉加>0時，曲線表示焦點在X軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；

當〃2>〃>o時，曲線表示焦點在y軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正

確；

當〃>0>加時，曲線表示焦點在尤軸上的雙曲線,直線的橫截距為正，縱截距為負，則D

正確.

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(x)=W，且關于x的方程"(x)丁+時(%)+根=0有3個不等實數(shù)根，

e

則下列說法正確的是()

A.當x>0時，/(%)>0

B./(X)在(1,+c。)上單調(diào)遞減

C.冽的取值范圍是1一；,oj

D.m的取值范圍是1—

【答案】ABD

【解析】

【分析】對/(九)進行求導，利用導數(shù)研究“X)的圖象判斷AB,令t=j,將問題轉(zhuǎn)化為

e

/(%)=/］和/(%)=/2共有三個不同的實數(shù)根，結合“力的圖象判斷CD.

【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當x>。時，f(x)>0,當x<0時，/(%)<0,A

正確；

因為/''(%)==，令/'(%)>。解得x<l，令/'(x)<0解得光>1，

所以/(x)=金在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+。)上單調(diào)遞減，B正確；

又當X趨于+8時，/(尤)趨于0,當X趨于一8時，/(尤)趨于-8,當X=1時，

/(x)=；,

C

故可作/(%)的草圖如圖，

%

令％==，則/+加/+加=0,即方程/+加/+根=0的兩根為。,才2，

e

若，二0是方程』+機/+m=0的根，則加=0,顯然不符合題意，

因為方程/+機/+機=0有3個不等實數(shù)根,

0<%<—

e0<(<—

所以《或Ve

1

/2二一了2<。

e

,11+機1』］+m=0解得機=—V%,所以柩2=根<0，即異號，

當/2=一時,

e

不滿足題意;

m<0,

0<A<—1

當e時，即有<1m八解得—9----<加<。,

—H——+m>0,e+e

，2<。lee

一一,0,C錯誤，D正確;

即m的取值范圍為

ere)

故選：ABD

【小結】關鍵小結：本題的關鍵是作出函數(shù)圖象，利用換元法結合二次函數(shù)根的分布從而

得到相關不等式，即可求出川的范圍.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.物體位移s(單位：m)和時間r(單位：s)滿足函數(shù)關系s=2/—/(()</<10),

則當f=2時，物體的瞬時速度為m/s.

9

【答案】—##2.25

4

【解析】

【分析】對位移與時間的函數(shù)關系求導，代入/=2即可求解.

【解析】/=2+4,則4，=2+，=g.

t3"=2234

9

故答案為：一.

4

2_

14.已知雙曲線C：(—丁=1,直線/:y=x+m被C所截得的弦長為4#，則機=

【答案】±372

【解析】

【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)弦長公式求解.

【解析】設雙曲線C與直線/交于4(%,%),％)兩點，

「2

%,2_1

-----V-1,

由<3消去V整理得2%2+6mx+3m2+3=0，則

y=x+m,

A=36m2-8（3m2+3）=12*—24>0,解得根2>2,且為+々=-3m,石々=汽±1,

所以1AB\=^2|xj-x2|=四J（X]+%2J-4中2=V2x,3川—6.

由母x《3病-6=4瓜,解得加2=18，所以抑=±3后-

故答案為：±3及

15.若直線x+3y—1=0是圓/+2奴一8=0的一條對稱軸，則點P（2,0）與該圓上

任意一點的距離的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】利用圓關于直線對稱可知該直線過圓心（4，0）,可得。=1,再利用定點到圓上點距

離的最值的求法即可求得結果.

【解析】由題可知，該圓的圓心為（區(qū)0）,直線x+3y—1=0過圓心，

則a—1=0,解得a=1,

則該圓的方程轉(zhuǎn)化為（X-1）2+V=9,該圓圓心為（1,0）,半徑為3,

易知圓心與「（2,3"）的距離為J（2—=2，

故點P（2,出）與該圓上任意一點的距離的最小值為3—2=1.

故答案為：1

16.在數(shù)列｛an｝與也｝中，已知%=4=2,an+l+bn+1=2（%+4）,%%=2anbn,則

11

-------------1------------=_____________.

