高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：集合的概念

1.1集合的概念

思維導(dǎo)圖

定義

集合的概念，列舉法

表示法。/

------1描述法

元素與集合的關(guān)系-----

------------------不屬于

自然數(shù)集

正整數(shù)集

常用數(shù)集d整數(shù)集

有理數(shù)集

1實(shí)數(shù)集

新課標(biāo)要求

1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關(guān)系。

2.針對(duì)具體問題，能夠在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合。

知識(shí)梳理

一、元素與集合的概念

1.元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,常用小寫的拉丁字母a,b,c…表示.

2.集合:把一些元素組成的總體叫做集合，常用大寫拉丁字母A,B,C...表示.

3.集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的.

4.集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的,無序的.

二、元素與集合的關(guān)系

1.屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作aeA.

2.不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作aeA.

三、常見的數(shù)集及符號(hào)表示

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

記法NN*或N+ZQR

四、集合的表示法

1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法.

2.描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組

成的集合表示為{xeP(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

名師導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)1集合的概念

「氧於二鼠曷募④云葡跖瓶A菽三襦兼一.

|(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否能構(gòu)成集合.

|(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個(gè)數(shù).

1(3)無序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順

I序無關(guān).

［而71，茄石氏前法筱翦甄高二躋旅弟不前客焉!而以國(guó)凝各的17”下

A.與1非常接近的全體實(shí)數(shù)

B.北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生

C.高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)

D.高一年級(jí)很有才華的老師

【答案】B

【解析】對(duì)于ACD,集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合,

ACD錯(cuò)誤；

B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1-1】(2021?廣東?廣州外國(guó)語學(xué)校高一階段練習(xí))下列說法中正確的是()

A.與定點(diǎn)48等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合

B.由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5

C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素a,b,c,其中a,b,c是二ABC的三邊長(zhǎng)，貝kA5c不可能是等

邊三角形

D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合

【答案】C

【解析】解：對(duì)于A：與定點(diǎn)A,8等距離的點(diǎn)在線段AB的中垂線上，故可以組成集合，

即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為4,故B

錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋裕詀,b,c互不相等，故,ABC不可能是等邊三角

形，即C正確；

對(duì)于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯(cuò)誤；

故選：C

【變式訓(xùn)練1-2]（2021?福建?廈門市國(guó)祺中學(xué)高一期中）下列能構(gòu)成集合的是（）

A.中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人B.我市跑得快的汽車

C.上海市所有的中學(xué)生D.數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題

【答案】C

【解析】構(gòu)成集合的元素具有確定性，

選項(xiàng)ABD中沒有明確標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合定義，選項(xiàng)C正確.

故選：C.

【變式訓(xùn)練1-3】（多選）（2021?廣東?揭陽華僑高中高一階段練習(xí)）給出下列說法，其中正

確的有（）

A.中國(guó)的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合；

B.高一（1）班較胖的同學(xué)可以構(gòu)成一個(gè)集合；

C.正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合；

D.大于20n且小于2016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合.

【答案】AC

【解析】中國(guó)的所有直轄市可以構(gòu)成一個(gè)集合，A正確；

高一（1）班較胖的同學(xué)不具有確定性，不能構(gòu)成集合，B錯(cuò)誤；

正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個(gè)集合，C正確；

大于2011且小于2016的所有整數(shù)能構(gòu)成集合，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

知識(shí)點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系

判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法

（1）直接法：集合中的元素是直接給出的.

（2）推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的

特征即可.

【例2-1】（2021?浙江?金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí)）給出下列關(guān)系：①;GR；②6GQ；

③一3題；④-否WN,其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】；是實(shí)數(shù)，①正確；石是無理數(shù)，②錯(cuò)誤；一3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；一石是無理數(shù)，

④正確.

