人教版八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略：勾股定理壓軸（三大模型）（解析版）

專題03勾股定理壓軸（三大模型）

（模型解密

“勾股樹”

勾股定理：a1+b2=c2.

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足

222222

a+b=c或a+c=b或/+°2=〃,那么這個三

角形是直角三角形

在直角三角形外，分別以三邊作同樣圖形，可得下面結(jié)論

「Si典例精講

【典例1】勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定

理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙

爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"（如圖1）,后人稱之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

圖1圖2圖3圖4

圖5圖6圖7

⑴①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊

三角形，面積分別為S-邑，S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足

S]+S?=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部

分）的面積分別為S-邑，直角三角形面積為色，也滿足E+SZ=S3嗎？若滿足，請證

明；若不滿足，請求出斗，邑，S3的數(shù)量關(guān)系.

⑵如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作

正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹"的某

部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值加，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為

a,b,c,d,則/+/+。2+解=.

【答案】⑴①3；②滿足，證明見解析

⑵m2

【分析】（1）設(shè)兩直角邊分別為x,y,斜邊為z,用X,y,Z分別表示正方形、圓、等

邊三角形的面積，根據(jù)V+y2=z2,求解與邑，S3之間的關(guān)系，進而可得結(jié)果；②根據(jù)

片+〃=/,ab"[jab，$3=胃，可得Sr=邑；

d.+3°=----------1------------1-----------------=—2

22222

22222

(2)由題意知，SA=a,SB=bfSc=cfSD=d,(SA+Sfi)+(SC+5D)=5M=m,

代入求解即可.

【詳解】（1）①解：設(shè)兩直角邊分別為龍，y,斜邊為z,

222

則圖2中，S1=x,S2=yfS3=zf

團M+,2=z2,

回51+邑=83，故圖2符合題意;

圖3中，,乃(￡|_介

D.----------------3c=---------------do-----------------

28228328

冏"%2式寸TT^X2+y2)^z2

8888

團凡+邑二國，故圖3符合題意；

圖4中，Sj=1x-x-sin60°=^^,S?=gy?廣sin60°=當(dāng)二，

1,M

，v=-z?z?sinA60no=-------,

324

同岳2?6y26(/+了)&

4444

SSl+S2=S3,故圖4符合題意;

團這3個圖形中面積關(guān)系滿足g+$2=53的有3個,

故答案為：3；

②解：滿足，證明如下:

ab

由題意知/+廿二/,~2

S1+S2=

0S1+52=S3；

2222

(2)解：由題意知，SA=afSB=b,Sc=cfSD=d,

(SA+SB)+(SC+SO)=SM=M,

0a2+Z72+c2+d2=m2,

故答案為："z2.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹.解題的關(guān)鍵在于正確的表示各部分的面積.

【變式1-1］如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A、B、a。的邊長是3、5、2、3,則最大正方形的面積是

()

A.13B.47C.V13D.歷

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，而正方形的面積等于邊長

的平方，故可得到以斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的面積之和.

【詳解】由勾股定理得：正方形B的面積=正方形A的面積+正方形8的面積

=32+52=34,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13,

回正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47.

故選B.

【點睛】此題考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個

以直角邊為邊長的正方形面積之和是解決此題的關(guān)鍵.

【變式1-2］如圖是按照一定規(guī)律"生長"的"勾股樹J

圖(4)

圖⑶

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個正方

形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個正方形，......，照此規(guī)律"生長"下去，圖（6）

應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

【答案】C

【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖

（2）多出8個正方形，圖（4）比圖（3）多出16個正方形，......，以此類推可得圖形的變

換規(guī)律.

【詳解】解：由題可得,

圖（2）比圖（1）多出4個正方形，2x2=2?=4

圖（3）比圖（2）多出8個正方形，4x2=23=8;

圖（4）比圖（3）多出16個正方形,8X2=24=16;

圖(5)比圖（4）多出32個正方形,16x2=25=32;

照此規(guī)律，圖（"）比圖（巾1）多出正方形的個數(shù)為：2"

故圖（6）比圖（5）多出正方形的個數(shù)為：26=64；

故答案為：C.

