人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十三章 軸對稱（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十三章軸對稱（知識歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.會判斷軸對稱圖形，能畫出軸對稱圖形.

2.理解并掌握垂直平分線的性質(zhì)和判定.

3.理解并掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定.

基礎(chǔ)知識歸納

一、軸對稱

軸對稱概念：有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這

條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫

做軸對稱.

二、軸對稱圖形

軸對稱圖形概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱

圖形.這條直線就是它的對稱軸.（對稱軸必須是直線）

軸對稱圖形的性質(zhì)（重點）：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂

直平分線.類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.連接任意一對對應(yīng)點

的線段被對稱軸垂直平分.軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等.

畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形步驟：

找到關(guān)鍵點，畫出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，

按照原圖順序依次連接各點.

用坐標(biāo)表示軸對稱

1、點（x,y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x,-了）；

2、點（x,y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-尤，y）；

三、線段的垂直平分線

概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）

性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等

的點在這條線段的垂直平分線上.

四、等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角“；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的

高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊“).

五、等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

重要題型

題型一軸對稱圖形的識別

例題：12月2日是全國交通安全日，你認(rèn)為下列交通標(biāo)志不是軸對稱圖形的是()

*OA小，@

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱的定義判斷即可得出.

【詳解】

解：由軸對稱圖形的定義：“把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形叫做

軸對稱圖形”分析可知，上述四個圖形中，A,B,。都是軸對稱圖形，只有C不是軸對稱圖形.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了軸對稱的定義，熟練掌握軸對稱的定義是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸.

【詳解】

解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

2、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可；

【詳解】

軸對稱圖形指的是平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；故符合題意的只

有選項c；

故選：c.

【點睛】

本題主要考查軸對稱圖形的定義，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

題型三軸對稱中折疊問題

例題：如圖，長方形紙片ABCD中，AB,OC邊上分別有點E,F,將長方形紙片ABCD沿EF翻折至同一

平面后，點A,。分別落在點G,反處.若/GEB=28。，則/OFE的度數(shù)是（）

A.75°B.76°C.77°D.78°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得再由ZGEB=28°,可得NAEF+/GEF=NAEF+NBEF+/BEG=208。,

從而得到/AEF=104。，然后根據(jù)A8〃CZ）,即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：ZAEF=ZGEF,ZA￡F+ZB￡F=180°,AB//CD,

???ZGEB=28°,

：.ZAEF+ZGEF=ZAEF+NBEF+/BEG=2Q8。,

ZAEF=104°,

'：AB//CD,

：.ZDFE=180°-ZAEF=76°.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖1,將長方形紙片ABC。沿著MN翻折，使得點2,C分別落在點E,F位置.如圖2,在第一次

翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著翻折，使得點N恰好落在ME延長線上的點。處.

(2)若NPMQ=a,試用含a的式子表示ZAMQ,并說明理由.

【答案】(1)40。

(2)ZAMe=18O0-4?,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得：NEMN=/BMN=10。,再運用鄰補角互補即可求得答案；

(2)由翻折可得：ZPMN=NPMQ=a,ZBMN=ZQMN,再運用鄰補角互補即可求得答案.

(1)

解：根據(jù)題意得：/EMN=/BMN=70。,

：./BME=140°,

：.ZAME=180°-ZBME=40°；

(2)

解：ZAMQ=180°-4dz,理由如下：

根據(jù)題意得：ZPMN=ZPMQ=a,/BMN=/QMN,

：.ZQMN=NBMN=2a,

：.ZAMQ=180°-ZQMN-ZBMN=180°-4a.

【點睛】

本題考查了幾何變換——翻折的性質(zhì)，鄰補角互補等，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖I,將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在點A'處，BC為折痕.

E

\XU：\A2/：

--------------------1?______________I

?4BDABD

(圖1)(圖2)

⑴如圖1,若Nl=25。,求NA8。的度數(shù)；

(2)如果又將活頁的另一角斜折過去，使8。邊與84重合，折痕為BE,如圖2所示，求/C8E的度數(shù).

【答案】(1)130°

(2)90°

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)折疊性質(zhì)得到N1=NABC=25。.然后利用鄰補角的定義計算NAB。的度數(shù)；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得/2=Nr>8E=g/A8r>=60。，然后計算/1+/2得到/C8E的度數(shù).

(1)

解：：角的頂點A落在點A，處，BC為折痕，

：.Z1=ZABC=25°.