所以正確的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

【例2-2】(2021?廣東?揭陽華僑高中高一階段練習(xí))下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是

()

A.OENB.兀GQC.&WQD.-1?Z

【答案】A

【解析】0是自然數(shù)，石血是無理數(shù)，不是有理數(shù)，-1是整數(shù)，根據(jù)元素和集合的關(guān)系可

知，只有A正確；

故選：A

【變式訓(xùn)練2-1】(2022?北京大興?高一期末)已知集合4={刈尤=2上"eZ},則()

A.-IGAB.I"C.-^2eAD.2eA

【答案】D

【解析】由集合A={x|x=2泊LeZ},即集合A是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.

所以TeA,"A,-5/2gA,2eA

故選：D

【變式訓(xùn)練2-2】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))用“e”或“0”填空.

1N；-3Z；V2Q;下R.

【答案】任w任e

知識(shí)點(diǎn)3集合的表示法(重點(diǎn))

II

|(1)求出集合的元素.

(2)把元素——列舉出來，且相同元素只能列舉一次.

j(3)用花括號(hào)括起來.

卜注意：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫成實(shí)數(shù)對(duì)的;

|形式，元素與元素之間用“，”隔開.如{(2,3),(5,-1)}.

2利用描述法表示集合的關(guān)注點(diǎn)

|(1)寫清楚該集合代表元素的符號(hào).例如，集合{xGR|x<l}不能寫成{x<l}.

12)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi).例如，{xdZ|x=2左},左GZ,這種表達(dá)方式就不符合，

|要求，需將AGZ也寫進(jìn)花括號(hào)內(nèi)，即{xGZ|x=2瓦kU].

(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.

*4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫.例如，方程;

船一2工+1=0的實(shí)數(shù)解集可表示為{xdR*—2x+l=0},也可寫成{4?-2犬+1=0}.

【例3-1】(2021?全國(guó)?高一課前預(yù)習(xí))用列舉法表示下列集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(2)方程/=2尤的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(3)直線y=2x+l與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；

(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.

【解】(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是大于或等于。的意思，所以不大于10

的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10).

(2)方程無2=2尤的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為{0,2}.

(3)將尤=0代入y=2x+l,得y=l,即交點(diǎn)是(0,1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(。，1)}.

(4)正整數(shù)有1,2,3,…，所求集合為{1,2,3,

【例3-2】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))用描述法表示下列集合.

(1)小于5的正有理數(shù)組成的集合：；

(2)平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合：；

(3)偶數(shù)集：；

(4)拋物線>=/一3x+2上的所有點(diǎn)組成的集合：.

[答案】{xeQ|0<x<5}{(x,y)|y=x}{x|x=2",〃eZ}=/-3元+2}

【解析】(1)由描述可得：集合為{xeQ[O<x<5}.

(2)第一、三象限角平分線上的所有點(diǎn)都在y=x上，故集合為{(x,y)|y=x}.

(3)由偶數(shù)可表示為x=2",”eZ,故集合為{x|尤=2〃,“eZ}.

(4)由描述知：集合為{(羽丫)2=/-3元+2}.

故答案為：{尤eQ[0<x<5},{(X,y)|y=x},{x|x=2〃,〃eZ},{(x,y)“=_?-3x+2}.

【變式訓(xùn)練3-1】(2021?貴州?六盤水紅橋?qū)W校高一期中)集合{尤eZ|0<x<5}用列舉法表示

正確的是()

A.{1,2,3,4}B.{0,123,4}

C.{0,123,4,5}D.{123,4,5}

【答案】A

【解析】”2且0<》<5,小所有可能的取值為1，2,3,4,.-.{xeZ|0<x<5}={l,2,3,4).

故選：A.

【變式訓(xùn)練3-2】(2021?湖北?武漢市鋼城第四中學(xué)高一階段練習(xí))表示方程/+*-6=0的

根的集合，用列舉法可以表示為，用描述法可表示為.