【點睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學(xué)生的觀察能力和空間想象能力.首先

應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)

律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

【變式1-3】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定

理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五"的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙

爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"（如圖1）,后人稱之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

ffll

圖7

⑴勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請你從圖1,圖2,圖3中任選一個

圖形來證明該定理；

（2）①如圖4,圖5,圖6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半

圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足E+Sz=S3的有一個；

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部

分）的面積分別為H.S?,直角三角形面積為S3,請判斷工,邑，邑的關(guān)系并證明.

【答案】①見解析

（2）①3；@Sl+S2=S3.見解析

【分析】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計算的知識；

（1）根據(jù)面積法即可證明勾股定理；

（2）①設(shè)面積為岳的正方形邊長為面積為邑的正方形邊長為6,面積為S3的正方形

邊長為c；根據(jù)題意得：a2+b2=c2,再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，

即可完成求解；

②結(jié)合題意，首先分別以。為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、非陰影部分去除

三角形后的面積，再根據(jù)陰影部分面積（5+Sz）=以。為直徑的半圓面積+以b為直徑

的半圓面積-非陰影部分去除三角形后的面積，結(jié)合勾股定理，即可得到答案.

【詳解】（1）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間

小正形面積的和.

即c2=-abx4+(b-a')2，

2

化簡得：a2+b2=c2.

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

大正方形面積為：(4+6)2

小正方形面積為：c2

四個直角三角形面積之和為：4x；必

團大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積之和

21

El(a+Z?)=c2+4x—tzZ?

回/+〃=，，滿足直角三角形勾股定理；

在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.

?111,

即5(a+6)(a+b)=—abx2+—c2,

化簡得：a2+b2=c2.

(2)①三個圖形中面積關(guān)系滿足耳+$2=邑的有3個；

設(shè)面積為航的正方形邊長為。，面積為邑的正方形邊長為6,面積為扁的正方形邊長為

c.

根據(jù)題意得：cr+b2=c2

S\S1+S2=S3.

如圖5：

S,=L兀b1,S[=!萬。2

838

+匕2）='7。2

團W+S2=S3；

a2,3Q,—_—b72,DQo_——c2

2434

回3/+3〃=@（/+后）=3,2

444174

團S[+邑=s；

國三個圖形中面積關(guān)系滿足S|+邑=$3的有3個

故答案為：3；

②E+S2=S3；

以。為直徑的半圓面積為：-X^W=-7ra2

2UJ8

以b為直徑的半圓面積為：=-7rb2

2⑵8

2

非陰影部分去除三角形后的面積為：l^f-T-S3=-^c-S3

2⑵383

回陰影部分面積（豆+邑）=以。為直徑的半圓面積+以6為直徑的半圓面積-非陰影部分去

除三角形后的面積

222

0S1+S2-S3=1^(a+&-c)

結(jié)合（1）的結(jié)論：a2+b2=c2

ffl1^-(a2+Z?2-c2)=0

回S1+S2/.

模型解密

趙爽弦圖

「Si典例精講

【典例2】我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的"勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中

間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）.

A

A

⑴利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表

z5：;

⑵用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=3C=a,DE=AC=b,

AD=AB=c,ZAED=ZACB=90°,求證（1）中的定理結(jié)論；

⑶如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m,HG=n,求正方形8。朋的

面積.（用機，〃表示）

【答案】

（2）見解析

22

⑶"+小

【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；

（2）由四邊形A3CD的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；

（3）分別求出a,b,由勾股定理可求解.