：.ZA'BD=180°-25°-25°=130°；

(2)

解:由折疊性質(zhì)得/l=/ABC=g/A8A,

Z2=ZDBE=^ZA'BD,

：.Zl+Z2=^ZABA'+^ZA'BD

=；(NABA+ZA'BD)

=1xl80°

=90°.

即/C8E=90。.

【點睛】

本題考查了角的計算，折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形進行角的和差倍分計算是解答的關(guān)鍵.

題型四線段的垂直平分線的性質(zhì)

例題：如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC,8c于點。，E.若△的周長為20,△ABC的周長

為32,則BE=.

【答案】6

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出B￡>=C￡>,結(jié)合△A3。的周長求出AB+AC的長，再根據(jù)△ABC的

周長求出BC的長，解答即可.

【詳解】解：「BC的垂直平分線分別交AC,BC于點、D,E,

：.DB=DC,BE=EC,

：△A3。的周長為20,

：.AB+AD+BD=20,

?：DB=DC,

：.AB+AD+DC=20,

即AB+AC=20,

ZVIBC的周長為32,

：.AB+BC+AC=32,

/.fiC=32-20=12,

：.BE=EC=^BC=6.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出。B=OC.

【變式訓(xùn)練】

1.已知，如圖AABC中，8c=10,邊A3、AC的垂直平分線分別交BC于。、E,交AB、AC于尸、G,

連接AD與AE,則△相>￡1的周長=.

A

【答案】10

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,AE=CE,貝!]△ADE^]^=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC.

【詳解】解：和EG分別是AB,AC的垂直平分線，

：.AD=BD,AE=CE,

：.AADE的周長=AO+￡)E+AE=8￡)+OE+CE=BC=10,

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，NBAC的平分線與BC的垂直平分線。G相交于點。，DE±AB,DFLAC,垂足分別為E,F,

AE=8,AC=5,則BE的值為.

【分析】連接CDBD,證明RtA4D尸名RtaADE(HL),由全等三角形的性質(zhì)得證明

RtACDF^RtABDE(HL),得出BE=CF,根據(jù)邊之間的關(guān)系即可得.

【詳解】解：如圖所示，連接C。，BD,

平分44E,DE±AB,DF1AC,

：.DE=DF,

在Rt^ADF和Rt4ADE中,

AD=AD

DF=DE

：.RtAADF^RtAADE(HL),

：.AE=AF,

垂直平分BC,

CD=BD,

在Rt^CDF和RtLBDE中,

[CD=BD

[DF=DE

：.RtACOF^RtASDE(HL),

：.BE=CF,

CF=AF—AC=8—5=3,

?.BE=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌

握這些知識點.

題型五線段的垂直平分線的判定

例題：如圖，已知AABC,點P為/BAC的平分線上一點，PELAB,PFVAC,垂足分別為E、F

(1)求證：PE=PF

(2)若BE=CF,求證：點尸在BC的垂直平分線上.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)通過證明△APE之△AFP,即可求證；

(2)連接P8、PC,通過證明得到3P=CP,即可求證.

【詳解】（1）證明：：點尸為』B4C的平分線上一點

/.ZBAP^ZFAP

VPELAB,PFLAF

：.ZPEA=ZPFA=90°

在V"E和AAP尸中

ZBAP=ZFAP

-NPEA=ZPFA

AP=AP

：.AAPE^AAPF(AAS)

:.PE=PF

（2）證明：連接PB、PC,如下圖:

由(1)可得：NBEP=NCFP=90。

XVPE=PF,BE=CF

：.ASPE^ACPF（SAS）

BP=CP

...點尸在BC的垂直平分線上

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的

判定方法與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，P為/MON平分線上一點，以，0河于A,PBLON^B.

4

巳

BN

⑴求證：OA=OB；

（2）求證：0P垂直平分A3.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到=進而利用HL證明RtAAO/^RtABOP,即可證明OA=OB-

（2）根據(jù)。4=08,以=尸3即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：：P為NMON平分線上一點，PA1.OM,PB1ON,

PA=PB,

又,:OP=OP,

：.RtAAO/^RtABOP（HL）,

OA=OB；

（2）解：由（1）得。4=03,PA=PB,

：.0P垂直平分A3.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活

運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AD是AABC的角平分線，DE,￡＞尸分別是△AB。和AACD的高.

