人教版八年級數(shù)學下冊專項復習：勾股定理（壓軸題專練）（解析版）

第十七章勾股定理（壓軸題專練）

目錄

【考點一巧妙割補求面積1...................................................................................................1

【考點二“勾股樹”及其拓展類型求面積1.............................................................................5

【考點三勾股定理及逆定理與網(wǎng)格問題】....................................................11

【考點四幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】...........................15

【考點五幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）】...........................22

【考點六實際問題中的方程思想】..........................................................25

【考點七勾股定理逆定理的拓展問題】.....................................................31

【考點一巧妙割補求面積】

例題：如圖，一塊四邊形花圃ABCD中，已知NB=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,AD=13m.

（1）求四邊形花圃ABCD的面積;

⑵求C到AD的距離.

【答案】（1）36而

【分析】（1）連接AC,勾股定理求出AC,利用勾股定理逆定理證明AACD是直角三角形，且/ACD=90。,

再根據(jù)面積公式四邊形花圃ABCD的面積=SAABC+S/CD計算即可;

（2）過點C作CELAD于E,利用面積法求出CE即可.

【詳解】（1）解：連接AC,

B

VZB=90°,AB=4m,BC=3m,

???AC=VAB2+BC2=742+32=5^，

VCD=12m,AD=13m,

???AC2+C￡>2=52+122=132=AZ)2,

???△ACO是直角三角形，且NACDRO。，

???四邊形花圃ABC。的面積=S5BC+SHCD

=-ABBC+-ACCD

22

=—x4x3+—x5xl2

22

=36

二?四邊形花圃ABC。的面積是36m之；

(2)過點C作CELAD于E,

?：S^ACD=^AD.CE=^AC.CD,

A13CE=5xl2,

/.CE=—,

13

；.C到AD的距離是

【點睛】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，正確掌握勾股定理及其逆定理是

解題的關鍵.

【變式訓練】

1.如圖，在四邊形ABCZ)中，ZA=90°,AB=6,AD=8,BC=24,DC=26,求四邊形ABC。的面積.

【答案】144

【解析】

【分析】

連接BD,根據(jù)勾股定理求出BD,根據(jù)勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分別求出AAB。和△8。

的面積，即可得出答案.

【詳解】

解：連接加>,

在AABD中，

VZA=90°,AB=6,AD=8,

：.BD=^^=1Q,

SAABD=；AB-AD=；x6x8=24,

在△BCD中，

VCD=26,8c=24,BD=1Q,

.,.BD^B^CD2,

△BCD是直角三角形，

SxBCD=yBC'BD=；x10x24=120.

四邊形ABCD的面積=5"8￡>+必8?！?=24+120=144.

【點睛】

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的應用，解此題的關鍵是能求出△48。和△BCD的面積，注意：如

果一個三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

2.如圖，在5x5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1

(1)線段8C=,線段C￡>=

（2）求四邊形ABC。的面積.（可以根據(jù)需要添加字母）

【答案】（1）2君，有；（2）14.5

【解析】

【分析】

（1）在網(wǎng)格中利用勾股定理進行求解即可；

（2）如圖所小，S四邊形ABCZ>=S正方形AEFH—SA4EB—S/XBFC——SAADE由止匕求解即可.

【詳解】

解：（1）由題意得：BC=V22+42=V20=2>/5-CD=Vl2+22=45-

故答案為：2非，也;

（2）如圖所示，

S四邊形ABCD—S正方形AEFH一^?AEB一?BFC-—?ADH

=5x5--xlx5--x2x4--xlx3--xlx5=14.5.

2222

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，以及四邊形的面積，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

3.如圖，方格紙中小正方形的邊長為1,ZkABC的三個頂點都在小正方形格點上,

(1)邊AC、AB,8c的長；

(2)求△ABC的面積；

(3)點C到AB邊的距離

【答案】(1)AC=下,AB=,BC=;(2)—；(3)

213

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理計算，求出邊AC、AB,8C的長；

(2)根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式，結(jié)合圖形計算；

(3)根據(jù)三角形的面積公式計算.