【答案】{2,-3}(X|X2+X-6=0}(答案不唯一)

【解析】由％2+%_6=0,得(兀一2)(%+3)=0,解得％=2,或%=—3,

所以方程根的集合用列舉法可以表示為{2,-3},

用描述法可表示為{小2+x-6=。}(答案不唯一)

故答案為:{2,-3},{X\X2+X-6=0\(答案不唯一)

【變式訓(xùn)練3-3】(2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí))若用描述法表示所有負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合則

M=.

【答案】{x|x=-2",〃eN*}

【解析】所有負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合M

則Af={x|x=-In,neN*\,

故答案為：{x|x=-2〃,〃eN*}.

【變式訓(xùn)練3-4】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))用列舉法表示下列集合：

(1)^x\^—eZ,xeZ^；

(2){(x,y)|y=3x,xGN且lWx<5}.

【解】(1)因?yàn)榘譭Z,無eZ,所以|2-目是6的因數(shù)，

貝!]12—H=1,2,3,6,即x=l,3,4,0,—1,5,—4,8.

所以原集合可用列舉法表示為{—4,-1,0,1,3,4,5,8)；

⑵因?yàn)閤GN且1方<5,所以無=1,2,3,4,

其對(duì)應(yīng)的y的值分別為3,6,9,12.

所以原集合可用列舉法表示為{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)).

【變式訓(xùn)練3-5】(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；

⑵所有正奇數(shù)組成的集合B；

(3)絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；

⑷直角坐標(biāo)平面上，拋物線y=/上的點(diǎn)組成的集合D

【解析】⑴不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,用列舉法表示：

A={2,3,5,7,11,13,17}；

（2）所有正奇數(shù)有無數(shù)個(gè)，用描述法表示：3={x|x=2左+l#eN}；

（3）絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)只有-3,-2,-1,0,1,2,3,用列舉法表示：C={-3,-2,-1,0,1,2,3}；

（4）直角坐標(biāo)平面上，拋物線y=f上的點(diǎn)，用描述法表示：D={（x,^）|y=x2}.

知識(shí)點(diǎn)4集合性質(zhì)的應(yīng)用（難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)）

斤而將,券'盔'獲祺一墓冥屜菽藪硫藪注"善,家’

;（i）策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互

!異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).

|（2）注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

【例4-1]（2021?山東聊城一中高一期中）若。<1,3,后},則a的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【解析】a=0,則ae{l,3,0},符合題設(shè)；

。=1時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；

"=3時(shí)，則ae{l,3,9},符合題設(shè)；

〃=0或〃=3均可以.

故選：C

【例4-2]（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）若xeR,貝可3,x,￡-2.x）中的元素x應(yīng)滿足什么條件？

【解】根據(jù)集合中元素的互異性可得：

"3

<2

X-2x^3f解得xw3且無w—1且xwO,

X2-2x^x

所以工應(yīng)滿足且Xw—l且％wO.

【變式訓(xùn)練4-1】（2021?福建福州?高一期中）若“+2e{l,3,a",則a的值為（）

A.-1或1或2B.-1或1C.-1或2D.2

【答案】D

【解析】因?yàn)閍+2e{l,3,/},

所以a+2=l或3或

當(dāng)。+2=1時(shí)，即。=-1,此時(shí)集合中元素為1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去;

當(dāng)a+2=3時(shí)，即。=1,此時(shí)集合中元素為1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)a+2=/時(shí)，解得a=2或。=-1（舍去），此時(shí)集合中元素為1,3,4,符合題意.

故選：D

【變式訓(xùn)練4-2】（2021?江蘇揚(yáng)州?高一期中）已知集合4={。,1,片-5°+6},若2eA,則實(shí)

數(shù)”的值構(gòu)成的集合為.

【答案】{2,4}

【解析】因?yàn)榧?={。,1,/一5〃+6},且2eA

所以2=?；?="-5a+6

（1）當(dāng)。=2時(shí)，此時(shí)儲(chǔ)-5a+6=0,A={2,L。}符合題意.