【詳解】（1）解：回大正方形的面積=。2,大正方形的面積=4x：xax8+9一。）:

12

0C2=4x—X6txZ7+,

回。2=+62,

故答案為：。2=4+廿；

（2）證明：如圖：連接BD,

圖3

團RtAABC2RtAZME,

^\ZADE=ZBAC,

團ZDAE+ZADE=90°=ZDAE+ZBAC,

0ZZMB=9O°,

團S四邊形ABC。+]〃(萬一Q),S四邊形AB。。=2X6Z),

0,c2+—tz(Z?-a)—2x—cib+—b^b-Q),

團C?=々2+〃2；

(3)解：由題意可得：CE=CD+DE,GH=AG-AH,

^\m=a+b,n=b-a,

0BD2=BC2+CD1=a2^b1,

=2

22

團正方形也）E4的面積為叱上工.

2

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些

性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］如圖，是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖"，由四個全等的直角三角形拼成

大的正方形ABCD和中間小的正方形若直角△ABF的面積是7.5cm,且

3EF=2AE,則小正方形EFGH的面積是（）

5.5cm2C.4.5cm2D.4cm2

【答案】D

【分析】設(shè)EP=2x,AE=3x,則AF=AE+/=5x,由四個直角三角形全等可知

BF=AE=3x,故根據(jù)三角形面積公式可得1x3尤x5x=7.5,整理得f=l,然后利用

2

S正方形EFGH=E尸=（2x）2計算小正方形EFGH的面積即可?

【詳解】解：由題意，可設(shè)EF=2x,AE=3x,則AF=AE+EF=5x,

回四個直角三角形全等，

0BF-AE=3x,

團5AAs/=BF-AF=x3xx5x=7.5,

即7.5爐=7.5,整理得＞=1,

回S正方形EFGH=EF~=(2x)2_=4.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)以及三角形面積公式，理解并掌握三角形全等

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了"勾股圓方圖”，

亦稱"趙爽弦圖"（如圖1）.某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖"構(gòu)造出圖2：AABC為等邊三角

形，AD.BE、CP圍成的ADE尸也是等邊三角形.已知點。、E、歹分別是8E、CF、

AD的中點，若44BC的面積為14,則ADEF的面積是（）

D.4

【答案】B

=

【分析】連接班由題意知S,4BD=^AAFCSABEC，再由點。、E、尸分別是BE、CF、

ADII勺中點，可得SABDF="力即,S&BDF=SAABF，即可得出S^ABC=7S&DEF即可求解.

【詳解】解：連接防，如圖所示:

,點。、E、尸分別是班、CF、AD的中點,

q一q

一^ABDF一°ADEF，°ABDF一'

AABC為等邊三角形，也是等邊三角形,

AB=BC=AC,DE=EF=DF,ZABC=ZACB=NBAC=60。,/FED=NFDE=NEFD=60。

??.ZABD+/CBD=6。。,

???NFDE是的一個外角，

:./BAD+ZABD=60。,

?「NEED是Z\BCE的一個外角,

:./CBE+/BCE=6U0,

/./BAD=/CBE,ZABD=/BCE,

在△ABD和△ACE中，

ABAD=ZCBE

<AB=BC,

ZABD=ZBCE

AACE（ASA）,

同理，可得人鉆。之△C4F（ASA）,

…°AABD-°AAFC—。ABEC，

?q-q-q-?v

…°AABD-°AAFC—。ABEC~乙&DEF，

-S?ABC=S&ABD+SWE+,^AAFC+^EDF=J>EF>

S&ABC=14，

'f-7S?DEF=SjBc=14,解得DEF=2,

故選：B.

【點睛】本題考查求三角形面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，中點性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線，得出rABC=7SMEF是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］如圖是由“趙爽弦圖"變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖

中正方形A3CD、正方形EFGH、正方形"NPQ的面積分別為S-邑，S3.若

5+$2+邑=6。,則S2的值是（）

C.18D.20

【答案】D

【分析】已知八個全等的直角三角形，則設(shè)出三邊，根據(jù)勾股定理可知三邊的關(guān)系，然后

用三邊分別將三個正方形的面積表示出來，直接求和即可.

【詳解】設(shè)RtAEH。中，EH=c,EQ=b,QH=a,

^cr+b2=c2,

22221

El5]==a+2ab+b,S2=c,S3=(a—b^=a—T,ab+b,

222

SSl+S2+Si=2(/+fo)+c=3c=60,

2

0S2=c=20.