【詳解】

解：⑴AC=Vl2+22=A/5-

AB=個展+￥=-J13>

BC=JF+32=廂；

1117

(2)AABCQ<jffi^=3x3--xlx2--x3x2--xlx3=-；

(3)點C到A3邊的距離為6,

[rj1__

貝°2xABxh=—,BP—xVox/z=—,

解得，h=^.

13

【點睛】

本題考查的是勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，解題關鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么。2+〃=理.

【考點二“勾股樹”及其拓展類型求面積】

例題：如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構(gòu)成，其中最大正方形的邊長為7,則正方形4B、C、。的

面積之和為.

【答案】49

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形A,B,C,。的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案.

【詳解】

如圖對所給圖形進行標注：

因為所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，

所以正方形A的面積=/,正方形8的面積=〃，正方形C的面積=02,正方形。的面積=屋.

222

因為"+62=尤2,c+d=y,

所以正方形A,B,C,。的面積和=（儲+/）+卜2+屋）=/+y2=72=49.

故答案為：49.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計算，掌握勾股定理是解本題的關鍵.

【變式訓練】

1.如圖，以HAABC的三邊向外作正方形，其面積分別為H.S?,邑且岳=4,邑=8,則邑=;以

RtAABC的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為H，邑，邑，則H，邑，邑三者之間的關系為.

S1

【答案】12;S1+S2=S3

【解析】

【分析】

首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與RtAABC的三邊關系，然后根據(jù)勾股定理找到RtdABC

的三邊之間的關系，并由此得到三個正方形的面積關系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積

公式與勾股定理，得到Si,S2,S3三者之間的關系，完成解答.

【詳解】

解：BC、AB都是正方形的邊長，

。2

.?.S1=AC2,S2=B,S3=AB,

又???△ABC是直角三角形，

J.AC^+B^AB2,

.?.53=4+8=12,

又；MAABC三邊向外作等邊三角形，其面積為Si,S,S3,

?*.Si=—xACxAC^^--^-'xAC2,

224

22

同理可得：S2=—xBC,S3=—xAB,

44

「△ABC是直角三角形，

S1+S2=S3.

故答案是：12,Si+S2=S3.

【點睛】

本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關鍵在于靈活運用勾股定理.

2.如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為7cm.

⑴求A,B,C,。四個正方形的面積之和.

（2）若其中每個直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為3：5,求正方形A,B,C,。的面積.

【答案】⑴49cm2

v-.內(nèi)如八口?生3969,7056,12544,7056,

（2）正方形A,B,C,。的面積分別為：——cm-,cm-,cm-,~cm-

625625625625

【分析】（1）按照圖形，根據(jù)勾股定理解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可.

【詳解】（1）解：如圖所示：依次設三個空白正方形為E,F,G

由勾股定理可得：E正方形的面積=A正方形的面積+8正方形的面積，產(chǎn)正方形的面積=C正方形的面積+。

正方形的面積；G正方形的面積=E正方形的面積+產(chǎn)正方形的面積，

A,B,C,D四個正方形的面積之和=6正方形的面積=49cm，

答：A,B,C,。四個正方形的面積之和為49cm2；

（2）解：?每個直角三角形的最短邊與最長邊的長度之比都為3:5,

7

???設中間的直角三角形的較短的直角邊為3%cm,斜邊為5%cm,由題意得：5x=7,解得冗=二,

9178

???較短的直角邊為Ecm,另一直角邊為言cm,

7171

設A的邊長為3ycm,5的邊長為4ycm,則⑶了+（4"=（不了，解得：y=_,

.?.4的面積是：（3,）2=（箋）2=槳加2；B的面積是：（4y）2=（點）2=累而。

2562525625

同理:

OQOR

設。的邊長為3zcm,C的邊長為4zcm,貝頻3z)?+(4z)?=(等?，解得：？=好，

525

??(的面積是；(42)2=(坐)2=11|*加2；。的面積是：(3z)2=(空)2=鱉而，

2562525625

房十分田一.=如八口3969。7056,125447056

答：正方形A,B,C,。的面積分別為：cm,"cm*,cm7-,cm2.

