廣東省惠州市博羅縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市博羅縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2．作答單項及多項選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D2.若直線l的一個方向向量為，求直線的傾斜角（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線l的一個方向向量為，則直線斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C3.已知正項等比數(shù)列}滿足為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，即，，，，故選：B.4.已知平面，其中，法向量，則下列各點中不在平面內(nèi)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若點在平面內(nèi)，則，對于A：，所以A選項的點不在平面內(nèi)；對于B：，滿足要求，所以在平面內(nèi)；對于C：，滿足要求，所以在平面內(nèi)；對于D：，滿足要求，所以在平面內(nèi)，故選：A5.設(shè)A，B為兩個互斥的事件，且，則下列各式錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】事件，為兩個互斥事件，，，故正確；事件，為兩個互斥事件，則，，故錯誤；，故正確；，故正確，綜上，ACD正確．故選：B．6.數(shù)列an中，，，且（），則為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】由，，且可得……,所以為周期數(shù)列，且周期為6，故，故選：A7.如圖，是的重心，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是的重心，，，，，，，，．故選：D．8.已知雙曲線C：的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點，且，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，，則有，到漸近線的距離，，，∴，，則，，，由，有，即，解得，則有，所以離心率.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，故當(dāng)或時，取最小值，C錯；對于D選項，，故當(dāng)時，取得最大值，D對.故選：ABD.10.已知圓，直線.則（）A.直線與圓可能相切B.圓被軸截得的弦長為C.直線被圓截得的最短弦長為D.直線被圓截得最短弦長時，直線方程為【答案】BD【解析】，則恒成立，故，則直線恒過，因為，所以點在圓內(nèi)部，因為直線恒過定點，所以直線與圓恒相交，所以A錯；對于圓，令，得，解得，所以圓被軸截得的弦長為，所以B選項正確；對于選項：由于點在圓的內(nèi)部，故直線被圓截得的弦長最短時，垂直于直線，最短弦長為，故C錯；因為圓心，直線恒過定點，直線被圓截得的弦長最短時，可知直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以D正確；故選：BD.11.已知正方體的棱長為，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成的角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.平面D.點到平面的距離為【答案】ABC【解析】如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于C：因為，，，所以，，所以，，因為，平面，所以平面，故選項C正確；對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；對于D：因為，平面的一個法向量，所以點到平面的距離為，故選項D不正確.故選：ABC.12.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有1個零點B.函數(shù)有2個零點C.函數(shù)有最小值D.關(guān)于x的方程的解為【答案】ACD【解析】對AB，有，解得，且此時根式有意義，故有且僅有一根，故A正確，B錯誤；對CD，因為，其幾何意義為上的點與點，之間的距離和.易得關(guān)于的對稱點為，故即的最小值為，故C正確；又到點，之間的距離和為的點的軌跡是以，為焦點，的橢圓，故的解即與橢圓的交點的橫坐標(biāo).即，解得，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為______．【答案】【解析】根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故答案為：．14.已知兩圓和相交，則公共弦的長度為_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩圓的方程，則有，即，則公共弦所在直線的方程為；圓，即，其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則公共弦的長度，故答案為：．15.已知直線過點，且直線的方向向量為，則點到的距離為__________.【答案】【解析】由題知，直線過點，且直線的方向向量為，點，所以，所以點到的距離為故答案為：16.已知函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿足且，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】依題意，函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿足且，所以，，即，所以，所以不等式恒成立等價于恒成立，由得，令，則，則恒成立令所以函數(shù)表示雙曲線在第一象限的一部分，雙曲線漸近線為，所以對應(yīng)圖象上任意兩點的連線的斜率的取值范圍是，即的取值范圍是，所以的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是數(shù)列的前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．解：（1）當(dāng)時，由，得，兩式相減可得，當(dāng)時，，符合上式，因此，的通項公式為；（2）由（1）可知，所以，．綜上．18.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是.（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)；（2）隨機試驗：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.（i）寫出該試驗的樣本空間；（ii）設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個游戲是否公平，請說明理由.解：（1）從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍(lán)球為事件，因為兩兩互斥事件，由已知得，解得.∴盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是；（2）（i）由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為2，1，1，用1，2表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗的樣本點，則樣本空間.（ii）由（i）得，記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以所以因為，所以此游戲不公平.19.已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點P與定點的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若直線l經(jīng)過點F，與曲線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．解：（1）由題意動點與定點的距離和它到直線的距離相等，所以，曲線C是以F為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線（去掉頂點），，所以曲線C的軌跡方程是；（2）若直線斜率不存在，則不合題意，因此直線斜率存在，設(shè)直線方程為，代入曲線C方程整理得，設(shè)，則，，所以直線方程為，即或．20.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求該圓弧所在圓的方程；（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）解：（1）由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，則，解得，故該圓弧所在圓的方程為．（2）設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則，解得．若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過5輛該種汽車．若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過4輛該種汽車．綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車．21.如圖所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成.其中，，點為弧的中點，且四點共面.（1）證明：四點共面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求長.解：（1）連接，因為，所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，在半圓上，是弧中點，所以，所以，又，所以，所以四點共面.（2）法1：直棱柱中，以為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，平面與平面所成夾角，即與夾角或其補角，所以，解得，所以法2：設(shè)，由（1）知四點共面，則面面.取中點，連接，則，而面，面，故，，面，則平面，過作于，又平面，所以平面，過作于，連接，則，又是銳角.所以是平面與平面所成的夾角，則，所以在Rt中，，在中，根據(jù)等面積法，在中，.所以.所以，解得，即，所以.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點，且離心率為，設(shè)橢圓的右頂點為，點，是橢圓上異于，的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，且．（1）求證：直線過定點；（2）設(shè)直線，相交于點，記，的面積分別為，，求的取值范圍．解：（