（2）當(dāng)2=4。-5。+6時(shí)，解得。=1或。=4

當(dāng)。=1時(shí)，與集合元素的互相性矛盾，舍去；

當(dāng)°=4時(shí)，A={2,1,4}符合題意.

綜上可知實(shí)數(shù)”的值構(gòu)成的集合為{2,4}

故答案為：{2,4}

【變式訓(xùn)練4-3】（2021?重慶?萬州純陽中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合4={2,/+1,片_@,

B=1O,7,<22-tz-51,且5eA,求集合3.

【解】根據(jù)題意，當(dāng)片+1=5時(shí)，。=±2.若。=2,則片_°=2,根據(jù)互異性可知，a=2不

滿足題意；若a=-2,貝儲(chǔ)-°=6,此時(shí)A={2,5,6},B={0,7,l}.

而當(dāng)“2-a=5時(shí)，集合3中/-a-5=O,根據(jù)互異性可知，不滿足題意.

綜上，8={0,7,1}.

名師導(dǎo)練

A組-［應(yīng)知應(yīng)會(huì)］

1.（2021?湖南?懷化五中高一期中）下面給出的四類對(duì)象中，構(gòu)成集合的是（）

A.某班視力較好的同學(xué)B.長(zhǎng)壽的人

C.n的近似值D.倒數(shù)等于它本身的數(shù)

【答案】D

【解析】對(duì)于A,視力較好不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對(duì)于B,長(zhǎng)壽也不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對(duì)于C,萬的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，

不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合;

對(duì)于D,倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1,故可以構(gòu)成集合；

故選：D.

2.（2021?湖南?衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）

①geZ,②友eR，③OeN*,④乃

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①geZ錯(cuò)誤②0eR正確③OeN*錯(cuò)誤④萬任。正確

故選：B

3.（2021?湖北?車城高中高一階段練習(xí)）由3-2%1可組成含3個(gè)元素的集合，則實(shí)數(shù)

”的取值可以是（）

A.1B.-IC.0D.-3

【答案】C

a?w3-2a

【解析】由元素的互異性可得,解得awl且aw-3且aw-1.

3—2aw1

故選：C.

4.（2021?遼寧?大連八中高一階段練習(xí)）集合A=卜eN|y=號(hào),yeN，的元素個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.10D.12

【答案】A

【解析】由題意，集合A=[xeN|y=3,yeN：中的元素滿足

x是自然數(shù)，且y是自然數(shù)，

由此可得x=0,1,3,9；

此時(shí)y的值分別為：4,3,2,1,

符合條件的x共有4個(gè)，

故選：A.

5.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）集合{xeN|x-4<l}用列舉法表示為（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,123,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】Vx-4<1,

x<5.

又,

???{%￡N卜-4v1}={0,1,2,3,4}.

故選：A

12x+y=0

6.(多選)(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))下列正確表示方程組°八的解集的是()

[x—y+3=0

[x--11

A.(-1,2)B.(x,y)[=2C-{T，2}D.{(-1,2))

【答案】BD

2x+y=0

【解析】由,解得

x-y+3=0

x=—1

所以該方程組的解集為(X，y)1=2或{(—L2)}.

故選BD.

7.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))以下各組對(duì)象不能組成集合的是(用題號(hào)填空).

①中國(guó)古代四大發(fā)明②地球上的小河流

③方程V-l=0的實(shí)數(shù)解④周長(zhǎng)為10cm的三角形

⑤接近于。的數(shù)

【答案】②⑤

【解析】①中國(guó)古代四大發(fā)明是造紙術(shù)，指南針，火藥和印刷術(shù)，是確定的，能構(gòu)成集合;

②地球上的小河流，不確定，不能構(gòu)成集合；

③方程/-1=0的實(shí)數(shù)解是1或-1,是確定的，能構(gòu)成集合；

④周長(zhǎng)為10cm的三角形，是確定的，能構(gòu)成集合；

⑤接近于0的數(shù)，不確定，不能構(gòu)成集合.