625625625625

【點睛】本題考查了勾股定理在計算中的應用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關鍵.

3.如圖②，它可以看作是由邊長為〃、c的兩個直角三角形(如圖①。為斜邊)拼成的，其中A、。、D

三點在同一條直線上,

(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示。、b、c的關系的等式；(要求寫出過程)

(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形

中面積關系滿足d+S?=53的有個.

(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3,5,分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部

分的面積為.

【答案】⑴

(2)3

(3)7.5

【解析】

【分析】

(1)梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.即可得：c2=a2+b2；

(2)根據(jù)勾股定理可得三個圖形中面積關系滿足H+S?=$3的有3個;

(3)根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：Sl+S2=S3,進而求解.

(1)

解：c2=a2+b2

四邊形ABED的面積可以表示為：

—(tz+b)(a+b)--(a+b)2,

22

也可以表示為+2x—ab——c2+ab,

222

所以工02+仍=工(“+6)2,整理得,2="+廿；

22

⑵

設直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a,b,c,則片+廿二。2,

212

圖③，VSx=c,S2=b,S3=a,

222

S{+S2=c+b=a=S3,

圖④,

?F+卬丁=耳及，

圖⑤，'：Sl=-.c.^-c=^^,S2=-.bJ^b=^-,S3=-.a^-a=^^,

122422243224

鳳市）瓜2

??S+S=

x244

故答案為：3.

⑶

??f+邑=n電+；唱+53一齊電,

S]+S2=W乃+〃-C?)+S3,

222

,?*a-{-b=cJ

百+S2=53=-^-x3x5=7.5.

S3

【點睛】

本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關鍵是掌握勾股定理.

【考點三勾股定理及逆定理與網(wǎng)格問題】

例題：如圖，每個小正方形的邊長為1,若A、B、C是小正方形的頂點，則/ABC度數(shù)為()

【答案】B

【分析】在格點三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到AB,BC,AC的長度，繼而可得出/ABC的度數(shù).

【詳解】解:根據(jù)勾股定理可得：

AC=BC=y/22+l2=y/5<AB=732+12=710>

(75)2+(75)2=(710)2,gpAC-+BC-=AB1,

.?△ABC是等腰直角三角形.

.-.ZABC=45°.

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷AABC是等腰直角三角形是解決本題的關鍵，注意在格點三

角形中利用勾股定理.

【變式訓練】

1.如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1.網(wǎng)格內(nèi)有ABLB,貝！J/B4B+NP54的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】延長PC到點C,使得尸C=AP,連接3C,根據(jù)勾股定理的逆定理可得APCB為等腰直角三角形,

即可求解.

【詳解】解：延長AP到點C,使得尸C=AP,連接3C,如下圖：

由勾股定理得：PC=AP=Vl2+22=A/5-BC=Vl2+22=A/5，BP=Jf+32=而,

/.PC=BC,BP2=PC'+BC-,

APCB為等腰直角三角形，

ZCPB=ZCBP=45°,

：.ZPAB+ZPBA=ZCPB=45°,

故選：B.

【點睛】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是利用相關性質(zhì)，構(gòu)

造出等腰直角三角形，正確進行求解.

2.（2023上?重慶沙坪壩?八年級重慶八中?？计谀┤鐖D，將AABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方

形的邊長均為1）,點A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么AABC中8C邊上的高的長度是（）

【答案】D

【分析】由勾股定理求得BC=JF7,由割補法求得Z.C=7,設AABC中8c邊上的高的長度是心利用三

角形面積公式列方程求解即可.

22

【詳解】解：由題意可知，BC=A/1+4=V17?S-ABC=4x4--x2x3--x2x4--xlx4=7,

222

設AABC中3C邊上的高的長度是心

S*ABC=5〃'BC=7,

,1414M

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理，割補法求面積，一元一次方程的應用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的

思想解決問題是解題關鍵.