故選：D

【點睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是找到三個正方形邊長之間的關(guān)系，直接列方程求

解.

【變式2-4］如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形.中間是個小正方形.這個

圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為"趙爽弦圖"，現(xiàn)分

別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分）.若圖1中的四個直角

三角形的較長直角邊為9,較短直角邊為5,則圖2中的"風(fēng)車”圖案的周長為（）

A.]6+4A/41B.16+4A/31C.20+4A/41D.20+4庖

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理中的弦圖模型，由圖可知中間小正方形的邊長為4,再利用

勾股定理求出邊長即可求解；

【詳解】解：如圖,

0BZ>=9-5=4

在RtAABZ）中，？ABD90?,

AD=4AB2+BD2=742+52=屈

回圖2中的"風(fēng)車”圖案的周長為：4AB+4AD=20+4y/41

故選：C

【變式2-5］如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已

知大正方形的面積為49,小正方形的面積為4.若用無，y表示直角三角形的兩直角邊（x

>y),則下列四個說法：①V+y2=49,②尤-y=2,③2孫+4=49,④x+y=9,其

中正確的是（）

A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】利用大正方形面積和勾股定理可判斷①，利用小正方形面積可求出小正方形邊

長，再利用線段和差可判斷②，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面

積之和可判斷③，利用①③可判斷④.

【詳解】解：如圖，

團ULBC是直角三角形，

團根據(jù)勾股定理得/+必=482=49,故①正確；

由圖可知X—y=CE1==2,故②正確；

由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得

4x1xy+4=49,即2個+4=49,故③正確；

由2召+4=49可得2xy=45.

回爐+>2=49,

回尤2+2盯+/=49+45,整理得（x+y『=94,

回x+y=>/94手9,故④錯誤.

正確的是①②③.

故選：C.

【點睛】本題考查了以弦圖為背景的計算題，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小正方形

面積得出大正方形和小正方形的邊長.

【變式2-6】三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽（字君卿，約公元3世紀）在《勾股圓方圖注》一

書中用割補的方法構(gòu)造了"弦圖"（如圖1,并給出了勾股定理的證明.已知，圖2中涂色

部分是直角邊長為。力，斜邊長為c的4個直角三角形，請根據(jù)圖2利用割補的方法驗證勾

股定理.

b

圖1圖2

【答案】見解析

【分析】根據(jù)總面積=以c為邊的正方形的面積+2個直角邊長為。,6的三角形的面積=以b

為上底、（a+b）為下底、高為b的梯形的面積+以a為上底、（a+b）為下底、高為a的梯形的

面積，據(jù)此列式求解.

【詳角軍】證明：總面積S=/+2xga6=g（a+6+6）.6+g（a+a+6）.a

:.c2=a2+b2

【點睛】此題考查的是勾股定理的證明，用兩種方法表示同一圖形的面積是解題關(guān)鍵.

【變式2-7】閱讀下列材料并完成任務(wù)：

中國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽最早對勾股定理作出理論證明.他創(chuàng)制了一幅"勾股圓

方圖"（如圖I）,用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中，

以弦為邊長得到的正方形A3CD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組

1,

成的.每個直角三角形的面積為5仍；中間的小正方形邊長為面積為伍-。）.于是便

得到式子：6+從=02.趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、

割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證

數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范.如圖2,是"趙

爽弦圖"，其中AAB”、ABCG、ACD尸和AZME是四個全等的直角三角形，四邊形A3CD

和EFG”都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理.設(shè)4）=c,

DE=a，AE=b,取c=10,b—a=2.

任務(wù)：

(1)填空：正方形EPG打的面積為,四個直角三角形的面積和為；

(2)求(a+6)2的直

【答案】(1)4,96；(2)196.

【分析】(1)根據(jù)題意得圖中的四個直角三角形都全等，可得正方形跳的邊長為2,

即可得正方形的面積；再利用正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積即可得四個

直角三角形的面積和；

(2)易求得ab的值，和a2+b2的值，根據(jù)完全平方公式即可求得(a+b)2的值，即可解

題.

