平行四邊形 章節(jié)復習卷（6個知識點+50題練習）（解析版）

第06章平行四邊形章節(jié)復習卷（6個知識點+50題

練習）

知識點

知識點1.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言：

如圖，：點。、￡分別是N8、NC的中點

C.DE//BC,DE^—BC.

知識點2.多邊形的對角線

（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

（2）"邊形從一個頂點出發(fā)可引出（?-3）條對角線.從"個頂點出發(fā)引出（?-3）條，

而每條重復一次，所以〃邊形對角線的總條數(shù)為：〃（〃-3）2（〃》3,且“為整數(shù)）

（3）對多邊形對角線條數(shù)公："（〃-3）2的理解："邊形的一個頂點不能與它本身及左右

兩個鄰點相連成對角線，故可連出5-3）條.共有〃個頂點，應為〃（〃-3）條，這樣算

出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2.

（4）利用以上公式，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)〃的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用

方程思想，解方程求".

知識點3.多邊形內角與外角

（1）多邊形內角和定理：（"-2）780°（"23且"為整數(shù)）

此公式推導的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出5-3）條對角線，將〃邊形分割為

（?-2）個三角形，這5-2）個三角形的所有內角之和正好是"邊形的內角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉化為三角形，這也

是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則〃邊形取〃個外角，無論邊數(shù)是幾，其外

角和永遠為360°.

②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和=180°n-(?-2)-180°=

360°.

知識點4.平行四邊形的性質

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

知識點5.平行四邊形的判定

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.符號語言：：/臺〃。。，8c.?.四邊行

/BCD是平行四邊形.

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.符號語言：???/BuDC,?.四邊行

/BCD是平行四邊形.

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：?.四邊行/BCD是平行四邊形.

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：/ABC=ZADC,/DAB=ZDCB：.四邊行ABCD是平行四邊形.

(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.符號語言：：O/=OC,。2=0。.??四邊行

/BCD是平行四邊形.奸

知識點6.平行四邊形的判定與性質

平行四邊形的判定與性質的作用

平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、

線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要

證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行

四邊形達到上述目的.

運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定

義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單.

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四

邊形的性質和判定去解決問題.

練習卷

一.三角形中位線定理（共9小題）

1.（2024春?通州區(qū)期中）如圖，D,E分別是/C,3c的中點，測得DE=15m,則池塘

兩端4,8的距離為（）

C.22.5機D.7.5m

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：￡分別是NC,8c的中點,

:.DE是AABC的中位線,

N8=2D￡=2x15=30（%）,

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵.

2.2024?長沙模擬）如圖所示的卡槽中有一塊三角形鐵片AO48,點C,。分別是OB

的中點，若CO=4C7〃，則該鐵片底邊48的長為8cm.

O

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：?.?點C,。分別是03的中點，

CDNOAB的中位線，

AB=2CD,

?/CD=4cm,

AB=2x4=8（cm）,

故答案為：8.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵.

3.（2023春?紹興期中）己知三角形的三邊長分別是4,5,6,則它的三條中位線圍成的三

角形的周長是7.5.

【分析】由中點和中位線定義可得新三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，即可求其周

長.

【解答】解：???新三角形的各邊長分別為：4+2=2,5+2=2.5,6+2=3,

新三角形的周長=2+2.5+3=7.5.

故答案為7.5.

【點評】解決本題的關鍵是利用中點定義和中位線定理得到新三角形各邊長與原三角形各邊

長的數(shù)量關系.

4.（2024春?北倍區(qū)校級期中）如圖，在A45C中，CD平分NBCA,ADLCD于點、D,點、

E為48的中點.若NC=3,BC=1,則DE的長為2.

【分析】延長ND交2c于尸，證明A4CD三AFCO,得到=CF=AC=2,,根據(jù)

三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：如圖，延長4D交3c于下，

:CD平分/BCA,

ZACD=ZFCD，

在A4c。和AFCZ)中，

ZACD=ZFCD

<CD=CD，

ZADC=ZFDC=90°

AACD=AFCD(ASA),

AD=FD,CF=AC=3,

:.BF=BC-CF=l-3=4,

;AD=FD,AE=BE,

二瓦)是A48廠的中位線，

:.DE=-BF=-x4=2,

22

故答案為：2.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵.

