探析中求銳角三角函數(shù)值之策略

探析中求銳角三角函數(shù)值之策略在九年級數(shù)學中，我們學習了直角三角形的邊角關系，它是現(xiàn)實世界中應用廣泛的關系之一。而銳角三角函數(shù)實現(xiàn)了直角三角形邊角之間的關系，把這種關系用數(shù)量的形式表示了出來。在不利用計算器的情況下，如何求一個銳角的三角函數(shù)值呢？一、求特殊銳角三角函數(shù)值1、求30?、45?、60?的三角函數(shù)值。解題策略：如右圖所示，畫一個銳角是30?的直角三角形和一個等腰直角三角形，然后利用取“特殊值”法，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，寫出銳角三角函數(shù)值即可。如圖=1\*GB3①所示，sin30?=，cos30?=，tan30?=；sin60?=，cos60?=，tan60?=。圖=2\*GB3②45?30?60?12圖=1\*GB3①如圖=2\*GB3②所示，sin45?圖=2\*GB3②45?30?60?12圖=1\*GB3①圖=3\*GB3圖=3\*GB3③30?15?2、求22.5?、67.5?、15?、75?正切值。解題策略：如圖=3\*GB3③所示，延長CA至點E，使AE=AB，連接BE。22.5?圖=4\*GB3④45?22.5?22.5?圖=4\*GB3④45?22.5?如圖=4\*GB3④所示，延長CB至點E，使BE=BA，連接AE。則tan22.5?=-1，tan67.5?=+1求一般銳角三角函數(shù)值1、定義法圖=5\*GB3圖=5\*GB3⑤如圖=5\*GB3⑤所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4，求∠A的三角函數(shù)值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，AB＝5，AC＝4。∴BC==3∴sinA=，cosA=，tanA=。2、活“雷鋒”法解題策略：活“雷鋒”法，即設“參數(shù)”法，根據(jù)題目條件，設出相關參數(shù)，其中所設參數(shù)在解題過程中被約分掉，從而求出銳角三角函數(shù)值的方法。因“參數(shù)”助我們解決了問題，而悄悄地消失了，于是稱這個參數(shù)為“活雷鋒”，為了加深學生的形象記憶，便把設“參數(shù)”法叫做活“雷鋒”法。a:當已知直角三角形邊之間的數(shù)量關系時圖=6\*GB3⑥如=6\*GB3⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，若2a＝eq\r(3)b，求∠A的三角函數(shù)值。圖=6\*GB3⑥解：設b=2k（k≠0）則a=k∵∠C＝90?∴c==k∴sinA===，cosA===，tanA===b:當已知直角三角形兩邊（或三邊）之比時如圖=6\*GB3⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90?，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函數(shù)值。解：設a=2m（m≠0），則c=3m∵∠C＝90∴b==∴sinA===，cosA===，tanA===c:當已知直角三角形某一個銳角三角函數(shù)值時如圖=6\*GB3⑥所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90?，若tanB＝eq\f(3,5)，求∠A的三角函數(shù)值。解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanB＝eq\f(3,5)∴tanB==,設b=3t（t≠0），則a=5t∴c==∴sinA===，cosA===，tanA===3、找“替身”法解題策略：當一個銳角的三角函數(shù)值不易求出時，常轉(zhuǎn)化為求與它相等角（替身）的三角函數(shù)值，使問題得以順利解決。（1）如圖=7\*GB3⑦所示，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，則tanD的值為(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),4)分析：由題目條件可知△ACD≌△AED，則∠D=∠B。由于∠D的三角函數(shù)值不易求出，而∠B正好在Rt△BCH中，易求出它的三角函數(shù)值，從而求tan∠D轉(zhuǎn)化為求tan∠B，問題被輕松解決。如圖=8\*GB3⑧所示，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，則sin∠ABD的值是(D)AD⌒⌒AC=A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)AD⌒⌒AC=分析：因為AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB，所以=，則∠ABC=∠ABD，求sin∠ABD轉(zhuǎn)化為求sin∠ABC。因為AB是直徑，所以∠ACB=90?。因為BC＝6，AC＝8，所以AB=10，則sin∠ABC=，問題輕松解決。如圖=9\*GB3⑨所示，∠1的正切值等于。分析：tan∠1=tan∠2=如圖=10\*GB3⑩所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD相交于點P，則tan∠APD的值是。