【詳解】⑴根據(jù)題意得，圖中的四個直角三角形都全等，

回AB=c=10,AE-AH=b-a=2,

團正方形EFG"的面積為22=4,正方形ABCD的面積為102=100,

回四個直角三角形的面積和=正方形ABCD的面積-正方形EFGH的面積=100-4=96；

⑵由⑴可知四個直角三角形的面積和為96,

:.4x-^ab=96,即2ab=96.

Qa2+b2=c2=100,

:\a+b)2=a2+b2+2ab=100+96^196.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，考查了直角三角形中勾股定理的運用，求得ab

的值是解題的關(guān)鍵.

模型解密

螞蟻爬行(最短路徑問題)

基礎(chǔ)模型1

已知:在一個長、寬、高分別為°、6、c的長方體中，一只螞蟻沿著長方體的表面爬行，求螞蟻

從點尸到點Q的最短路徑

P

第一種情況

Q

a____

PabPc

展開圖展開圖

PQ=V(a+Z))2+c2PQ=J(a+c)2+62

PQ=\Za^+(b+c)2

=J。2+(?+2ab=\/a2+1)2+c2+2ac

-Ja+b2+c2+2bc

結(jié)論1：長方體中，螞蟻爬行的最短路徑為PQ=』長邊2+（較長邊+最短邊）2.

正方體中，若棱長為。，螞蟻爬行的最短路徑為PQ=J/+（a+a）2=島

基礎(chǔ)模型2

已知:在底面半徑為八,高為h圓柱中，求螞蟻從點P沿圓柱

表面螺旋爬行到點Q的最短路徑

同側(cè)全周長異側(cè)半周長

Q

二’

側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖

結(jié)論2：最短路徑為PQ=J（2w）2+h2結(jié)論3：最短路徑為尸。=J（萬廠下+/

簡記口訣：“展平面、連兩點、勾股算”

模型3

已知:一個底面半徑為廣，高為耳的圓柱形木桶，外壁點P處有一只小媽蟻，內(nèi)壁。處有

一滴蜂蜜，求小螞蟻沿外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點Q的最短路徑

典例精講

【典例3］如圖是一個長方體包裝盒，高為5cm,底面是正方形，邊長為6cm,現(xiàn)需用繩

子裝飾，繩子從A出發(fā)，沿長方體表面繞到C處，則繩子的最短長度是（）

【答案】D

【分析】此題考查了平面展開一一最短路徑問題，把長方體右邊的表面展開，連接AC,

則AC就是繩子的最短時經(jīng)過的路徑，然后根據(jù)勾股定理求解，利用兩點之間線段最短的

性質(zhì)，將長方體右邊的表面展開是解題的關(guān)鍵.

將長方體右邊的表面翻折90°（展開），連接AC,顯然兩點之間線段最短，AC為點A到

點C的最短距離，由勾股定理知：

AC=蘆+（6+6丫=B,

團AC=13cm，即繩子最短為13cm，

故選：D.

【變式3-1］如圖，長方體的長為4cm,寬為4cm,高為3cm,BC=2cm,一只螞蟻要沿

著長方體的表面從點A爬到點C,則需要爬行的最短路程為（）

A.739cmB.3小mC.D.6cm

【答案】C

【分析】本題考查平面展開一最短路線問題，勾股定理，無理數(shù)的大小比較.要求長方體

中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短

解答即可.

【詳解】解：按照正面和右面展開，如下，

DBC

AE

團C￡)=4+2=6(cm),AD=3cm,

回AB=^AlJr+CD1=A/32+62=475(cm)；

按照上面和左面展開，如下，

MCp

\

\\

P-------------------O

SAB=AO+OB-4+3=7BC-2cm,

EAC=^AB2+BC2=V72+22=A/51(cm)；

按照正面和上面展開，如圖3,

ED

,C

//

?/

Gn-—B

回AF=4cm,FC=FB+BC=3+2=5(cm),

回AC=y]AF2+FC2=A/42+52=歷(cm)

04A/5>A/51>A/4T,

團需要爬行的最短距離是而:m,

故選：C.