5.（2024春?閩清縣期中）如圖在A48c中，AB=AC,E,尸分別是BC,/C的中點，

以/C為斜邊作直角三角形ADC,若ACAD=NCAB=45°,則下列結論：①

NEC。=112.5。，②DE平分NFDC,③ND￡C=30。，?AB=41CD,正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可判斷①，根據(jù)平行線的性質可判斷②，由①②的條件,

通過角的轉換即可判斷③，根據(jù)勾股定理即可判斷④.

【解答】解：?.?/8=/C,ACAB=45°,

NB=NACB=67.5°.

?.?RtAADC中，ZCAD=45°,ZADC=90°,

:.ZACD=45°,AD=DC,

ZECD=ZACB+ZACD=112.5°,

故①正確，符合題意；

:E、尸分別是8C、/C的中點，

:.FE=-AB,FE/IAB,

2

NEFC=ABAC=45°,NFEC=NB=67.5°.

???尸是ZC的中點，ZADC=90°,AD=DC,

:.FD=-AC,DFYAC,ZFDC=45°,

2

"尸￡>=90。+45°=135。，

AB=AC,

:.FE=FD,

ZFDE=ZFED=1(180°-NEFD)=22.5°,

:.ZFDE=-ZFDC,

2

DE平分ZFDC,

故②正確，符合題意；

-,?ZFEC=NB=67.5°,ZFED=22.5°,

ZDEC=ZFEC-NFED=45°,

故③錯誤，不符合題意；

RtAADC中，NADC=90°,AD=DC,

:.AC=42CD,

AB=AC,

AB=y/2CD,

故④正確，符合題意.

故選：c.

【點評】本題主要考查三角形中位線定理，等腰三角形的判定及性質，直角三角形的性質、

平行線的性質、勾股定理等知識，掌握三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半

是解題的關鍵.

6.（2023春?海淀區(qū)校級月考）如圖，施工隊打算測量4,2兩地之間的距離，但5兩

地之間有一個池塘，于是施工隊在C處取點，連接ZC,3C,測量/C,8c的中點E.F

之間的距離是50機，則N8兩地之間距離為（）

A.50mB.80加C.100mD.120m

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：?.■點￡.尸分別為/C,8c的中點，

:.EF是AABC的中位線，

.-.AB=2.EF=100/M.

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關

鍵.

7.（2024春?廬江縣期中）（1）如圖1,在四邊形4D2C中，與CD相交于點O,

AB=CD,E,尸分別是2C,4D的中點，連接￡尸，分別交DC,48于點〃，N,判

斷AOMN的形狀，并說明理由；

（2）如圖2,在四邊形中，AB=CD,E,尸分別是/D,3C的中點，連接并

延長，分別與8/,C。的延長線交于點N.求證：ABME=ACNE.

【分析】（1）作出兩條中位線，根據(jù)中位線定理，找到相等的同位角和線段，進而判斷出三

角形的形狀.

(2)連接8。，取的中點〃，連接￡7/,FH,根據(jù)三角形中位線定理得到,

9=/5,根據(jù)平行線的性質證明.

【解答】解：(1)AQW是等腰三角形，理由如下：

如圖，取8。的中點〃，連接班，HF,

???E,產分別是5C,4。的中點，

:.HF//AB,HE//CD,HF=-AB,HE=-CD,

22

???AB=CD,

:.HF=HE,

ZHFE=ZHEF,

vHF//AB,HE//CD,

/./HFE=ZONM,/HEF=ZOMN,

ZONM=ZOMN,

OM=ON,

.?.AQW是等腰三角形.

(2)如圖，連接5。，取5。的中點"，連接Tffi,HF,

HF//CN,HE/IBM,HF=-CD,HE=-AB,

22

AB=CD,

:.HF=HE,

ZHEF=/HFE,

?「HF//CN,HE/IBM,

ZHEF=ABME,ZHFE=ACNE,

/.NBME=ACNE.

M

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第

三邊的一半是解題的關鍵.

8.（2024春?洛龍區(qū)期中）如圖，A48c中，E、F、G分別是邊48、BC、/C的中點,

是2c邊上的高，連接FG,猜想DE、尸G的數(shù)量關系并說明理由.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質得到?！?工/8,根據(jù)三角形中位線定理得到

2

FG=-AB,等量代換證明結論；

2

【解答】解：DE=FG,

理由如下：是3C邊上的高，

NADB=90°,

:E是4B的中點，

:.DE=-AB,

2

:F,G分別是8C,/C的中點，

FG>KABC的中位線，

:.FG=-AB

2

DE=FG-

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三

邊的一半是解題的關鍵.

