廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡的指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，寫(xiě)出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)可知，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，故選：C.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，所以，則，故選：D.3.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦距，即，實(shí)軸長(zhǎng)，即，于是虛半軸長(zhǎng)，所以所求雙曲線方程為.故選：A4.如圖，平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面體中，E為BC的中點(diǎn)，所以.故選：B5.直線l：與y軸的交點(diǎn)為A，把直線l繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線l：的傾斜角為，則，由題意可得，直線的傾斜角為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：C6.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)積最大，最大值為.故選：B7.已知圓：（），圓：，若圓上存在點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓：,方程化為，，則圓心坐標(biāo)為，半徑為5,設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則,解得，則，所以圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程為，，由題中條件可知，圓與圓有交點(diǎn)，,,則，即，解得，故選：D.8.拋物線有這樣一個(gè)重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)（不同于拋物線的頂點(diǎn)）反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸．若拋物線（）的焦點(diǎn)為F，從點(diǎn)F發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)拋物線上點(diǎn)M反射后，其反射光線過(guò)點(diǎn)，且，則△FMN的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由拋物線的對(duì)稱軸為軸，得軸，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，反向延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，由拋物線的定義得，由，得，因此為等邊三角形，在直角中，，，于是，從而，所以的面積為.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置可能為（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓必相交，C錯(cuò)誤；而直線表示平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的除直線外的任意直線，因此選項(xiàng)ABD都可能.故選：ABD10.對(duì)于方程，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，該方程表示圓B.當(dāng)時(shí)，該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C.當(dāng)時(shí)，該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且漸近線方程為D.當(dāng)時(shí)，該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且焦距為【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程不能表示圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，方程為，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，方程為，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且，故漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程為，方程表示焦點(diǎn)在y軸上雙曲線，且，故焦距為，D錯(cuò)誤，故選：BC11.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.∥平面B.三棱錐與三棱錐的體積之比為C.∥D.A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】由題意，A項(xiàng)，在中，，分別是，的中點(diǎn),∴∥,∵面，面，∴∥平面，A正確；B項(xiàng)，在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)到的距離為，，在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)到的距離為，∵，，分別是，的中點(diǎn),∴,,，∴,故B正確，對(duì)C項(xiàng)，,∴與不平行，與不平行，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，，,∴即，∴三向量共面，即A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面，故D正確故選：ABD.12.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.若，則B.若，則的值有3種情況C.若數(shù)列滿足，則D.若為奇數(shù)，則（）【答案】BD【解析】對(duì)于A，，則該數(shù)列為，則，，而，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，若為偶數(shù)，則，于是或；若為奇數(shù)，則，于是，因此的值會(huì)出現(xiàn)3種情況，B正確；對(duì)于C，由數(shù)列滿足，得數(shù)列是周期為2的數(shù)列，有當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，解得，或，無(wú)正數(shù)解；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，解得，因此或都滿足，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，與為奇數(shù)矛盾，因此為偶數(shù)，即，則，D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)，的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_____________．【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可）【解析】由題意：設(shè)圓心為：，半徑為：，則；.取可得滿足條件的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：故答案為：（答案不唯一）14.等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，則_____________．【答案】【解析】由題意知等差數(shù)列的公差為，由于是與的等比中項(xiàng)，故，即，解得，故，故答案為：15.2023年11月5至10日，中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉辦，被譽(yù)為“黃皮火龍果”的厄瓜多爾麒麟果（圖1）首次來(lái)到進(jìn)博展臺(tái)，其軸截面輪廓可近似看成橢圓（圖2），A，C，B，D為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為_(kāi)____________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，則，，則，故橢圓離心率為，故答案為：16.在正方體中，，點(diǎn)平面，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，_____________．【答案】【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，故，即，由于平面，平面，故，所以的面積為，而，故，當(dāng)時(shí)，取最小值，即S最小，此時(shí)，則，故，即，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知橢圓C：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)且與PQ平行的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)．解：（1）由橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，得，而，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，橢圓的左焦點(diǎn)為，而直線的斜率為，因此直線的方程為，由消去y得，顯然，設(shè)，則，，所以.18.在三棱臺(tái)中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，D為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面.（2）平面與平面的夾角能否為？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，故；又底面，底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；（2）由已知可知，，且D為的中點(diǎn)，則，即四邊形為平行四邊形，故，由底面，得底面，因?yàn)槠矫?，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合（1）可知平面的法向量可取為；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，故，即，令，則，假設(shè)平面與平面的夾角能為，則，即，此方程無(wú)解，假設(shè)不成立，即平面與平面的夾角不能為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（），圓M：．（1）若，過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，求此切線的方程；（2）若在圓M上存在唯一一點(diǎn)P，使，求t的值．解：（1）由題意得，圓M的半徑為1，在圓M外，，過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，則切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即，所以，解得或，故切線方程為或；（2）設(shè)，由于，所以，整理得，即，（），即P點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，由題意可知P是唯一的，只有當(dāng)圓與圓M相切時(shí)，符合題意；當(dāng)兩圓外切時(shí)，則，整理得，解得，（舍去），故；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，則，整理得，解得，（舍去），即，綜上，可得或.20.定義為數(shù)列的“勻稱值”．（1）若數(shù)列的“勻稱值”為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的“勻稱值”．解：（1）依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是，整理得，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由，，得，而，因此是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，令，則數(shù)列的“勻稱值”，令，則，于是，兩式相減得，即，，所以數(shù)列的“勻稱值”為.21.如圖，平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，與平面所成的角為，求的最大值．解：（1）因?yàn)?，，，所以，為等邊三角形，所以，，，因?yàn)?，，則，所以，，即，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，平面平面，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，，因?yàn)?，，則為等邊三角形，則，所以，點(diǎn)到平面的距離為.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)，其中，所以，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，且其最大值為.22.已知直線：，直線：，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作，，垂足分別為A，B，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為2．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l交M的軌跡于C，D兩點(diǎn)，線段CD的垂直平分線分別交x軸、y軸于，兩