【變式3-2］如圖，長方形的長班=20cm,寬AB=10cm,高AD=24cm,點M在CH

上，且C0=8cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點加,需要爬行的最短

距離是（）

GH

A.2。281cmB.30cmC.2^185cmD.34cm

【答案】B

【分析】首先將長方體沿S、HE,防剪開，向右翻折，使面A3co和面3E//C在同一

個平面內(nèi)，連接AM；或?qū)㈤L方體沿S、CD、CH剪開，向上翻折，使面ABCD和面

ZXHC在同一個平面內(nèi)，連接A",或?qū)㈤L方體沿AB、AF.E尸剪開，向下翻折，使面

C3EH和下面在同一個平面內(nèi)，連接然后分別在Rt^ADAf與RGABM與

Rt^ACM,利用勾股定理求得AAf的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程.

【詳解】解：①將長方體沿CH、HE、BE剪開,向右翻折，使面A3CD和面3EHC在同

一個平面內(nèi)，連接AM,如圖1,

由題意可得：ME=MC+CD=8+10=18（cm）,AD=24cm,

在中，根據(jù)勾股定理得：AM=30cm；

②將長方體沿CH、CD、CH剪開，向上翻折，使面ABCD和面OCHC在同一個平面

內(nèi)，連接AM,如圖2,

由題意得：BM^BC+MC=24+8=32（cm）,AB=10cm,

在RtAABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=2V281cm,

③將長方體沿A3、AF.E尸剪開，向下翻折，使面C3EH和下面在同一個平面內(nèi)，連接

AM,如圖3,

由題意得：AC=AB+CB=10+24=34（cm）,MC=8cm,

在RtAACM中，根據(jù)勾股定理得：AM=2^/^cm,

030<2>/281<27305,則需要爬行的最短距離是30cm.

故選：B.

【點睛】此題考查了最短路徑問題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平

面圖形，利用勾股定理的知識求解.

【變式3-3］如圖，正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個頂點，3是側(cè)面正方形對角

線的交點.一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點A爬到點8的最短路徑是（）

A.4&B.2如C.2710D.272+4

【答案】C

【分析】如圖所示，過點8作3c，防于點C,在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，如圖所示，過點8作收于點C,正方體的棱長

AE=EF=4cm,

團立體幾何是正方體，每個面都是正方形，對角線的交點B為對角線的中點，根據(jù)正方形的

性質(zhì)可得ABEF為等腰直角三角形，且3C，EF,

回是斷的垂直平分線，BC=EC=FC=-EF=-x4=2,

22

團在Rt^ABC中，BC=2cm,AC=2+4=6cm,

國AB=VAC2+BC2=762+22=2?cm），

團從點A爬到點8的最短路徑是2VHJ（cm）,

故選：C.

【點睛】本題主要考查立體幾何圖形的展開圖與勾股定理的運用，理解立體幾何圖形的展

開圖，掌握最短路徑的計算方法，勾股定理等知識解題的關(guān)鍵.

【典例4］現(xiàn)有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長為10cm,高為

12cm,在杯子內(nèi)壁離容器底部3.5cm的點B處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正

好在杯子外壁，離容器上沿3.5cm的點A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（）

A'

B

Jy

A.13cmB.10cmC.26cmD.17cm

【答案】A

【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于

EG的對稱點4,根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求.

【詳解】解：如圖：是側(cè)面展開圖的一半，

?.?高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3.5cm的點2處有一滴蜂蜜，

此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3.5cm與一滴蜂蜜相對的點A處，

A'Z）=5cm,BD=12-3.5+3.5=12cm,

將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A,

連接AB，則A3即為最短距離,

A3=>JAD2+BD2=A/52+122=13cm.