9.（2023春?鹽都區(qū)期中）回歸課本，完成證明.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

己知：如圖，在A48C中，點。、E分別是/C邊的中點.

(1)求證：DE//BC,DE=-BC；

——2—

(2)證明：延長?！曛咙c尸，使得EE=DE,連接CF.

【分析】(1)根據(jù)命題的結論可的答案；

(2)在AA8C中，延長到點尸，使得EE=DE,連接CP.證明四邊形ADPC是平行

四邊形，可得結論.

【解答】(1)解由“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”可知，其結論為

DE//BC,DE=-BC；

2

故答案為：DE/IBC,DE=-BC；

2

(2)證明：延長DE至點尸，使得EF=DE,連接CF.

在AADE和ACFE中，

'EA=EC

<AAED=NCEF,

ED=EF

AADE=\CFE(SAS),

ZA=ZECF,AD=CF,DE=EF=-DF,

2

ADIICF,

又?：AD=BD,

CF=BD,

二.四邊形BCFD是平行四邊形，

:.DE//BC,DF=BC

DE=-BC.

2

【點評】本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性

質，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.

二.多邊形的對角線(共9小題)

10.（2023春?港南區(qū)期中）若一個多邊形經過一個頂點的對角線將該多邊形分成8個三角

形，則該多邊形為十邊形.

【分析】過多邊形的一個頂點的所有對角線將一個n邊形分割為（〃-2）個三角形.

【解答】解：設該多邊形的邊長為"，則

M-2=8,

解得〃=10.

答：該多邊形是十邊形.

故答案為：十.

【點評】本題主要考查的是多邊形的對角線，明確過多邊形的一個頂點的所有對角線將一個

n邊形分割為?-2個三角形是解題的關鍵.

11.（杜爾伯特縣期末）一個邊數(shù)為2〃的多邊形內所有對角線的條數(shù)是邊數(shù)為〃的多邊形內

所有對角線條數(shù)的6倍，求這兩個多邊形的邊數(shù).

【分析】根據(jù)多邊形的對角線公式;進行計算即可得解.

【解答】解：依題意有

~x2n（2n-3）=6x-3）,

解得n=6,

2n=U.

故這兩個多邊形的邊數(shù)是6,12.

【點評】本題考查了多邊形的對角線，熟記對角線公式是解題的關鍵.

12.（2024?黃石模擬）某多邊形由一個頂點引出的對角線可以將該多邊形分成10個三角形,

則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

【分析】"邊形從一個頂點出發(fā)可以引出（〃-3）條對角線，把多邊形分成（〃-2）個三角形,

據(jù)此作答即可.

【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)是〃，貝）-2=10,解得〃=12,

即這個多邊形的邊數(shù)是12,

故選：B.

【點評】此題考查了多邊形對角線條數(shù)，解題的關鍵是你掌握從一個頂點出發(fā)可以引出

（〃-3）條對角線，把多邊形分成（"-2）個三角形.

13.（2023春?新田縣期中）從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可畫2023條對角線，則它

是（）邊形

A.2024B.2025C.2026D.2027

【分析】根據(jù)多邊形從一點出發(fā)引對角線的計算方法是（〃-3）（”...3）,〃為多邊形的邊數(shù)，

由此即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得，“-3=2023,

解得〃=2026.

故選：C.

【點評】本題主要考查多邊形的對角線與邊數(shù)的關系，掌握多邊形每個頂點引對角線的計算

方法是解題的關鍵.

14.（2022?沈河區(qū)期末）過六邊形的每頂點都有〃條對角線，貝b的值為（）

A.3B.5C.7D.9

【分析】從一個〃邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n-3.

【解答】解：對角線的數(shù)量〃=6-3=3（條）；

故選：A.

【點評】本題考查多邊形的對角線及分割成三角形個數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶

一個〃邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是3.

15.（2023?五華縣校級開學）如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點和其余

各頂點，可將這個多邊形分割成2017個三角形，那么此多邊形的邊數(shù)為2019.

【分析】根據(jù)條件，找出規(guī)律，得出結論.

【解答】解：一個多邊形分割成2017個三角形，

那么此多邊形的邊數(shù)為2019.

故答案為：2019

【點評】考查多邊形對角線性質.四邊形一頂點可畫出一條對角線，可把圖形分成2個三角

形，由此推得：“邊形一個頂點可作出（〃-2）個三角形.