“2023%23

【答案】1

【解析】

1111

【分析】由已知計算——+不一可得｛一+不｝為常數(shù)列，進而可得結果.

ab

4+1々+1nn

【解析】由題意知，，+[=%；%=2（%：，）」+],

%+1a+ian+ibn+l2anbnanbn

11111111

所以｛f一+1｝為常數(shù)列，即一+廠=—+1=彳+彳=1,

a.bnanbn%"22

11,

所以——+~一=L

“2023”2023

故答案為：1.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=3/—4d.

(1)求曲線y=/(x)在點(―L/(—D)處切線方程;

(2)求f(x)在［-1,2］上的最的

【答案】(1)24x+y+17=0；

(2)最大值為16,最小值為-1.

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(刈的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)由(1)中信息，利用導數(shù)探討函數(shù)/(x)在［-1,2］上單調(diào)性，再求出最值.

【小問1解析】

函數(shù)/(》)=3/一4/，求導得尸(x)=12d—12/，則八-1)=-24,而/(一1)=7,

所以曲線y=/(%)在點(-1,/(-1))處的切線方程為y—7=-24(%+1),即

24x+y+17=0.

【小問2解析】

由/'(X)=12/—12/=0,得x=0或1=1,

由r(x)=12/—12/>0,得尤〉1,

顯然當x<l時，恒有/'(x)=12d—12f<0,當且僅當x=0時取等號，

因此了⑴在(1,2］上單調(diào)遞增，在［-1,1)上單調(diào)遞減，而/?(—1)=7,/(1)=-1,

/(2)=16,

所以/（X）在［-1,2］上的最大值為16,最小值為-1.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且S“=3”2；9”

（1）求｛4｝的通項公式；

9

（2）設加=——，求數(shù)列也｝的前幾項和北.

anan+l

【答案】(1)an=3n+3

⑵小心

【解析】

【分析】（1）利用可,S"的關系式即可求得｛%｝的通項公式為4=3〃+3；

||n

（2）由（1）可得a=利-用裂項相消求和可得——

n+1n+22n+4

【小問1解析】

當〃=1時，6=Si=6,

*、。葉cc3n2+9n3(n-l)2+9(n-l).

當時，a-"-----------------------=3n+3.

%=6符合an=3〃+3,

所以｛4｝的通項公式為=3〃+3.

【小問2解析】

,99111

由(1)用得力=-----=---------------=------------=------------

〃anan+x(3〃+3)(3幾+6)(〃+1)(幾+2)〃+1n+2

11_n

2n+22〃+4

所以數(shù)列也｝的前幾項和北=/q.

19.已知直四棱柱ABC。-A4GR的底面ABCD是菱形，且

ZABC=6Q°,AB=AAi=2,E,尸分別是側棱44,,CG的中點?

（1）證明：四邊形E5FD］為菱形.

（2）求點C到平面BDF的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

2

【解析】

【分析】（1）取CD的中點G,可證得AGLA5,以A為坐標原點建立空間直角坐標系，

運用空間向量坐標法證明BF=~EDX,BE=可及|而卜|BE\即可.

（2）運用空間向量點到面的距離公式計算即可.

【小問1解析】

取CD的中點G,連接ACAG,

因為底面A3CD是菱形且NABC=60°,所以AACD為等邊三角形，

所以AGLDC,

XAB//CD,所以AGLAB,

易知AB,AG,兩兩垂直.以A為坐標原點，荏，無不，甌的方向分別為羽％z軸的正方

向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由A3=A4=2,

可得8(2,0,0),。(1,瘋0),。卜1,60),石(0,0,1),川1,百,1),^(-1,73,2).

證明：由上可得而=(—1,、療,1)=藥，詼=(—2,0,1)=兩，

所以BF〃EDi，BE〃FD「且而卜題卜

所以四邊形防尸2為菱形.

【小問2解析】

設平面BDF的法向量為為=(%,y,z),因為BF=(-1,、月,1),5￡)=卜3,、月,0),

BF-n=0-x+V3y+z=0

所以《一，即,取x=l,得為=（1,退2）.