分析：連接AF、BF,易判斷出△AFB為直角三角形，且∠APD=∠ABF，所以tan∠APD=tan∠ABF=2圖=7\*GB3⑦圖=8\*GB3⑧圖=9\*GB3⑨圖=10\*GB3⑩4、構造法解題策略：將所求銳角放入構造的直角三角形中，從而求出它的三角函數(shù)值的方法叫做構造法。構造直角三角形常用方法有“作垂直”、利用勾股定理逆定理判斷、直徑所對的圓周角是直角等等。=1\*GB2⑴、如右圖所示，已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，P是AB延長線上一點，BP＝2，求cosP的值。解：過點O作OC⊥AB于點C∵OC⊥AB于點C∴AC=BC=AB=4∵PB=2∴PC=PB+BC=6在Rt△OAC中，∠ACO=90?∴OC==3在Rt△PCO中，∠PCO=90?∴PO==3∴cosP===2\*GB2⑵、如圖11所示，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則cosC的值為(D)B.C.D.分析：把∠C放入Rt△AHC中，因為AH=1，CH=4，所以AC=，cosC==3\*GB2⑶、如圖12所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為((B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(2\r(5),5)分析：連接CH，易判斷△AHC是直角三角形，∠AHC=90?。因為AC=，CH=，所以sinA===4\*GB2⑷、如圖13所示，已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC＝4，則sinB的值為。分析：作直徑AE，連接CE。因為AE是直徑，所以∠ACE=90?，CE==2，sinB=sinE=圖11圖12圖1319解直角三角形應用?？蓟拘汀癆AS”型如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AB=m，則BC=m?cosα+m【分析】過點A作AD⊥BC于點D,解Rt△ABD，易求出AD和BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD+CD即可解決問題。【解答】過點A作AD⊥BC于點D在Rt△ABD中，cosα=BDAB，sinα=AD則BD=m?cosα，AD=m?sinα。在Rt△ADC中，tanβ=ADCD則CD=m?sinαtanβ，BC=BD+CD=m?問題1：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的長．“ASA”型如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，則AD=n【分析】本題利用BD+CD=n這個等量關系，設AD=x，列出關于x的方程即可解決?！窘獯稹窟^點A作AD⊥BC于點D,設AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，則BD=x在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=x∵BD+CD=n∴xtanα+x∴x=n?問題2：如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、60°，此時熱氣球C處的高度為CD，點A、D、B在同一直線上，AB=100米，求高度CD。母子型類型1：如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，AD=m，則BC=m(tanβ?tanα)【分析】解Rt△ABD，易求出BD；再解Rt△ADC，易求出CD,那么BC=BD-CD即可解決問題?！窘獯稹吭赗t△ABD中，tanα=ADBD，則BD=在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=mtanβ∴BC=BD-CD=mtanα=m(tanβ?tanα)問題3：校車安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載。某中學數(shù)學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道m(xù)上確定點D，使CD與m垂直，測得CD的長等于21米，在m上點D的同側(cè)取點A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的長（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段對校車限速為40千米/小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由．類型2：如圖，已知∠ABC=α，∠ACD=β，BC=n，則AD=n【分析】本題利用BD-CD=n這個等量關系，設AD=x，列出關于x的方程即可解決。【解答】過點A作AD⊥BC于點D,設AD=x。在Rt△ABD中，tanα=ADBD，則BD=x在Rt△ADC中，tanβ=ADCD，則CD=xtanβ∵BD-CD=n∴xtanα-x∴x=n問題4：如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30°，朝物體AB方向前進20米，到達點C，再次測得點A的仰角為60°，則物體AB的高度為。問題5：如圖，某校教