故答案為：②⑤

8.(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))用符號(hào)“e”和“走”填空：

(1)1N；(2)1Z；(3)-2R；

⑷"Q+；(5)32N；(6)00.

【答案】任任e任w任

【解析】由N,Z一R,Q+，0所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷

(1)任(2)任(3)￡(4)金(5)e(6)金.

故答案為：(1)金(2)電(3)￡(4)任(5)￡(6)任.

9.(2022?廣東揭陽?高一期末)若3w{l,2“},則實(shí)數(shù)".

【答案】|3

【解析】因?yàn)?e｛l,2a｝,

所以2a=3,解得

2

3

故答案為：—.

2

10.（20如全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）集合A=｛y|y=x2-l,\x\<2,xeZ］可用列舉法表示為,

集合2=｛（工y）,=/一1,閔W2,xeZ｝可用列舉法表示為.

【答案】｛-1,0,3｝｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3））

【解析】由丁=爐-1,忖42,xeZ,知x可取的值為0,±1,±2,

當(dāng)％=0時(shí)，丁二-1,當(dāng)元=±1時(shí)，）=。，當(dāng)％=±2時(shí)，y=3,

所以集合A=｛—1,0,3｝；

由題知集合3表示點(diǎn)集，

所以3=｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3）｝.

故答案為：｛-1,0,3｝,｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3）｝.

11.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知集合尸中的元素x滿足：xeN,且2Vx<。，aeN.若

集合P中恰有三個(gè)元素，貝壯=,集合尸中的元素是.

【答案】63,4,5

【解析】因?yàn)閤eN,2<x<a,aeN,且集合P中恰有三個(gè)元素，所以。=6,

此時(shí)集合尸中的元素是3,4,5.

故答案為：6；3,4.5

12.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合.若能構(gòu)成集合，指出是有

限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由.

（1）北京各區(qū)縣的名稱；

⑵尾數(shù)是5的自然數(shù)；

⑶我們班身高大于1.7m的同學(xué).

【解】（1）因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└?/p>

區(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；

（2）因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自

然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；

（3）因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合;

因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥贚7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.

13.（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）方程/+2n-15=0的根的集合；

（2）不等式4x—3v5的解集

【解】（1）由x?+2x-15=0可得％=—5或尤=3

所以方程12+2%-15=0的根的集合為{-5,3}

（2）由4x-3v5可得X<2

所以不等式4x-3<5的解集為何彳<2}

B組-［素養(yǎng)提升］

1.（2022?湖南?益陽市箴言中學(xué)高一開學(xué)考試）已知集合”={（%曰區(qū),〉€雙*戶+><2},則

M中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

（尤=］

【解析】因?yàn)閤，〉eN*旦x+yW2,所以即集合中只有一個(gè)元素（LD.

U=1

故選：A.

2.（2021?江蘇?常州市第一中學(xué)高一期中）已知集合4=卜+1,"+4”-9,2021},若TeA,

則實(shí)數(shù)。的值為（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【解析】A=^a+l,a2+4a-9,2021^,且YeA,.,.T=a+1或T=a2+4a-9

⑴、當(dāng)T=/+4a-9即。=-5或a=l,

①、當(dāng)。=一5時(shí)，a+l=—4,a2+4a-9=-4-止匕時(shí)A={T,-4,2021},不滿足集合元素的互

異性，故舍去；

②、當(dāng)。=1時(shí)，<7+1=2,°2+4。-9=-4,此時(shí)A={2,T,2021},符合題意；

⑵、當(dāng)a+l=—4即。=一5時(shí)，此時(shí)A={-4,7,2021},不滿足集合元素的互異性，故舍去；

綜上所述：實(shí)數(shù)。的值為1.