（1）求證：AD垂直平分EF；

(2)若AB=3,AC=2,AABC的面積是4,則￡)￡1=_.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE=DE,再由RtAA￡D=RtAAED（HL）,得AE=AF,從而證明結(jié)論;

（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可.

【詳解】（1）：AD是AABC的角平分線，DE、。廠分別是△ABD和AACD的高，

：.DE=DF,

在RtZVIED與RtAAFD中，

[AD=AD

[DE=DF'

RtAAED/RtAAFD（HL）,

/.AE=AF,

,:DE=DF,

：.AD垂直平分EF；

（2）,:DE=DF,

：.S=S+S.=-ABED+-AC-DF=-DE（AB+AC}=4,

AAoRCrI^ADRL）nrn222、

-：AB=3,AC=2,

Z）E=|,

Q

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟

練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型六坐標(biāo)與圖形變換一一軸對稱

例題：（2021?山東?單縣湖西學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，"1BC的三個頂點坐標(biāo)分別

是A（—2,T）,3（0,-4）,C（2,-l）.畫出AMC關(guān)于x軸對稱的△4月￡,并寫出點耳、G的坐標(biāo).

y

【答案】見詳解，4(0,4),G(2,1)

【分析】關(guān)于無軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此先找到A、8、C關(guān)于X軸的對稱

點4、月、G的坐標(biāo)，再兩兩連接即可得到△44a.

【詳解】???4(-21),8(0,-4),c(2,-l),

又???關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

.??4(-2,4),4(0,4),C；(2,1),

作圖如下：

4B1

\

g

O

//

//

AB

△A4G即為所求，4(0,4),G(2,1).

【點睛】本題主要考查了在坐標(biāo)系中作關(guān)于X軸對稱的圖形的知識，掌握關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相

同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后△ABC的頂點

均在格點上.

(1)寫出點A、B、C的坐標(biāo);

⑵寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△44G的頂點A、B1、G的坐標(biāo);

⑶求AABC-

【答案】(1)A(1,3),B(-1,2),C(2,0)

⑵A<1>T),-1,-2),￡(2,0)

⑶：

【分析】(1)根據(jù)點的坐標(biāo)的確定方法寫出點A、B、C的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征求解；

(3)利用面積的和差計算△ABC的面積.

(1)

解：根據(jù)圖形可知：A(1,3),B(-1,2),C(2,0)；

(2)

解：關(guān)于無軸對稱的點的坐標(biāo)：4(1,-3),第」-2),第2,0)；

(3)

1117

解：S=3x3一一x2x3--xlx3一一xlx2=-.

2222

【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)：點Rx,y)關(guān)于x軸的對稱點P的坐標(biāo)是(8-y)；點

P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點P的坐標(biāo)是(-尤，y).也考查了三角形面積公式.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2).

(1)在圖中作出AABC關(guān)于X軸的對稱圖形△A4c.

(2)請直接寫出點C關(guān)于y軸的對稱點C的坐標(biāo)：.

(3)求AABC的面積.

(4)在無軸上畫出點P,使QA+QC最小.

【答案】(1)見解析

(2)(1,2)

(3)4

(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出AABC關(guān)于無軸的對稱圖形△ABC1；

(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點C關(guān)于y軸的對稱點C的坐標(biāo)

(3)根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求出AABC的面積；

(4)連接AC交無軸于點2,根據(jù)兩點之間線段最短即可使得QA+QC最小.

(1)

解：如圖所示，即為所求;

(2)

解：點C關(guān)于y軸的對稱點C'的坐標(biāo)為（1,2）；

故答案為：（1,2）；

（3）

解：△ABC的面積=3x3-Lxlx3-Lxlx3-^x2x2=4；

222

（4）

解：如圖.點。即為所求.

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

題型七等腰三角形的定義

例題：等腰三角形一邊長等于2,一邊長等于3,則它的周長是（）

A.5B.7C.8D7或8

【答案】D

【解析】

【分析】

題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角

形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【詳解】

解：分兩種情況：

當(dāng)腰為2時，2+2>3,所以能構(gòu)成三角形，周長是2+2+3=7；

當(dāng)腰為3時:3+2>3,所以能構(gòu)成三角形，周長是：2+3+3=8.

故選：D.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，

分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在等腰AABC中，NA=70。，則/C的度數(shù)不可能是（）

A.40°B.55°C.65°D.70°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)/A=70。為頂角時，則兩底角為：1(180°-70°)=55°;

當(dāng)NA=70。為底角時，另一個底角為70。，頂角為180。-70。-70。=40。

???NC的度數(shù)不可能是65°.