3.（2023上?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點AB都在

格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AABC的面積為10B.ABAC=90°

C.AB=2也。.點A到直線的距離是2

【答案】A

【分析】求出AC、BC,根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷8根據(jù)勾股定

理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點到直線的距離的意義可以判斷D

【詳解】解：...AC=JF+22=6,AB=y/爰+42=2布，BC=A/32+42=5-

AC2+AB2=（灼2+（2國2=5+20=25=BC?,

ABAC=90°,故8、C正確，不符合題意；

=石X26=5,故A錯誤，符合題意；

設點A到直線8C的距離是〃，

-：S^c=^BC-h,

1,

x5x/zi=5,

2

:.h=2,

???點A到直線5C的距離是2,故。正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點到直線的距離，熟練掌握以上知

識點是解題的關鍵.

4.（2023上?吉林長春?八年級校考期中）如圖，5x5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1,AABC的頂點均為

網(wǎng)格上的格點.

(1)AB=,BC=,AC=；

(2)AABC的形狀為_________三角形；

(3)求AABC中AC邊上的高.

【答案】⑴2拒，4后，2回

(2)直角

(3)|V10

【分析】(1)本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，直接計算即可求解.

(2)主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形狀，直接把三邊長度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)A4+BCZMAC?即

可判定三角形的形狀.

(3)考查利用等面積法求斜邊上的高，直接計算就可以求解.

【詳解】⑴由題可知，A3=也?+2?=2夜;

BC=V42+42=472；

AC=V22+62=2A/10-

(2)解：VAB2-8,BC2=32,AC2=(2A/10)2=40；

AB2+BC2=AC2;

AABC為直角三角形.

(3)如下圖，過點B作AC的垂線，垂足為O；

BDLAC；

???AABC是直角三角形；

：.-AB.BC=-AC.BD；

22

：.BD=-

2A/10，

：.BD=—-屈.

5

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【考點四幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】

例題：如圖，將直角三角形紙片沿折疊，使點2落在AC延長線上的點E處.若AC=3,BC=4,則圖

中陰影部分的面積是（

41Q

BD.-

-I-I2

【答案】B

【解析】

【分析】

由勾股定理求出AB,設CD=x,則8￡）=4-x,根據(jù)CE2+CQ2=。爐求出尤得至ljC￡）的長，利用面積求出答案.

【詳解】

解：：NACB=90。,

AB=^AC2+BC-=5>

由折疊得AE=AB=5,DE=BD,

設CZ)=x,則8。=4-無,

在AOCE中，ZDCE=90°,CE^AE-AC=5-3=2,

CE2+CD2=DE2,

???22+X2=（4-X）2,

解得x=L5,

：.CD=\.5,

119

.,.圖中陰影部分的面積是5400=5x3x1.5=1,

故選：B.

【點睛】

此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記勾股定理的計算公式是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.如圖，三角形紙片ABC中，ZACB=90°,BC=3,AB=5.。是BC邊上一點，連接AD,把曲沿AD

翻折，點8恰好落在AC延長線上的點9處，則。的長為.

41

【答案】j##lj

【解析】

【分析】

利用勾股定理求出AC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AB=AB'=5,BD=B'D,求出BC,設CZXr,在△BCD中，利

用勾股定理列出方程，解之即可.

【詳解】

解：：NACB=90°,BC=3,AB=5,

,,卜C=yjAB2—BC2=4，

由折疊可知：AB^AB'=5,BD=B'D,

：,B'C=AB'-AC=1,

設C￡）=x,則8。=8'。=3-尤，

在△夕CD中，CD1+B'C2=B'D2,

BPX2+12=（3-%）2,

4

解得：x=H，

4

即CD=_,

3

4

故答案為：—.

【點睛】

本題考查了翻折變換，勾股定理，利用折疊的性質(zhì)求出夕C的長是解題的關鍵.

2.長方形紙片ABCD中，AB=3,BC=4,點E是BC邊上一動點，連接AE,把沿AE折疊，使點2

落在點尸處，連接CF,當△a如為直角三角形時，跳的長為.