16.若一個多邊形的邊數(shù)恰好是從一個頂點引出的對角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊

數(shù).

【分析】設此多邊形有〃條邊，則從一個頂點引出的對角線有(〃-3)條，根據(jù)“一個多邊形

的邊數(shù)恰好是從一個頂點引出的對角線條數(shù)的2倍”列出方程，解方程即可.

【解答】解：設此多邊形有〃條邊，由題意，得

n=2(〃-3),

解得〃=6.

故此多邊形有6條邊.

【點評】本題考查了多邊形的對角線，如果多邊形有〃條邊，則經過多邊形的一個頂點的所

有對角線有(〃-3)條.

17.(2023春?惠東縣校級期中)若從一個〃邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引9條對角線,

貝Ijn=12.

【分析】可根據(jù)〃邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系：n-3,列方程求解.

【解答】解：設多邊形有〃條邊，

則〃一3=9,解得?=12.

故多邊形的邊數(shù)為12,即它是十二邊形.

故答案為：12.

【點評】本題考查了多邊形的對角線.解題的關鍵是明確多邊形有〃條邊，則經過多邊形的

一個頂點所有的對角線有(〃-3)條，經過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成

(〃-2)個三角形.

18.(2022?修水縣期末)探究歸納題：

(1)試驗分析：

如圖1,經過工點可以做1條對角線:同樣，經過2點可以做一條對角線；經過C

點可以做一條對角線；經過。點可以做一條對角線.通過以上分析和總結，圖1共

有條對角線

(2)拓展延伸：

運用1的分析方法，可得：

圖2共有一條對角線；

圖3共有條對角線；

(3)探索歸納：對于〃邊形(〃>3),共有一條對角線.(用含〃的式子表示)

【分析】（1）根據(jù)對角線的定義，可得答案；

（2）根據(jù)對角線的定義，可得答案；

（3）根據(jù)探索，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

（4）根據(jù)對角線的公式，可得答案.

【解答】解：經過/點可以做1條對角線；同樣，經過5點可以做1條；經過C點可以做

1條；經過。點可以做1條對角線.

通過以上分析和總結，圖1共有2條對角線.

（2）拓展延伸：

運用（1）的分析方法，可得：

圖2共有5條對角線；

圖3共有9條對角線；

（3）探索歸納：

對于〃邊形（〃>3）,共有今勺條對角線.

（4）特例驗證：

十邊形有也W二2=35對角線.

2

故答案為：（1）1、1、1、1、2；（2）5、9；（3）"（"3）；（4）35.

2

【點評】本題考查了多邊形的對角線，發(fā)現(xiàn)多邊形對角線公式跡二?是解題關鍵.

2

三.多邊形內角與外角（共5小題）

19.（2024春?寧波期中）正九邊形的每一個外角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.60°D.135°

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360。即可得出答案.

【解答】解：360。+9=40。.

故選：B.

【點評】本題主要考查多邊形內角和外角，牢記多邊形的外角和為360。是解題的關鍵.

20.（2023春?秀峰區(qū)校級期中）正十二邊形的內角和是1800

【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式，可得答案.

【解答】解：正十二邊形的內角和是（12-2“180。=1800。，

故答案為：1800°.

【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，利用了多邊形的內角和公式.

21.（2024春?江陰市期中）下列說法中，正確的個數(shù)為（）

①AA8C中，N/=2/B=2NC,則A48c是直角三角形；

②三角形的外角大于任意一個內角；

③"邊形每增加一條邊，其內角和增加180。；

④若a、b、c均大于0,且滿足a+6>c,則長為°、b、c的三條線段一定能組成三角形

⑤A45C在平移過程中，對應線段一定平行.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質與內角和定理、直角三角形以及平移的性質，分別對每一

項進行分析，即可得出答案.

【解答】解：①A45c中，/4=2/B=2/C,則AA8C是直角三角形，故本選項正確；

②三角形的外角大于和它不相鄰的任何一個內角，故本選項錯誤；

③"邊形每增加一條邊，其內角和增加180。，故本選項正確；

④滿足a+b>c且a<c,b<c的。、b、c三條線段一定能組成三角形，故本選項錯誤；

⑤A45c在平移過程中，對應線段平行或共線，故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是三角形的外角的性質與內角和定理、直角三角形以及平移的性質，

掌握三角形的外角的性質與內角和定理以及平移的特點是解題的關鍵.