故選：C.

【點睛】

本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內(nèi)角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時，需分

類討論是解題關(guān)鍵.

2.已知等腰三角形一邊長為4,周長為10,則另兩邊長分別為()

A.4,2B.3,3C.4,2或3,3D.以上都不對

【答案】C

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4,即可求解.

【詳解】

解：若腰長為4,則底邊長為1044=2,

此時另兩邊長分別為4,2；2+4>4可以構(gòu)成三角形，滿足題意；

若底邊長為4,則腰長為:。0-4)=3,

此時另兩邊長分別為3,3；3+3>4可以構(gòu)成三角形，滿足題意；

綜上所述，另兩邊長分別為4,2或3,3.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵.

題型八根據(jù)等腰三角形中三線合一求解

例題：如圖，AABC中，AB=AC,ADL3D于點。，NBW=20。，若3c=2血，則za4c的度數(shù)為.

D

【答案】40°

【解析】

【分析】

如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點A作AE_L8C于點E,可證RTAABEgRTAABD,

即可求出的C的度數(shù).

【詳解】

解：如圖，過點A作于點E,

"：AB=AC,

是BC的中點，且AE平分ZBAC.

,?BC=2BD,

：.BD=BE.

在RTAABE和RTAABD中，

\AB=AB

彳80BEnRTL.E沿RTAABD(HL),

：.ZBAD=ZBAE=ZCAE=20°.

：.ABAC=40°.

故答案為：40°.

【點睛】

本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，△ABC中，AB=AC=6,ZBAC=120°,是△ABC的中線，AE是△54。的角平分線，DF//AB

交AE的延長線于點F,則DF的長是（）

D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和定理可得/3=30。，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AC8C,且平分

ZBAC,從而可得4。=3,/加。=60。，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得NP=/ZME=30。,

最后根據(jù)等腰三角形的定義即可求解.

【詳解】

解：,在AABC中，AB=AC=6,ABAC=120°,

ZB=1(180°-ABAC)=30°,

?.?4）是AABC的中線,

:.AD±BC,且A。平分ZBAC,

:.AD^-AB^3,ZBAD=-ABAC=60°,

22

rAE是ZSM＞的角平分線，

NBAE=NDAE=-ZBAD=30°,

2

DFHAB,

:.ZF=ZBAE=30°,

:.ZF=ZDAE,

：.DF=AD=3,

故選C.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的三線合一、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、含30。的直角三角形性質(zhì)等知識點，

熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵.

2.如圖，△ABC中，AB=AC,BC=6,AB的垂直平分線交8c于點。.且過點8作射線

的垂線，垂足為E,則.

【答案】B

2

【解析】

【分析】

作AfUBC于尸，證明△BOE0aADR根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得。F=D￡,可得CD-DE=CF,由等腰三角

形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：作AF_L2C于尸，

'.'AB的垂直平分線交BC于點D.

：.AD=BD,

'：AF±BC,BELDE,

：.ZE=ZAFD=90°,

在△BOE和AAD尸中，

ZE=ZAFD

<ZBDE=NADF,

AD=BD

AABDE^AADF(AAS),

：.DF=DE,

：.CD-DE=CD-DF=CF,

*：AB=AC,AFLBC,BC=6

:.CF/BC=也.

22

故答案為：昱.

2

【點睛】

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型九等腰三角形的性質(zhì)與判定

例題：如圖，已知在四邊形ABC。中，AD//BC,NA=90。，AD=BE,CELBD,垂足為E.

⑴求證：BD=BC；

⑵若8c=50。，求/QCE的度數(shù).

【答案】(1)見解析；

(2)25°

【解析】

【分析】

(1)由AO〃BC得到ZA=90°,CELBD,則/A=90。，又由已知AO=BE,根

據(jù)ASA可證明AABOgZkECB,可得結(jié)論；

(2)由(1)知BZ)=2C,根據(jù)等邊對等角可求得NBOC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)求得/。CE的度數(shù).

(1)

證明：\'AD//BC,

：.ZADB=ZCBE,

VZA=90°,CELBD,

：.ZBEC=ZA=90°,

在△AB￡)和AECB中，

'NA=NBEC

<AD=BE,

ZADB=ZCBE

.'.△ABD名AECB(ASA),

：.BD=CB；

(2)

解：：8￡>=C8,

...△BCD是等腰三角形，

：.ZBCD=ZBDC=^(180°-ZDBC)(180°-50°)=65°,

,?/BEC=/BDC+/DCE=90。,

：.ZDCE^900-ZBDC=90。-65。=25。.