【答案】:3或3

【分析】當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點尸落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示.連接AC,先

利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得“石=ZB=90。，而當△CEF為直角三角形時，只能得到

ZEFC=90°,所以點A、F、C共線，即N3沿AE折疊，使點2落在對角線AC上的點尸處，則￡B=EF,

AB=AF=3,可計算出CF=2,設3E=x,則跖=8CE=4-x,然后在Rt^CEF中運用勾股定理可計

算出x.②當點P落在AD邊上時，如答圖2所示.此時為正方形.

【詳解】解：當△曲為直角三角形時，有兩種情況：

當點尸落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示.連接，

在Rt^ABC中，AB=3,BC=4,

?*-AC=^AB2+BC2=732+42=5，

???/B沿AE折疊，使點B落在點尸處,

ZAFE=ZB=90°,

當△<?￡?/為直角三角形時，只能得到/EFC=90。，

...點A、F、C共線，即-3沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點尸處,

EB=EF,AB=AF=3,

：.CF=5-3=2,

設BE=x,貝?。荨闒=x,CE=4-x,

在RtACEF中，

EF2+CF2=CE2,

X2+22=（4-X）2

3

解得：x；

②當點尸落在AO邊上時，如答圖2所示.

此時鉆EF為正方形，

BE=AB=3.

3

故答案為：；或3；

【點睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等.也考查了矩形的性

質(zhì)以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,把AABC沿直線QE折疊，使VADE與重合.

⑴若/4=34。，則NCBD的度數(shù)為

（2）當=m（帆>0）,AABC的面積為2相+4時，△BCD的周長為（用含機的代數(shù)式表示）;

(3)若AC=8,BC=6,求A￡)的長.

【答案】⑴22。；

(2)m+4

(3)T

【分析】(1)根據(jù)折疊可得NDBE=NA=34。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出/ABC=56。，進而得到

"32)=22。；

(2)根據(jù)AABC的面積可得：AC?BC=2%+4,進而得至ljAC.BC=4〃z+8,再在MzXaiB中，

C42+CB2=BA2,再把左邊配成完全平方可得C4+CB=m+4,進而得到△BCD的周長.

(3)根據(jù)折疊可得40=233,設AD=x,則BD=AD=8-x,再在HZXCD38中利用勾股定理可得

6+(8-x)2=f,再解方程可得x的值，進而得到的長；

【詳解】(1)解：由折疊的性質(zhì)可知：ZDBE=ZA=34°,

又NC=90°,

ZABC=180°-ZC-ZA=180°-90°-34°=56°,

ZCBD=ZABC-ZDBE=56°-34°=22°,

故答案為：22°；

(2)解：?..△ABC的面積為2相+4,

：.-AC.BC^2m+4,

2

AC.BC=4m+8,

:在放△山中，由勾股定理可得：C^+CB2=B^,

/.CA2+CB2+2AGBC=BA1+2AC-BC,

(C4+CB)2—ITT+2x(4m+8)=+8帆+16=(加+4)2,

CA+C3=m+4,

AD=DB,

CD+DB+BC—,

即的周長為機+4,

故答案為：m+4-

(3)解：把AABC沿直線QE折疊，使VADE與ABDE重合，

/.AD=DB,

設AD=x,貝iW=AD=8-x,

在WZXCDB中，CD2+BC2=BD2,

即62+(8-x)2=x2,

25

解得無=AO=f.

4

【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換、勾股定理，完全平方公式，關鍵是掌握勾股定理，以及折疊后

哪些是對應角和對應線段.

4.在445C中，點、D是BC上一點,將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交線段2C于點

圖1圖2

⑴如圖1,當ZBAC=90。，龐〃“'時.

①AE和BC有怎樣的位置關系，為什么？

②若8P=8,EF=4,求線段A3的長.

(2)如圖2,若NC=3NB,折疊后要使ADEF和△的(7,這兩個三角形其中一個是直角三角形而另一個是等

腰三角形.求此時-3的度數(shù).

