滬科版九年級數(shù)學(xué)常見題型專練：相似三角形的判定（6種題型）（原卷版）

第07講相似三角形的判定（6種題型）

?！局R梳理】

一、相似三角形的預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.

如圖，已知直線/與AABC的兩邊互、AC所在直線分別交于點。和點E,則

二、相似三角形判定定理1

如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.

如果/A=/4、/B=3,那么AABCs入42G.

如圖，在AABC與A414cl中,1

如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.

An74r

如圖，在AASC與AA,耳￡中，NA=NA，——=——，那么AAfiCs入418c.

AG

四、相似三角形判定定理3

如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.

可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

ARCA

如圖，在AABC與&\耳￡中，如果——=——=——，那么AABCsm耳q.

2^1B[B[C[C]A

五、直角三角形相似的判定定理

如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么

這兩個直角三角形相似.

可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似.

如圖，在RfAABC和小A4181cl中，如果/C=NC|=90。，/竺=匹，那么AABCs入414cl.

4B1B]C]

8CBiCi

二【考點剖析】

題型一：相似三角形的預(yù)備定理

例L（2022秋?安徽?九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，點。、E、尸分別在A3、BC、AC邊上,

DESAC,I3OE尸=0A.求證：^BDESSEFC.

【變式1】如圖，E是平行四邊形ABCD的邊54延長線上的一點，CE交AD于點F.圖中有哪幾對

相似三角形？

【變式2】如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,點、E、F分別是AB、3c的中點，EF與

相交于點M.

(1)求證：NEDMs"BM；

(2)若DB=6,求BM.

題型認(rèn)：相似三角形判定定理I

例2.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）己知：如圖，在RtaABC中，/B4c=90。，AD,3c于

D,E為直角邊AC的中點，過。，E作直線交A8的延長線于E求證：4DBFS&ADF.

A

【變式1】.如圖，Z1=Z2=Z3,那么圖中相似的三角形有哪幾對？

A

【變式2】如圖，D、E分別是AASC的邊AB、AC上的點，且/4ED=NB.

求證：AE.AC=AD.AB.

【變式3】如圖，AABC是等邊三角形，ZDAE=nO0,求證ACME=Afi.DE.

A

【變式4】正方形ABCD中，E是AD中點，SW_LCE于點Af,AB=6厘米，求的長.

【變式5】如圖，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,P是AABC內(nèi)一點，且NAPS=NAPC=135。.

求證：ACPAsAAPS.

【變式6】如圖，在AABC中，AB=AC,DE〃3C,點尸在邊AC上，。戶與BE■相交于點G,

且NEDF=ZABE.

(1)求證：ADEFs/\BDE；

(2)DG.DF=DB.EF.

題型三：相似三角形判定定理2

例3.（2020?安徽淮南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：D、E是AABC的邊A3、AC上的點，AB=8,AD=3,

AC=6,AE^4,求證：△ABCs/^AED.

【變式1】如圖，點。是AABC的邊至上的一點，MAC2=AD.AB.求證：AACDAABC.

4

【變式2】如圖，在AABC與AA￡D中，—,ZBAD=ZCAE.求證：AABCsMED.

AEAD

【變式3】如圖，。是AABC內(nèi)一點，E是AABC外一點，ZEBC=ZDBA,ZECBZDAB,求證：

ZBDE=ZBAC.

【變式4】如圖，在AABC中，44c=90°,AD是邊3c上的高，點E在線段DC上，EF±AB,

EG±AC,垂足分別為P、G.

求證：(1)—=—；(2)FD±DG.

ADCD

題型四：相似三角形判定定理3

例4.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1,網(wǎng)格中有

和（三角形中的每個頂點都在格點上）.這兩個三角形相似嗎？請說明你的理由.

【變式1】根據(jù)下列條件判定AABC與AD跖是否相似，如果是，那么用符號表示出來.

(1)AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=20cm

(2)AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=8cm.