故選：B

3.（多選）（2021?江蘇常州?高一期中）已知集合4=卜|龍=機(jī)+6",〃?,"€2},則下列說法

中正確的是（）

A.0eA但（1-2有）2eA

B.若玉=見+6%,々=〃4+6%，其中犯，"1，色,％eZ,則玉

C.若占=見+也4,々=7%+也%，其中eZ,則占feA

D.若玉=町+百4,%2=%，其中班,々,網(wǎng),%￡Z,則;

【答案】BC

【解析】（1一26『=13-46，故機(jī)=13,〃=Y,所以（1—26）2￡A,A錯(cuò)誤；

玉±々=嗎+6々土（和+6%）=（叫土%）+6（%±%）,其中叫土機(jī)？￡Z,±n2GZ,故

石±%wA,B正確；

G

菁?％=（g+6勺＞（叫+6%）=叫叫+34%+（叫%+嗎％）6,其中rr\m2+34%Z,

m{n2+m2nxGZ,故項(xiàng)?％2￡4，C正確；

因?yàn)镺wA,若々=%+也4=0,此時(shí),無意義，故一LwA,D錯(cuò)誤.

?^2

故選：BC

4.（多選）（2021?福建?泉州科技中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x,y,z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式

R+舌+?+國(guó)的值所組成的集合是跖則下列判斷正確的是（）

因IX|z|"Z

A.B.2GMC.-4?MD.41M

【答案】CD

【解析】當(dāng)％，y，z均為負(fù)數(shù)時(shí)，擊+弓+3+應(yīng)1=-4；

國(guó)3IW孫Z

一xyz\xyz\八

當(dāng)羽y,z兩負(fù)一正時(shí)，p-r+j—?+p-7+------=0；

國(guó)3|z|xyz

,「xyz|乎|八

當(dāng)羽y,z兩正一負(fù)時(shí)，p-r+j—y+p|+------=0；

兇IX|z|xyz

xyzxyzl

當(dāng)九,y,z均為正數(shù)時(shí)，pF+j—?+pr+------=4；

H3|z|xyz

AM={-4,0,4},A、B錯(cuò)誤，C、D正確.

故選：CD

5.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若〃、b、xeR且〃、b豐0,集合B=［jx='"，則

用列舉法可表示為.

【答案】{-2,0,2}

［解析］當(dāng)“<0/<0時(shí)，彳=告+4=_1_1=_2,

\a\b

當(dāng)avO,Z?>0時(shí)，x=―rH—=-1+1=0,

\a\b

當(dāng)a>O,Z?vO時(shí)，x—-r+-~~-=1-1=0,

\a\b

當(dāng)a>0,Z?>0時(shí)，x-~r+-~-=1+1=2,

\a\b

所以用列舉法可表示為｛-2,0,2）.

故答案為：｛-20,2｝.

6.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知集合人=卜入2_3%+2=。｝.

（1）若集合A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)〃的值及該元素分別為；

（2）若集合A中至多有一個(gè)元素，貝匹的取值范圍是.

7Q4Q、

【答案】。?或｛〃|。27或〃=0｝

3X38

【解析】（1）、"4=卜|依2-3X+2=。｝

當(dāng)a=0時(shí)，A=｛尤卜3x+2=0｝=]g｝,集合A中只有一個(gè)元素，符合題意;

當(dāng)。片0,因?yàn)锳中只有一個(gè)元素，則方程62一3彳+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)

根./.A=(—3)2—8^=0集合A中只有一個(gè)

4

元素符合題意;

綜上所述，當(dāng)〃=。時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素《2；當(dāng)。=三9時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素工4.

3X3

a00,9

4/\2.,.〃〉一

（2）、若集合A=0,則方程依2-3x+2=0無解,

A=(-3y-8a<0,8

由（1）可知當(dāng)。=0時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素怖2；當(dāng)〃=三Q時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素工4.

383

綜上所述：。的取值范圍是或。=0｝.

O

故答案為：。弓2或）9弓4；｛a\aQ>^a=0、｝.

3o3o

7.（2021?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合A的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若。eA,則手eA.

\-a

（1）若。=-3,求出A中其他所有元素；

（2）0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)a