22.（2023春?靈川縣校級期中）一個正多邊形的每個外角是60。.

（1）試求這個多邊形的邊數(shù)；

（2）試求這個多邊形內角和的度數(shù).

【分析】依據(jù)多邊形內角和定理：（"-2）/80。（%.3且〃為整數(shù)），多邊形的外角和等于

360°,即可求解.

【解答】解：（1）?.?多邊形的外角和是360。，

這個多邊形的邊數(shù)是360°-60。=6；

(2)v(6-2)x180°=720°,

這個多邊形內角和的度數(shù)是720。.

【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握多邊形內角和定理，多邊形的外角和是

360°.

23.（2024春?惠山區(qū)期中）如圖，四邊形4BCA中，點/、C分別在直線上，

若Nl=33。，ZD=65°,則N2=32

【分析】過。作DE//直線/「根據(jù)平行線的性質得到NNDE=N1=33。，根據(jù)平行四邊形

的性質得到ZADC=NB=65。，根據(jù)平行線的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：過。作。￡//直線小

:.ZADE=Z1=33°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AADC=NB=65°,

ZCDE=ZADC-NADE=65°-33°=62°,

B//Z2,

:.DE//l2,

Z2=ZCDE=32°,

故答案為：32.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，正確找出輔助線是解題的關鍵.

四.平行四邊形的性質（共9小題）

24.(2024春?寧河區(qū)期中)如圖所示，口OAWP的頂點尸坐標是(2,3),頂點〃?坐標的是

(4,0),則頂點N的坐標是_(6,3)

【分析】過尸作PE_L(W,過點N作NF_L(W,根據(jù)平移求出O尸的長度，則雙點坐標

便不難求出.

【解答】解：過尸作P￡_L(W,過點N作NF_L(W,

???頂點P的坐標是(2,3)，

OE=2,PE=3,

■.?四邊形ABCD是平行四邊形,

:.OE=MF=2,

?.-4+2=6,

.?.點N的坐標為(6,3).

故答案為：(6,3).

【點評】此題考查了平行四邊形的性質，根據(jù)平行四邊形的性質和點尸的坐標，作出輔助

線是解決本題的突破口.

25.(2024春?洞頭區(qū)期中)如圖，在口中，點E是8C上的一點，S.BE=2CE,F

是上的一點，已知廠的面積為4,則口48cZ)的面積是()

AFD

BEC

A.4B.6C.8D.12

【分析】連接5。，如圖，先利用平行四邊形的性質得到4。//BC,則根據(jù)三角形面積公式

得到5AME=5叱=4，所以SADCE=2，于是得到=6，然后利用平行四邊形

的性質得到nABCD的面積=2S?BC=12.

【解答】解：連接3D,如圖，

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

AD//BC,

==

一^M>BESA￡BE4>

???BE=2CE,

SgCE=5SADBE=5X4=2，

SM>BC=4+2=6，

:.nABCD的面積=2sAMc=12.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的面積等于它

的底和這個底上的高的積.

26.（2023春?吳江區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形/BCA中，點E為4D的中點，連接

CE,CE_L4D,點尸在N8上，連接￡尸，EF=CE,若BC=6,CD=5,則線段8尸的

長為（）

AED

【分析】延長FE交CZ)的延長線于點M,連接C/，由平行四邊形的性質得出45//CD,

BC=AD=6,證明A4EF=A￡?EM(44S),由全等三角形的性質得出/尸=DW,

EF=EM,設2F=x,則工尸=O"=5-x,由勾股定理得出方程，則可得出答案.

【解答】解：如圖，延長尸￡交CZ)的延長線于點M,連接CF,

M

V四邊形/BCD為平行四邊形,

AB/1CD,BC=AD=6,

ZAFE=ZEMD,

?.?E為/。的中點，

/.AE=DE=3,

在\AEF和\DEM中,

ZAEF=ADEM

<ZAFE=ZEMD,

AE=DE

...\AEF=M)EM{AAS),

/.AF=DM,EF=EM,

又?；EF=CE,

EF=CE=EM,

ZFCM=90°,

CELAD,

ZCED=90°,

:,CE=yJcD2-DE2=V52-32=4,

FM=2CE=8,

vAB//CD,

ZBFC=/DCF=90°,

沒BF=x,貝4/尸=QM=5—x,

:.CM=W-x,

?：CF2+CM2=FM2,

62-X2+(10-X)2=82,

x=—18,

5

..Dr一,

5

故選：A.