【變式2】如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有AABC與ADEF.求證：AABCAFDE.

【變式3】如圖，。、E、F分別是AABC的邊BC、CA.AB的中點.求證：ADEFMBC.

【變式4】如圖，點。為AABC內(nèi)一點，點E為AABC外一點，且滿足一=—=—

ADDEAE

求證：AABDs^ACE.

【變式5】如圖，在AABC中，ZABC=9Q°,ZACB=30°,AC=2,CD=26,AD=4.

求證：AACD.

D

【變式6】已知：如圖，在RAABC中，ZACB=90°,AC=2,3c=4,點。在8c邊上，且NC4D=NB.

(1)求AD的長；

(2)取A。、的中點E、F,聯(lián)結(jié)CE、CF、EF.求證：ACEFAADB.

題型五：直角三角形相似的判定定理

例5.在RAABC和用ADEF中，ZC=ZF=90°.依據(jù)下列各組條件判定這兩個三角形是否相似，并說明

理由.

(1)ZA=55°,ND=35。；

(2)AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；

(3)AC=3,BC=4,DF=6,DE=8；

(4)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

ACABAD

【變式1】如圖，在AABC和AA,4G中，AD±BC,1B,CX,垂足為。和R,且上=——=——

求證：AABCs入415cl.

4

【變式2】如圖，四邊形4BCD中，ZBAC=ZADC^9QP,AD=a,BC=b,AC=4ab-

求證：DC工BC.

【變式3】如圖，ABYAD,BDYDC,且B￡>2=ABBC.求證：ZABD=ZDBC.

【變式4】如圖，在AABC中，CDJLAB于。，_LAC于凡DG_L3c于G.求證：CF?CA=CGCB.

c

題型六:相似三角形判定綜合

例6.（2021秋?安徽六安?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點8的坐標(biāo)為（6,4）.反比例函

數(shù)y=：（x>0）的圖象交矩形Q4BC的邊BC、A3于。、E兩點，連接

⑴當(dāng)點。是5c的中點時，k=，點E的坐標(biāo)為

（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m

①請用含m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)為

②求證：ABDE?ABCA

【變式1】（2022,安徽?統(tǒng)考一模）已知拋物線'=62+版+。與無軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P（O,1）,求的最小值;

（2）已知點<（-2,1）,￡（2,-1）,8（2,1）中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：>=阮+1與拋物線交于M,N兩點，點A在直線、=-1上，且/M4N=90。，過點A且與x軸

垂直的直線分別交拋物線和直線/于點2,C.求證：與AMBC的面積相等.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?安徽蚌埠?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在AABC和VADE中，”=叁,要使AA3C與

AEED

VADE相似，還需要添加一個條件，這個條件是（）

C.AD=ABD.AC=BC

2.（2022秋?安徽滁州?九年級?？茧A段練習(xí)）已知在AABC中，ZA=60°,AB=4,AC=6,下列陰影部

分三角形與原三角形不一定相似的是（）

3.（2021秋?安徽合肥?九年級合肥市五十中學(xué)西校校聯(lián)考期中）如圖，。是AABC邊A3上一點，添加一個

條件后，仍無法判定△ACDSAMC的是（）

A.ZACD=NBB.ZADC=ZACBC四=生D.AC2=ADAB

,ACBC

4.（2022秋?安徽阜陽?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等邊44BC,點、D,E分別是邊8C,AC上的動點,

BD=CE,則圖中相似的三角形的對數(shù)是（

A.3對B.4對C.5對D.6對

5.（2020秋?安徽淮南?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個三角形，與如圖的三角形相似的是（）

6.（2023春?安徽合肥?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，是斜邊上的高，DELBC,垂足

為E,則圖中與“RC相似的三角形（不包括融。）共有（)

A

A.5個B.4個C.3個D.2個

7.（2022秋?安徽滁州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在AABC中，點。，E分別是A3,AC上的點，CD

與BE交于點F,下列條件中不能使AABE和AACD相似的是（）

DFEF

A.ZABE=ZACD

BF一CF

ABAC

D.AD*AB=AE*AC

BE~CD

8.（2020?安徽合肥?校考三模）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形,

它們的對應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.

乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形

與原矩形相似.

對于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

9.（2022秋?安徽蕪湖?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，CO是RfflABC斜邊A8上的中線，過點C作C￡BCD

交AB的延長線于點E,添加下列條件仍不能判斷回CE8與國CA。相似的是（）

EBD

A.EICBA=20AB.點8是QE的中點

CEBE

C.CE?CD=CA?CBD.一=一

CAAD

10.（2022秋?安徽淮北?九年級淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AABC中，點。是邊上一點,

下列條件中，不能判定AABC與相似的是（）

A.AB2^BDBCB.ZBDA=ZBAC

C.ZADC=ZC+ZBD.ADBC=ABAC

二、填空題

IL（2021秋?安徽亳州?九年級蒙城縣第六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，E、。是0ABe的邊AB、AC上一點，請?zhí)?/p>

加一個條件..使得MBC與0ADE相似.

12.（2022秋?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。是/4BC邊延長線上一點，請?zhí)砑右粋€條件

,使MCD0AABC.

13.（2022秋?安徽安慶?九年級安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，AB,8交于點。，且

OC=45,00=30,OB=36,當(dāng)OA=時，AAOCS^BOD.

14.（2023春?安徽合肥?九年級校考階段練習(xí)）如圖，要使△AED和AABC相似，已具備條件,還

需補充的條件是,或,或.

15.（2022秋?安徽蕪湖?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中有三個三角形，分別是AEBC,ACDB,

△DEB,其中與44BC相似的是.

16.（2023春?安徽合肥?九年級校考階段練習(xí)）如圖，E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接

AE,交邊CO于點R在不添加輔助線的情況下，請寫出圖中一對相似三角形：.

AD

17.（2020,安徽安慶??？寄M預(yù)測）如圖，在“8C中，AZMBC于。，下列條件：（1）0B+0Z）AC=90°；

OAC

（2）回8=即%。；（3）—=——；（4）AB2=BD^BC.其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的有（填序

ADAB

號）

4

18.（2023?安徽蚌埠?校考一模）如圖，已知直線y=-§x+4分別與y軸、無軸交于A,B兩點、,過點B作

k1

點P在雙曲線y=—（左力0）上，連接若tan/PABu：,貝1]%=___________.

x3

三、解答題

19.（2022秋?安徽安慶?九年級安慶市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知ABSDC,點E、E在線段8。上，AB

=2￡>C,BE=2DF.

(1)求證：△ABEEBCDF.

(2)若BD=8,DF=2,求EP的長.

20.（2020秋?安徽安慶?九年級安徽省安慶市外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊

長為1,△ABC和尸的點都在網(wǎng)格的格點上.求證：AABC-AEDF.

21.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB//DC,點E、尸在線段8。上,

AB=2DC,BE=2DF,求證：AABE^ACDF

AB

DKC

22.（2021秋?安徽馬鞍山?九年級馬鞍山八中校考期中）如圖，在△ABC中，AD=DB,Z1=Z2.求證:

△ABCsLEAD.

23.（2022秋?安徽蕪湖?九年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在正方形A8CD中，P是8C上的點，。是。上

的點，且AQSP。，0A。。與團(tuán)QCP是否相似？并證明你的結(jié)論.

24.（2022秋?安徽馬鞍山,九年級馬鞍山八中?？计谥校┤鐖D，在AABC中，點〃在8C邊上，點E在AC

邊上，且=ZDEC=/B.求證：Z\AED<^Z\ADC

25.（2023春?安徽合肥?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，“LBC是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且

ABAC^BDCE.求證：AABDs^ECA.

A

26.（2022秋?安徽蚌埠?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖。、E分別是AM