【點睛】

此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，證明△ABOgZXECB是

解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知在四邊形ABC￡>中，點E在A￡>上，ZBCE=ZACD=90°,NBAC=ND,BC=CE.

(1)求證：AC^CD；

(2)若AC=AE,求NACB的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)/ACB的度數(shù)為22.5°

【解析】

【分析】

(1)利用同角的余角相等得/ACB=/DCE,再根據(jù)44s證明△ABC也ADEC,即可證明結(jié)論；

(2)由AC=C。，知△AC。是等腰直角三角形，得/CAZ)=45°,再根據(jù)AC=AE,得/ACE=；(180°

-ZCAD)=1(180°-45°)=67.5°,從而得出答案.

(1)

證明：；/BCE=NACD=90°,

ZACB=ZDCE,

在△ABC和△OEC中，

ABAC=AD

?ZACB=ZDCE,

BC=CE

:.叢ABC9叢DEC(AAS),

：.AC=CD-,

(2)

解：由(1)知，AC^CD,

,：ZACD^90°,

/.AACD是等腰直角三角形，

：.ZCAD=45°,

'：AC=AE,

：.ZACE=-(180°-ZCAD)=-(180°-45°)=67.5°,

22

AZACB^ZBCE-ZACE=90°-67.5°=22.5°,

.../ACB的度數(shù)為22.5。.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證

明AABC之△￡＞以7是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，△ABC中，/B=/C=50。.點。在線段BC上運動(點。不與8、C重合)，連接AD,作/AOE

=50。，交線段AC于E.

A

E

BDC

⑴當(dāng)NBA。=20。時，ZEDC=°;

(2)當(dāng)/區(qū)4。=。時，△AB。0ZV3CE?請說明理由；

(3)AAOE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出/B4O的度數(shù)；若不能，請說明理由.

【答案】(1)20

(2)15,理由見解析

(3)能，484。=15。或/54￡?=30。，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)先利用平角的意義求出/CDE,再用三角形外角的性質(zhì)求出/AED,最后用三角形的內(nèi)角和定理求出

ZDAE；

(2)利用三角形內(nèi)角和定理得出入BAC=80。，再由三角形外角的性質(zhì)及等量代換確定NAED=/D4E=65。,

AD^DE,結(jié)合圖形利用全等三角形的判定即可證明；

(3)先求出N8AC=80。，再分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出/D4E,即可得出結(jié)論.

(1)

'：ZBAD=20°,ZB=50°,

ZADC=70°,

,?ZADE=50°,

：.Z￡DC=70°-50°=20°,

故答案為：20；

(2)

解：/54。=15。時，AABD出ADCE,理由如下：

在AABC中，/B=NC=50。,

：.ZBAC=80°,

VZBAD=15°,

：.ZDAE=65°,

又：ZADE^50°,

：.ZAED=ZDAE=65°,

J.AD^DE,

在△A3。中，

ZBAD+ZADB^130°,

'：ZCDE+ZADB=180°-NADE=130°,

：.NBAD=/CDE,

"：ZB=ZCAD=DE,

：.AABD烏ADCE；

(3)

能，當(dāng)NA4D=15?；?0。時，△AOE能成為等腰三角形.

理由：在AABC中，ZB=ZC=50°,

.\ZBAC=80°,

①當(dāng)DA=DESi,

'：ZADE^50°,

.，./CA￡)=；(180°-ZADE)=65°,

：.ZBAD=ZBAC-ZCAD=15°,

②當(dāng)EA=E。時，

：.ZDAC=ZADE=5Q°,

：.ZBAD=ZBAC-/D4c=30。，

③當(dāng)時，ZAED=ZADE=5Q0,

：.ZDAE^1SO°-ZADE-ZAE￡>=80°,此時，點。與點B重合，不符合題意，

綜上所述，當(dāng)/胡。=15?；?0。時，△AOE能成為等腰三角形.

【點睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)與判定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

題型十等邊三角形的性質(zhì)與判定

例題：如圖，C是AB上一點，點、D,E分別在兩側(cè)，AD\\BE,且=BE=AC.

⑴求證CD=EC；

(2)連接OE,若"CE=60。，￡>C=4,求￡>E的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵4

【解析】

【分