【變式4-1】葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其莖蔓常繞著附近

的樹干沿最短路線盤旋而上.如圖，如果把樹干看成圓柱體，它的底面周長是2.4m,當(dāng)一

段葛藤繞樹干盤旋1圈升高為1m時，這段葛藤的長為m.

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)題意畫出圖形，利用圓柱側(cè)面展開圖，結(jié)

合勾股定理求出即可.

AB=^AC2+BC2=V2.42+l2=2.6（m）,

回這段葛藤的長=2.6m.

故答案為：2.6.

【變式4-2］如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點

C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞

蟻到達蜂蜜的最短距離為cm.（結(jié)果保留根號）

螞蟻//\

\

，一一二'。蜂蜜

?X

【答案】5M

【分析】本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，過C作CQJ■所于。，作

A關(guān)于E"的對稱點4,連接A'C交于尸，連接AP,則AP+PC就是螞蟻到達蜂蜜的

最短距離，求出AQ,C。，根據(jù)勾股定理求出AC即可，解題的關(guān)鍵是找出最短路線.

【詳解】解：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形瓦G8,

過C作CQ，所于。，作有關(guān)于的對稱點A,連接AC交E”于P,連接AP,

則AP+PC就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，

-.-AE=AE,AP=AP,

:.AP+PC=A'P+PC=A'C,

CQ=；xl8cm=9cm,A，Q=12+4-3=13cm,

在RtAA'0C中，由勾股定理得：=萬=5而cm,

故答案為：5M.

【典例5】如圖，這是一個臺階的示意圖，每一層臺階的高是20cm、長是60cm、寬是

40cm,一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)爬到點8,其爬行的最短線路的長度是（）

.B

A.100cmB.150cmC.60\/5cmD.905/2cm

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是把平面展開，在根據(jù)勾股定理，即可.

【詳解】平面展開，如下：

團在中,AB=y/ACf+BO2=7602+1202=60^(cm)>

回螞蟻沿臺階從點A出發(fā)爬到點8,其爬行的最短線路的長度為：60君(cm).

故選：C.

【變式5-1］如圖，一個三級臺階，它的每一級長、寬和高分別為5dm、3dm、1dm,臺

階左下角A處有一只螞蟻要爬到右上角B處搬運食物，則它爬行的最短路程為.

【答案】13dm

【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題.先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點

之間線段最短進行解答.

【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為5dm,寬為(l+3)x3=12dm,

則螞蟻沿A爬行到2點最短路程是此長方形的對角線長.

由勾股定理得：AB=752+122=13（dm）,

故答案為：13dm

【變式5-2］如圖，在一個長方形草坪A3CD上，放著一根長方體的木塊，已知AD=6

米，至=4米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從

點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程是米.

【分析】本題主要考查兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解

答此題的關(guān)鍵是將木塊展開，得出展開后長方形的長.

【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，如圖所示：

-1"

--

A"N''E

展開后長方形的長相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬,

團長為4+2x2=8（米），寬為6米，

團最短路徑為：V82+62=10（米），

故答案為：10.

城專題訓(xùn)練

1.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的"趙爽弦圖"是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖

所示的弦圖中，其中四邊形A3CD和四邊形所都是正方形，AABF、ABCG、

△CD"、A/ME是四個直角三角形，當(dāng)EF=7,DE=12時，則正方形ABCD的邊長是

C.48D.52

【答案】A

【分析】在RtIBF中，利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：依題意可得，BG=AF=DE=n,EF=FG=1,

0BF=BG—FG=l2-7=5,

在Rt^AB尸中，由勾股定理得，AB=VAF2+BF2=A/122+52=13，

團正方形ABCD的邊長是13,

故選：A

【點睛】此題考查了勾股弦圖，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.如圖中左圖是我國古代著名的''趙爽弦圖〃的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成

的，若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到

如圖2中右圖所示的〃數(shù)學(xué)風(fēng)車〃，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）

A.74B.76C.78D.80

【答案】B

【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車外圍的周長.