【答案】⑴①AEL8C,見解析；②AB=10

(2)ZB的值為15。、18。、22.5。

【分析】(1)①由折疊可知，NB=ZE,由平行可知，NE=/E4C,根據(jù)三角形內(nèi)角和得到NC=NE/萬，

再由NB+NC=90。，利用等量代換可求/DEE=90。，即可求解；

②設BD=x，貝IJ。尸=8—x,在放ADEF中，DE?=DF?+EF?,解得:x=5,設鉆=。，由折疊可知，AE=a-4,

貝i]AF=a-4,在RUABF中，AB2=AF2+BF2，解得：。=10,即可求解；

(2)設NB=a,則/C=3&,當N￡>FE=90。時，ZB=15°；當NFDE=90。時，當AC=FC時，

2(90。—0+3c=180。，不符合題意，舍去；當詼=AC時，3a=90°-a,ZB=22.5°；當AF=PC時，

3(z+3a+90?！?z=180。，ZS=18°；當NE=90。時此時？890?,ZC=270°,不成立；當NC=90。時，

此時不成立；當NAFC=90。時，此時不成立；當NE4c=90。時，當。F=￡F時，此時不成立；當DF=DE

時，ZB=22.5°；當DE=EF時，此時不成立.

【詳解】(1)解：①AE_L8C,理由如下：

由折疊可知，NB=NE,

vDE||AC,

:.ZE=ZEAC,

ZDFE=ZAFC,

:./EDF=/C,

vZS4C=90°,

/.ZB+ZC=90°,

/.ZE+Z￡DF=90°,

:"DFE=9伊,

.-.AE±BC；

②設貝IjDb=8—x,

由折疊可知，DE=BD=x,

在Rt^DEF中,DE2=DF2+EF2，

x2—(8—x)2+42,解得：x=5,

:.BD=5,DF—3,

設AB=a,由折疊可知，AE=a,則AF=a-4,

在吊△AB尸中，AB2=AF2+BF2,

:.a2=(<z-4)2+82,解得：a=10,

即AB=10；

(2)解：vZC=3ZS,

.,.設ZB=e,則NC=3a,

由折疊可知，NE=/B=a,

當NDEE=90。時，ADEF是直角三角形則△AFC是等腰三角形，

:.ZC=45°,

..4=15。；

當/FDE=90。時，AD￡F是直角三角形，則△ACF是等腰三角形,

:.ZDEF=9Q°-a,

；.ZAFC=90°—a,

當AC=PC時，2（90。-a）+3。=180。，此時c=0。，不符合題意，舍去;

當AF=AC時，3a=90°-a,此時c=22.5。，所以NB=22.5。；

當AF=FC時，3cr+3a+90°-?=180°,此時a=18。，所以/B=18。；

當/E=90°時此時？390?,ZC=270°,不成立；

當NC=90。時，△ACF是直角三角形，此時AD斯不能是等腰三角形，否則AE與3C邊沒有交點；

當NAFC=90。時，AAC5是直角三角形，則ADEF是等腰三角形，所以4=45。，所以/3=45。；此時

NC=135。，與題意不符合，不成立；

當NE4c=90。時，△AC5是直角三角形，則zJ)￡F是等腰三角形，所以N”C=90。-3。，所以

ZDEF=90°-3a,

當￡)尸=防時，cr+a+90。-3a=180。，此時(z=-90。，不成立；

當DF=DE時，90。-3a=e,此時a=22.5。，所以4=22.5。；

當DE=EF時，90°-3?=1(180°-?),此時。=0。，不成立.

綜上所述，的值為15。、18。、22.5。.

【點睛】本題考查三角形的綜合應用，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

勾股定理，分類討論是解題的關鍵.

【考點五幾何圖形中的方程思想一公邊問題(利用公邊建立方程)】

例題：如圖，在△ABC中，AB=10,BC=9,AC=17,則8c邊上的高為.

【答案】8

【解析】

【分析】

作AD,8c交BC的延長于點。，在RMAD3中，AD2+DB2=AB2,在Rt^ADC中,"P+￡＞。2=AC?,根

據(jù)A4-DB?=AC2-OC2列出方程即可求解.

【詳解】

如圖，作交2C的延長于點。，

A

則AO即為BC邊上的高，

在RIAADB中,AD2+DB2=AB2,

在RtAADC中,AD?+DC2=ACi,

:.AB2-DB2=AC2-DC2,

AB=10,BC=9,AC=17,

:AQr-DB2=172-(03+9)2,

解得DB=6,

AD=NAB?-DB?=A/102-62=8

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.如圖，在等腰“LBC中，AB=CB,AD1BC,垂足為D,己知AD=3，CD=1.