BDn=0—3x+sfiy=0

又小卜1,60卜

所以點C到平面BDF的距離d=BCn'=也.

\n\2722

20.己知正項數(shù)列｛??｝滿足*i=a『,數(shù)列也｝的前幾項和為Sn,且也+i=2S”+2,

%="1=2.

(1)求｛4｝,｛勿｝的通項公式；

n卜11

(2)證明：14￡,<二.

日生2

⑵〃二L

【答案】(1)4=2〃，bn=\

3n,n>2.

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)對數(shù)列｛4｝兩邊取對數(shù)，再結合“累乘法”求數(shù)列的通項公式；對數(shù)列｛%｝,

根據(jù)前〃項和求通項公式；

(2)利用錯位相減求和法求數(shù)列的前九項和，然后再證明不等式.

【小問1解析】

因為a：+i=因+i,a?>0,且q=2,所以4〉1,

11g〃+1

所以lga：+i=lga；，即“l(fā)ga“+i=("+l)lga“n-1------=-------

坨4n

Ig?！?g*1ga31g%_nn—1n—232

當〃22時,所以

Iga,Ilga〃_21ga21gaxn-\n-2n-32

^=n

igq

因為4=2,所以log2%=",所以a"=2".

6=2也符合上式，所以%=2".

當〃=1時，b2—2S]+2=2々+2=6.

因為應優(yōu)+i=2S“+2,所以當時，("T)b〃=2S,i+2,

bh

所以當時，成%]—(〃—1)么=22，即」七=」，

n+1n

所以當“22時，數(shù)列,?’是以g=3為首項的常數(shù)歹U，

b

即」=3(〃》2),所以2=3〃(〃22),

n

2,〃=1,

所以｛2｝的通項公式為“=<

3n,n>2.

【小問2解析】

ebibb、b.b693n

因為〉—=—}+—+—+—=

1+—5-2+-7+---+3——,

gq勾a2a3an222"

所以Y找e丁升1一6王93n

+…+——2hr

亦二1口啟-曰1白13333n__3n

兩式相減得一，一=——?--1——-H-----1-------------=2+3x

2±%22232〃2向

113〃+6113〃+611

，所以"-----<

42n+l2"------2,

因為。〃"勿"所以?j故

2222

21.已知橢圓。1：=+二=1（?！?〉0）與雙曲線。2：.y=1（?>&>0）的焦距之比

aba

為？

（I）求橢圓G和雙曲線G的離心率;

（2）設雙曲線G的右焦點為尸，過P作EPLx軸交雙曲線G于點尸（尸在第一象限）,

A,8分別為橢圓C1的左、右頂點，AP與橢圓交于另一點0,。為坐標原點，證明:

%BP，k0p=k0Q+kop.

【答案】21.橢圓的離心率為巫，雙曲線。2的離心率為之叵

55

22.證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運算求解;

3）

（2）由（1）可知尸a.-a,聯(lián)立方程求點。的坐標，結合斜率公式分析證明.

5）

【小問1解析】

橢圓G的焦距2q=2面-及，雙曲線G的焦距2c2=2荷+加,

則整理得"T：

從而=〃2一人2=]q2,c；=Q2+人2=1〃2,

故橢圓G的離心率6=幺=巫，雙曲線G的離心率e,=2=2叵

a5a5

【小問2解析】

22

《小,橢圓G：++—i

由（1）可知a九2

5

）5

因為A(-a,O),所以直線AP的方程為y=2^J~5(x+a).

-2710-5.,、

y=--—(%+。)

聯(lián)立方程組,尤22,整理得

T+—1

a九2

I5

(8-2加)￡+(13-4師)以+(5-2屈)4=0,

5-292屈-5

貝|J—QXQa2，則xa,

8-2710Q8-2而

,曰2710-5,、3(2A/10-5):,即/巫曰,空埠Q

可得為:―(％+幻=5^^

(8-2屈5(8-2710))

33

一Q

因為上BP二大萬|一3kk->-3

2710-5<3班；2回，°°一兀一M

------a-a

5

912+3國,,3312+3國

則總%=40-10而^―，乜+%=1+和=

20