【詳解】如圖，根據(jù)題意，AD=AC=6,CD=6x2=12,BC=5,

0ZBCD=90°,

^BC2+CD2=BD-,即52+122=B￡>2,

SBD=13,

EA￡)+BD=6+13=19,

回這個風(fēng)車的外圍周長是19x4=76,

故選B.

【點睛】本題考查勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

3.如圖，正方體ABC。-A4GA的棱長為2,E是CG的中點.已知一只螞蟻沿正方體的

表面從點A出發(fā)，到達點E,則它運動的最短路程為（）

A.V10B.4C.717D.5

【答案】C

【解析】略

4.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股

四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積

關(guān)系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，

ZBAC=90°,AB=6,BC=10,點。，E,F,G,H,/都在長方形網(wǎng)M/的邊上，則長方

形KLM7的面積為()

【答案】B

【分析】延長A8交KL于P,延長AC交于。，可得AABC、APEB、AQCG全等，根據(jù)全

等三角形對應(yīng)邊相等可得出=AGCQ=AB,然后求出3和。。的長，再根據(jù)長方形的

面積公式列式計算即可得解.

【詳解】解：如圖，延長交KL于尸，延長AC交于。，

由題意得，ZBAC=ZBPF=ZFBC=90°,BC=BF,

0ZABC+ZACB=90°=ZPBF+/ABC,

^\ZACB=ZPBF,

[aAPFB(AAS),

同理可證AWC名△QCG(AAS),

回PB—AC=8,CQ=AB=6,

回圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，

07P=8+6+8=22,00=6+8+6=20,

團長方形KLMJ的面積=22x20=440.

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，作輔助線構(gòu)造出全等三

角形并得到長方形的鄰邊的長是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點

5.如圖，有一個圓柱，它的高等于7cm,底面上圓的周長等于48cm,在圓柱下底面的點

A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點8處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的

最短路程是.

Z,---、、

【答案】25c機/25厘米

【分析】本題主要考查利用勾股定理求最短路徑，如圖把圓柱體展開，連接然后可

知AC=24cm,BC=7cm,進而可由兩點之間，線段最短可知A3即為所求，熟練掌握利

用勾股定理求最短路徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示：

團圓柱的高等于7cm,底面上圓的周長等于48cm,

0AC=24cm,BC=7cm，

回AB=VAC2+BC2=V242+72=25(cm),

回螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是25cm,

故答案為：25cm.

6.如圖所示的長方體中，CD=CE=4cm,AD=6cm,一只螞蟻從點A處，沿長方體表面

爬行到點E處吃食，螞蟻需要爬行的最短路程為cm.

【答案】10

【分析】本題考查了平面展開圖，利用勾股定理求最短路徑問題，要求長方體中兩點之間

的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答，解答

時要進行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】①展開正面和右面，如圖，連接AE,

團AE=j8?+62=10(cm)，

②展開正面和上面，

如圖，連接AE,

-------/

EA￡=^42+(4+6)2=VT16(cin),

③展開左面和上面，

Ef------

\

------

回AE=,4。+(4+6)2=^^(cm),

回爬行的最短距離為10cm,

故答案為：10.

7.有一個圓柱體禮盒，高24cm,底面周長為16cm.現(xiàn)準備在禮盒表面粘貼彩帶作為裝

飾，若彩帶一端粘在A處，另一端繞禮盒側(cè)面2周后粘貼在C處(8為AC的中點)，則彩

帶最短為cm.

【答案】40

【分析】本題考查了勾股定理和平面展開-最短路線問題，將圓柱側(cè)面展開后，可得繞禮盒

側(cè)面2周后彩帶最短為2AB,根據(jù)圖形找到最短的線段是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：圓柱側(cè)面展開后圖形是：

團繞禮盒側(cè)面2周后彩帶最短為20x2=40（cm）,

故答案為：40.

8.如圖是“畢達哥拉斯樹"的"生長"過程：如圖1,一個邊長為。的正方形，經(jīng)過第一次“生

長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8,且三個正方形所圍成的三角形是

直角三角形，則。的值為；再經(jīng)過一次“生長"后變成了圖2