(1)求AC與AB的長;

(2)點P是線段AB上的一動點，當AP為何值時，AM/為等腰三角形.

【答案】(1)AC=?AB=5

(2)當AP=2.5或3或3.6時，AADP為等腰三角形

【分析】(1)由勾股定理直接求得AC,設=由勾股定理列出x的方程，即可求得AB；

(2)分三種情況：AP=AD,AP^DP,AD=DP,分別進行解答即可.

【詳解】(1)解：由勾股定理得，AC=>JAD2+CD2=732+I2=Vio>

設AB=BC=x,則或>=x-l,

在及△ABD中，由勾股定理得，x2-(x-1)2=32,

解得x=5,

:.AB=5；

(2)解：當AP=AD=3時，△4)尸為等腰三角形，

當初=。尸時，如圖，

ZPAD+NB=90°,ZPDA+ZBDP=90°,

:.ZPDB=ZB,

：.PD=PB=PA,

:.AP=-AB=2.5,

2

當AD=OP=3時，如圖，過。作DE_L”于點E,

^：AE=PE=x,則BE=5-x,

AD2-AE2=DE2=BD2-BE2，

BP32-X2=42-(5-X)2,

解得x=1.8,

AP=3.6,

綜上，當AP=2.5或3或3.6時，AADP為等腰三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵.

【考點六實際問題中的方程思想】

例題：如圖，小強放風箏時，風箏線斷了，風箏掛在了樹上.他想知道風箏距地面的高度于是他先拉

住風箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風箏線多出2米，然后把風箏線沿直線/向后拉開6米，發(fā)現(xiàn)風箏線末端B剛

好接觸地面，請你幫小強求出風箏距離地面的高度0A.

【答案】風箏距離地面的高度。4為8米

【分析】設。4=x米，貝|48=(x+2)米，依據(jù)勾股定理即可得到方程V+62=(X+2)2,進而得出風箏距離

地面的高度。!.

【詳解】解：設。4=x米，貝(x+2)米，

由圖可得，ZAOB=90°,OB=6,

在RSOAB中，OA2+OB2=AB2,

BPX2+62=(X+2)2,

解得x=8.

答：風箏距離地面的高度OA為8米.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解

決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.

【變式訓練】

1.如圖1、2(圖2為圖1的平面示意圖)，推開雙門，雙門間隙CZ)的距離為2寸，點C和點。距離門檻

都為1尺(1尺=10寸)，則的長是()

圖1圖2

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

【答案】C

【解析】

【分析】

取A3的中點。，過D作DELA2于E,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：取的中點。，過。作OELA8于E,如圖2所示：

由題意得：OA=OB=AD=BC,

設OA=OB=AO=BC=r寸，

則AB=2r（寸），。E=10寸，OE=：CZ）=1寸，

.,.AE=（r-1）寸，

在放△AOE中，

AE2+DE1=AD-,即（廠-1）2+102=3,

解得：r=50.5,

.\2r=101（寸）,

：.AB=101寸，

故選：C.

2寸

AEOB

圖2

【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關鍵.

2.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴

岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？"(注：丈、尺是長度單位，1丈=10尺，1尺=：米)，這段話翻譯

成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則水池里水的深度

與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少米？請你用所學知識解答這個問題.

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】?解:設水池里水的深度是x尺，則蘆葦長為(x+1)尺，

由題意得，X2+52=(x+1)2,

解得：x=12,

%+1=13,

1113

.?.12x—=4米，13x—一米，

333

13

答：水池里水的深度是4米，蘆葦長為q米

【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練地掌握勾股定理是解題的關鍵.