【點評】本題考查了平行四邊形的綜合應用，熟練掌握平行四邊形的性質、全等三角形的判

定與性質、勾股定理及直角三角形的判定是解題的關鍵.

27.(2023春?北京期中)如圖，口N5CD的對角線/C與8。交于點O,AC=14cm,

BD=8cm,BC=Wcm.求ASOC的周長.

【分析】由NC=14c相，BD=Scm,根據(jù)“平行四邊形的對角線互相平分”得

OC=OA=-AC=7cm,OB=OD=-BD=4cm,而3C=10c機，即可求得MOC的周長是

22

21cm.

【解答】解：?.?口/BCr1的對角線/C與交于點O,AC=14cm,BD=8cm,

OC=OA=^AC=j-xl4=7(cm),OB=OD=^80=^x8=4(cm),

,.eBC=10cm,

05+OC+5C=4+7+10=21(cm),

，A5OC的周長是21cm.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、三角形的周長等知識，根據(jù)“平行四邊形的對角

線互相平分”求出、OC的長是解題的關鍵.

28.(2024春?通州區(qū)期中)已知口48co中，N/=60。，則NC的度數(shù)為()

A.60°B.80°C.100°D.120°

【分析】由平行四邊形的性質得NC=NZ,因為乙4=60。，所以NC=60。，于是得到問題

的答案.

【解答】解：???四邊形48cA是平行四邊形，

:.ZC=ZA,

???N4=60°,

.-.ZC=60°,

故選：A.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質，根據(jù)“平行四邊形的兩組對角分別相等”證明

Z.C=Z.A是解題的關鍵.

29.(2024春?中山市期中)如圖，平行四邊形48co的對角線交于點O,48=8,

BD=\2,AC=10,則A4O8的周長為19.

【分析】由平行四邊形的性質可得/O=5,BO=6,即可求解.

【解答】解：???四邊形N2CD是平行四邊形，

:.AO=5,80=6,

/UO3的周長=工。+20+28=6+5+8=19,

故答案為：19.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關

鍵.

30.（2023春?宿豫區(qū)期中）如圖，已知口4BCD的對角線/C,8。相交于點O,其周長為

16,且A4O8的周長比ASOC的周長小2,則AB的長為3.

【分析】由平行四邊形的性質得。4=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB,則

2C+/2=8①，再由三角形的周長關系得3C-28=2②，即可解決問題.

【解答】解：?.七48。的對角線NC、8。相交于點。，其周長為16,

OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB,

BC+AB=S?；

\AOB的周長比A3OC的周長小2,

:.OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=2,

BC-AB=2@,

①-②得：2AB=6,

.-.AB=3,

故答案為：3.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及三角形周長等知識，掌握平行四邊形兩組對邊分

別相等，對角線互相平分是解題的關鍵.

31.（2024春?通州區(qū)期中）如圖，在口/BCD中，￡是8c上一點，DE=DA,點、F在DE

上，ZDAF=ZEDC.求證：DF=EC.

by------------yjD

F

BE

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到/C+/4DC=180。，ZADF=ZDEC,根據(jù)題意得到

N/￡D=NC,根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可.

【解答】證明：?.?四邊形N88是平行四邊形，

AB//CD,AD/IBC,

ZC+NADC=180°,ZADF=/DEC,

ZAFD+ZAFE=180°,NAFE=ZADC,

ZAFD=ZC,

在AAFD和A￡)EC中，

ZAFD=ZC

■NDAF=ZEDC,

AD=DE

NAFD=NDCE(AAS),

.-.DF=EC.

【點評】本題考查的是平行四邊形的性質、全等三角形的判定、平行線的性質以及三角形內

角和定理，掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

32.2023春?上城區(qū)校級期中)如圖，平行四邊形N8co中//=60。，AB=6cm,AD=3cm,

點￡以10〃/5的速度從點/出發(fā)沿/一8一C向點C運動，同時點尸以1c加/s的速度從點

/出發(fā)沿/一。一C向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設運動的

時間為:⑸.

(1)求平行四邊形N5CL1的面積；

(2)求當f=2s時，求A4EF的面積；

(3)當A4斯的面積為平行四邊形/BCD的面積的工時，求，的值.

