福建省福州市馬尾區(qū)三牧中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年福建省福州市馬尾區(qū)三牧中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每小題4分，共40分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）1．（4分）下列圖形是軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）已知方程3x2﹣（k﹣1）x+3k+2＝0有一個(gè)根是﹣1，則k的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．23．（4分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）4．（4分）下列事件：①通常溫度降到0℃時(shí)，純凈的水結(jié)冰；②明天太陽從東方升起；③隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)，其中是必然事件的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．05．（4分）已知兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，其中較小多邊形的周長為36cm，則較大多邊形的周長為（）A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm6．（4分）如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周長等于3，則PA的值是（）A． B． C． D．7．（4分）小區(qū)一家快遞店，星期一收快遞件100件，星期三收144件，設(shè)該快遞店收件平均每天增長率為x，可列方程（）A．100（1+x）2＝144 B．100（1+x%）2＝144 C．100（1+2x）＝144 D．100（1﹣2x）＝1448．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4）則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，1）9．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④a+b≤m（am+b）（其中m≠1）；⑤b﹣c＞0；正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)10．（4分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長度的最小值為（）A． B． C． D．二.填空題（每題4分，共24分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）11．（4分）寫出方程（x﹣1）2＝9的解．12．（4分）如果將拋物線y＝2x2﹣1向上平移一個(gè)單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式為．13．（4分）如圖，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)x°到△ADE的位置，使點(diǎn)E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，則x＝．14．（4分）已知圓錐的底面半徑是2cm，母線長為3cm，則圓錐的側(cè)面積為cm2．15．（4分）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形，小明同學(xué)向一個(gè)如圖所示的“趙爽弦圖”的飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上）．若飛鏢板中直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和2，則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域的概率是．16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，△APQ為等邊三角形，PQ與AC相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是．①AB∥CQ；②∠ACQ＝60°；③AP2＝AM?AC；④若BP＝PC，則PQ⊥AC．三.解答題（共86分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）17．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣12＝0；（2）3x2﹣2x+1＝0．18．（8分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）在（1）條件下，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A、點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AB'，且A，B'，A'在同一條直線上，求出A′B′，AA′的長．20．（8分）隨信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為一種常見的支付方式．在一次購物中，甲和乙隨機(jī)從“A微信”、“B支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付．（1）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求甲和乙所有可能出現(xiàn)的支付方式；（2）求甲和乙恰好都選擇“微信”支付的概率．21．（8分）如圖，已知⊙O．（1）用直尺和圓規(guī)作出圓的內(nèi)接正六邊形ABCDEF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若⊙O半徑為6，求的長度（結(jié)果保留π）．22．（10分）某學(xué)校九年級(jí)的一場籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3m．（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？（2）此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功？23．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若，求AD的長度．24．（12分）如圖，在△ABC中，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接CD，若∠ACD為銳角，且∠ACD＜30°，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)xD的取值范圍；（3）如圖2，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)圖象與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，試探究是否為定值？請(qǐng)說明理由．

參考答案一.選擇題（每小題4分，共40分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）1．選：C．2．選：B．3．選：A．4．選：B．5．選：A．6．選：A．7．選：A．8．選：A．9．選：A．10．選：B．二.填空題（每題4分，共24分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）11．x1＝4，x2＝﹣2．12．y＝2x2．13．50°．14．6π．15．．16．①②③④．三.解答題（共86分，請(qǐng)把答案寫在答題卷上1）17．解：（1）將x2+4x﹣12＝0進(jìn)行因式分解可得：（x﹣2）（x+6）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣6．（2）∵3x2﹣2x+1＝0，a＝3，b＝﹣2，c＝1，根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×1＝﹣8＜0，∴方程無實(shí)數(shù)根．18．解：（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+4x+3，∴y＝﹣（x﹣2）2+7，∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．（2）由條件可知：拋物線開口向下，∴函數(shù)有最大值，且當(dāng)x＝2時(shí)，取得最大值，最大值為7，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，∴﹣2≤y≤7．19．解：∵∠C＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，AB＝2BC＝4，∵△A′B′C由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A、點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C，∴A′B′＝AB＝4，CB′＝CB＝2，A′C＝AC，∠B′A′C＝30°，∠A′B′C＝∠ABC＝60°，∴∠B′A′C＝∠CAA′＝30°，∵∠A′B′C＝∠A′AC+∠B′CA，∴∠B′A′C＝∠CAA′＝∠B′CA＝30°，∴AB′＝CB′＝2，∴AA′＝AB′+B′A′＝6．20．解：（1）把“銀行卡”支付方式記為C，畫樹狀圖如下：甲和乙所有可能出現(xiàn)的支付方式共有9種；（2）由（1）可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲和乙恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果有1種，∴甲和乙恰好都選擇“微信”支付的概率為．21．解：（1）連接AO，以A為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于B，F(xiàn)，再以B為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于C，以C為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于D，以D為圓心，AO為半徑作弧交⊙O于E，連接AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A，如圖：六邊形ABCDEF即為所求；（2）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴＝＝＝＝＝，∴的長度是⊙O周長的，∴的長度為×2π?6＝2π．22．解：（1）根據(jù)題意，球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為．A（0，），B（4，4），C（7，3）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣h）2+k，將點(diǎn)（0，）代入可得：16a+4＝，解得：a＝﹣，∴拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣4）2+4；將C（7，3）點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：∴﹣（7﹣4）2+4＝3∴左邊＝右邊即C點(diǎn)在拋物線上，∴此球一定能投中．（2）能攔截成功．理由：將x＝1代入y＝﹣（x﹣4）2+4得y＝3∵3＜3.1∴他能攔截成功．23．（1）證明：如圖1，連接OD交BC于點(diǎn)G，∵AB是⊙O的直徑，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ACB＝∠F＝90°，∴DF∥BC，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴OD垂直平分BC，∴∠ODF＝∠OGC＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DF⊥OD，∴DF為⊙O的切線．（2）解：如圖2，連接CD，作EI⊥CD于點(diǎn)I，CH⊥CB于點(diǎn)H，則∠DIE＝∠DHC＝90°，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴＝，＝，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝22.5°，∴∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°，∴ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°，∴IE＝HE，∵DE＝＝IE＝2﹣2，∴IE＝HI＝2﹣，∴DH＝DE+IE＝2﹣2+2﹣＝，∴CD2＝CH2+DH2＝2DH2＝2×（）2＝4，∵∠ECD＝∠CAD，∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴AD＝＝＝2+2，∴AD的長是2+2．24．（1）證明：如圖1，連接AF，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，∴，AF⊥BC，∴，∴；（2）解：，理由如下：連接AF，如圖2，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，∴，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如圖，連接AF，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，，∴，∵，∴，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴，Rt△GED中，，Rt△AGD中，，∴，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴，∴，∵△DNF∽△DME，∴，∴．25．解：（1）∵拋物線解析式為y＝ax2+x+c（a＞0）與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，將點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，解得，故拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；（2）如圖，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)在AC的下方作∠ACD＝30°，交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥AC于點(diǎn)A，交CD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AO于點(diǎn)F，∵y＝x2+x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵A（﹣2，0），∴OA＝OC＝2，在直角砸開ACO中，由勾股定理得：，∠OAC＝45°，∵∠EAC＝90°，