3.如圖，一根直立的旗桿高8相，因刮大風旗桿從點。處折斷，頂部5著地且離旗桿底部A的距離為4孔

(2)工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1根的點。處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復后，若下次

大風將旗桿從點。處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風險？

【答案】(1)旗桿距地面3機處折斷

(2)距離旗桿底部周圍40機的范圍內(nèi)有被砸傷的風險

【分析】(1)設AC長為xm,貝i]8C長(8-無)m,再利用勾股定理建立方程即可;

(2)先畫好圖形，再求解AD,B'D,再利用勾股定理可得答案.

【詳解】(1)解：由題意，知AC+3C=8m.

因為NA=90。，

設AC長為xm,則3c長(8-x)m,

貝(I42+%2=(8-X)2,

解得x=3.

故旗桿距地面3相處折斷；

(2)如圖.

因為點。距地面AD=3-1=2(m),

所以8'￡>=8-2=6(m),

所以A5'=^/B'D2-AD2=762-22=4&(m)，

所以距離旗桿底部周圍40%的范圍內(nèi)有被砸傷的風險.

【點睛】本題考查的是勾股定理的實際應用，熟練的從實際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關鍵.

4.在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由于某種原由C

到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H(A、H、B在一條直線上)，并

新修一條路CH,測得C3=L5千米，CH=L2千米，"8=0.9千米.

(1)問CH是否為從村莊c到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

(2)求原來的路線AC的長.

【答案】(DC8是從村莊C到河邊的最近路；理由見解析；

(2)原來的路線AC的長為1.25千米.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理證明△a汨是直角三角形即可；

(2)設AC=x千米，在放△ACH中，由已知得AC=x,AH=x-0.9,CH=1.2,再根據(jù)勾股定理解答即可.

(1)

解：是，理由是：在ACHB中，

：次+郎=1.22+0.92=2.25,叱=2.25,

CfP+BfP^BC2,

是直角三角形，

C”是從村莊C到河邊的最近路；

(2)

設AC=x千米，

在中，由己知得AC=尤，AH=x-0.9,CH=1.2,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2

；.尤2=(x-0.9)2+1.22,

解這個方程，得x=1.25,

答：原來的路線AC的長為1.25千米.

【點睛】

本題考查勾股定理的應用，關鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答.

5.如圖，地面上放著一個小凳子，點A距離墻面40cm,在圖①中，一根細長的木桿一端與墻角重合，木

桿靠在點A處，OA=50cm.在圖②中，木桿的一端與點B重合，另一端靠在墻上點C處.

(1)求小凳子的高度；

(2)若OC=90cm,木桿的長度比AB長60cm,求木桿的長度和小凳子坐板的寬A3.

【答案】(1)30cm；(2)木桿長IOOCMI,AB=40cm.

【分析】(1)如圖①，過A作AM垂直于墻面，垂足于點由A"=40cm,利用勾股定理

在RtAAOM中，OM=y/AO2-AM2=30(cm)即可；

⑵如圖②，延長54交墻面于點N,可得ZBNC=90。，利用勾股定理在Rt^BCN中，BN2+CN2=BC2^3

造方程(40+x)2+602=(60+%)2求解即可.

【詳解】解：(1)如圖①，過A作AM垂直于墻面，垂足于點

根據(jù)題意可得：AM-40cm,

在RtAAOM中，

OM=AO1-AM2=V502-402=30(cm)，

即凳子的高度為30cm；

(2)如圖②，延長84交墻面于點N,可得ZBNC=90。，

^AB=xcm,貝|C3=x+60,BN=x+40,CN=90-30=60,

在RtABOV中，BN1+CN2=BC2,

(40+x)2+602=(60+x)2,

x=40,

5C=60+40=100(cm).

圖①圖②

【點睛】本題考查勾股定理的應用，掌握勾股定理應用的條件與結(jié)論，關鍵是構(gòu)造出符合條件的圖形是解

題關鍵.

【考點七勾股定理逆定理的拓展問題】

例題：定義：如圖，點M,N(點M在N的左側(cè))把線段A8分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB

為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段的購股分割.

AMNB

(1)已知M、N把線段AB分割成AM,MN,BN,若A〃=1.5,MN=2.5,BN=2.0,則點M、N是線段AB

的勾股分割點嗎？請說明理由；

(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=30,AM=5,求BN的長.

【答案】⑴是，理由見解析