3

底乘以高，即可得解；

(2)過點尸作切，于點打，分別計算出/=2s時，AE,/尸和我的長，則按三角

形面積公式計算即可；

(3)分點E在線段N2上，點尸在線段ND上和點E在線段BC上，點尸在線段CO上，兩

種情況計算即可.

【解答】解：(1)平行四邊形/2CA中，

AA=60°,AB=6cm,AD=3cm,

/.CD=AB=6cm,BC=AD=3cm，

如圖，過點8作BGLCD于點G,

NBGC=90°,

N4=NC=60°,

在RtABCG中,NCBG=30°,

13

CG=-BC=-cm,

22

BG=yjBC2-CG2=|V3(cm),

平行四邊形ABCD的面積為：CDx2G=6x|V^=9瓜cm。).

答：平行四邊形48CD的面積為9瓜療；

(2)當f=2s時,

AE=2x1=2cm,AF=2x1=2cm,

/A=60°,

/.A4跖是等邊三角形，

如圖，過點尸作于點/7,

AHEB

:.FH=AF=y/3(cm),

2

\AEF的面積為：；xAExFH=gx2x4i=6(cm。),

答：當％=2s時，的面積為其療;

(3)?.?由(1)知平行四邊形的面積為96c/

.?.當AAEF的面積是平行四邊形48c。面積的,時，A4斯的面積為：96又二=369/),

33

當點E在線段NB上運動/秒時，點尸在ND上運動/秒，(0<t?3),AE=tcm,AF=t

cm,高為叵AF=

2

-xzx---t=，

22

:.t=2y/3>3,不符合題意舍去;

當點E在線段45上運動/秒時，點尸在CD上運動/秒，(3</?6),

—XZX—y/3=3y/3，

22

.—=4,符合題意;

當點少運動到線段上時，且運動時間為/秒時，點尸，也運動到線段CQ上，(6<r<9),

如圖，過點￡作品乂垂直CD于點”，垂直于48延長線于點G,

CD=AB=6cm,BC=AD=3cm，

...AB//CD,

/E'BG=/C=60°,

:.EG=*BE=*t,E'H=1.5』一等(f-6)=5(9一t)(cm),

=9V3-1x6x^(?-6)-1x[6-(Z-3)]x[^(9-?)]-1(f-3)xl.5V3=373,

化簡得：t2-9/+12=0,

,f=9-V33(不符合題意，舍)或=2±叵，

22

當/="匣時，點E位于線段2C上，點F位于線段CD上，符合題意.

2

綜上所述，，的值為4或吃叵.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，一元二次方程，等

邊三角形的性質，熟練掌握三角形或平行四邊形的面積公式是解題的關鍵.

五.平行四邊形的判定(共9小題)

33.(2023春?威縣校級期末)如圖是嘉淇不完整的推理過程，為了使嘉淇的推理成立，需

在四邊形中添加條件，下列添加的條件正確的是()

vZA+ZD=180°,?

AB//CD,

又1_____，

四邊形是平行四邊形.

A.Z5+ZC=180°B.AB=CDC.=D.AD=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結論.

【解答】解：?.?NN+40=180。，

AB//CD,

???AB=CD,

二.四邊形/8C。是平行四邊形.

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的定理，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵.

34.(2023春?霞山區(qū)校級期中)已知在直角坐標系中有/、B、C、。四個點，其中

B,C三個點的坐標分別為(2,3),(5,3),(1,1).若以工、B、C、。四個點為頂點的四

邊形是平行四邊形，則點。的坐標為_(4,1)或(6,5)或(-2,1)

【分析】分別在平面直角坐標系中確定出N、8、C的位置，再根據(jù)兩組對邊分別平行的

四邊形是平行四邊形可確定。的位置.

【解答】解：由圖可知，滿足條件的等。坐標為(4,1),(6,5),(-2,1).

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形.

35.(2024春?石家莊期中)依據(jù)所標數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是()

【分析】由平行四邊的判定方法，即可判斷.

【解答】解：/、由同旁內角互補，兩直線平行，判定四邊形的上下一組對邊平行，但不

能判定左右一組對邊平行，不能判定四邊形是平行四邊形，故N不符合題意；

由同旁內角互補，兩直線平行，判定四邊形左右一組對邊平行，不能判定四邊形的上

下一組對邊平行，不能判定四邊形是平行四邊形，故8不符合題意；

C、由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，判定四邊形是平行四邊形，故C符合題

忌；

。、四邊形的左右一組對邊相等，但上下一組對邊不一定相等，不能判定四邊形是平行四

邊形，故。不符合題意.

故選：c.

【點評】本題考查平行四邊形的判定，關鍵是掌握平行四邊形的判定方法兩組對邊分別平

行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊

形是平行四邊形.

36.2023?斗門區(qū)校級三模）如圖，E,尸是四邊形N2CA的對角線2c上兩點，AF=CE,

DF=BE,DF//BE.求證：

（1）\AFD三\CEB；

（2）四邊形/BCD是平行四邊形.

【分析】（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（"S）,這一判定定理容易證

明\AFD=\CEB.

（2）由=容易證明4D=8。且4D//8C,可根據(jù)一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形.

【解答】證明：（1）-：DF//BE,

ZDFE=ZBEF.

在A/WF和AC3E中，

DF=EB

<ADFA=NBEC,

AF=CE

AAFD=ACEB（SAS）；

（2）由（1）知AAFD三ACEB,

ZDAC=NBCA,AD=BC,

AD!IBC.

二.四邊形ABCD是平行四邊形.

DC

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判

定定理是解題的關鍵.

37.（2024春?拜城縣期中）如圖，甲、乙二人給出了條件來證明四邊形為平行四邊

形，下列判斷正確的是（）

甲：AB//CD,AD=BC；乙：N/:N2:NC:NO=1:2:1:2

A.甲可以，乙不可以B.甲不可以，乙可以

C.兩人都可以D.兩人都不可以

【分析】甲可以按照舉例子來判斷，乙根據(jù)對角相等來判斷即可.

【解答】解：AB//CD,AD=BC,四邊形42cA為平行四邊形，也可能是等腰梯形，故

甲不可以.

NN:N3:NC:NO=1:2:1:2,

.-.NA=NC,NB=ZD,

符合兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形的判定定理，所以乙可以.

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理，準確無誤的掌握定理是解題關鍵.

38.（2023春?路橋區(qū)期中）如圖所示，E,尸是口/BCD對角線/C上的兩點，添加一個適

當?shù)臈l件_4E=C尸到4F=CE（答案不唯一），使四邊形BEDF是平行四邊形.

【分析】可添加=首先連接BD,由平行四邊形的對角線互相平分與對角線互相平

分的四邊形是平行四邊形可證得.

【解答】解：添加：AE=CF.

理由：連接3D,DE,BF,

■.?四邊形ABCD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD,

AE=CF,

OE=OF,

：.四邊形尸是平行四邊形.

故答案為：AE=CF或AF=CE(答案不唯一).

D

【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應

用.

39.(2023春?潢川縣期中)已知/、B、C三點的坐標分別為(3,3),(8,3),(4,6),若以

/,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，則點。的坐標是_(-1,6)-(7,0)z

(9,6)一

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，分別從以BC,AC,N8為對角線分析，即可解得答

案.

【解答】解：當以8C為對角線時，

CD=AB=5,

..2(9,6)；

當以/C為對角線時，

CD=AB=5,

3(-1,6)；

當以48為對角線時，

AD=BC=7(8-3)2+(3-6)2=5,

???2(7,0)，

綜上所述，點。的坐標是(-1,6),(7,0),(9,6),

【點評】本題考查了平行四邊形的性質平行四邊形的對邊平行且相等，正確的分類討論是

解題的關鍵.

40.(2023春?潮安區(qū)期中)如圖，在四邊形4BCO中，N1=N2,Z3=Z4.

求證：四邊形N8C。是平行四邊形.

【分析】由N1=N2可知N8//C。，由N3=N4,可知：ADIIBC,從而得出四邊形

48。是平行四邊形.

【解答】證明：?.?/：1=N2,

AB//CD.

■：N3=N4,

ADI/BC.

四邊形4BC。是平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察

題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.

41.(2023春?靈川縣校級期中)如圖，矩形48co中，AB=4cm,BC=8cm,動點M從

點。出發(fā)，按折線。C84D方向以2CTM/S的速度運動，動點N從點。出發(fā)，按折線ZJ4BCD

方向以1c機/s的速度運動.

(1)若動點N同時出發(fā)，t秒時，N走過tcm,〃走過cm；

(2)若動點M,N同時出發(fā)，經過幾秒鐘兩點第一次相遇？

(3)若點E在線段上，且=若動點"，N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經

過幾