《培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的路徑探索》7000字

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的路徑探索目錄TOC\o"1-2"\h\u23211培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的路徑探索 1192401引言 1267702理論基礎(chǔ) 2153312.1概念界定 258102.2模型構(gòu)建 3168123深刻性思維品質(zhì)的培養(yǎng)策略 485673.1知識的形成：注重概念教學(xué)，挖掘思維的深度 4263994.2知識的完善：構(gòu)建“導(dǎo)圖—解題”網(wǎng)，拓寬思維的廣度 544794.3知識的拓展：重視一題多變，形成思維的梯度 7248394.4知識的升華：滲透思想文化，形成思維的厚度 7108755總結(jié) 929958參考文獻(xiàn) 9摘要：數(shù)學(xué)深刻性思維品質(zhì)是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，反映了學(xué)生觸及問題的深入程度。數(shù)學(xué)抽象又是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中最重要的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)最基本的思維方式。它們二者緊密聯(lián)系，思維的深刻性可以看成是抽象思維特征的一個重要體現(xiàn)。因此，文章從思維的深度、廣度、梯度、厚度四個方面進(jìn)行思考，并提出了與之對應(yīng)的四條教學(xué)策略，探討了如何在抽象素養(yǎng)觀下發(fā)展學(xué)生思維的方法。關(guān)鍵詞：抽象素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維；四思四行；策略1引言數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是核心素養(yǎng)體系在數(shù)學(xué)學(xué)科中的滲透，反映了我國人才培養(yǎng)的質(zhì)量以及數(shù)學(xué)學(xué)科的教育水平。它包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析。思維品質(zhì)一般是指思維的深刻性、廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性和獨創(chuàng)性。這些思維品質(zhì)反映在數(shù)學(xué)思維上就形成了數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。關(guān)于二者的關(guān)系，學(xué)界普遍認(rèn)可數(shù)學(xué)思維品質(zhì)對數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)具有積極的促進(jìn)作用。鄭毓信認(rèn)為：“應(yīng)將思維的發(fā)展看成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義。”[3]張奠宙認(rèn)為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以界定為‘精準(zhǔn)智能思維與行為的養(yǎng)成’，如果用一個關(guān)鍵詞來概括數(shù)學(xué)思維的特征，那就是‘精準(zhǔn)思維’。”[4]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中也明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。”[5]由此可見，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要組成部分，發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)能夠有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成。盡管以思維品質(zhì)促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的觀點在理論上具有可行性，人們也對此進(jìn)行了大量研究并取得一定研究成果，但是，如何突破實踐操作上的困難，在課堂教學(xué)活動過程中加以應(yīng)用，這方面的文章仍舊比較匱乏，并且大多是對思維品質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng)兩個整體的策略研究。因此，文章從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的出發(fā)，考慮到教學(xué)實際上就是幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握這一學(xué)科的關(guān)鍵能力，要做到這一點，學(xué)生就需要具備洞悉事物本質(zhì)的眼光和能力，而這恰恰與思維的深刻性品質(zhì)和數(shù)學(xué)抽象能力不謀而合。數(shù)學(xué)深刻性思維品質(zhì)是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，反映了學(xué)生觸及問題的深入程度。數(shù)學(xué)抽象又是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中最重要的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)最基本的思維方式，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。它們二者緊密聯(lián)系，思維的深刻性可以看成是抽象思維特征的一個重要體現(xiàn)，因此，思維的深刻性是抽象思維能力培養(yǎng)中必須要關(guān)注的環(huán)節(jié)?；谏鲜龇治?，文章從思維的深度、思維的廣度、思維的梯度以及思維的厚度四個方面進(jìn)行思考，初步構(gòu)建了以促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性為目的，并最終指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的框架模型，并在此基礎(chǔ)上，提出了與之對應(yīng)的四條教學(xué)策略，以期望能夠為數(shù)學(xué)課堂中思維品質(zhì)的真正落實、核心素養(yǎng)的真正落地提供一條清晰且具有實際操作性的解決路徑。2理論基礎(chǔ)2.1概念界定數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生形成理性思維的先決條件，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義。要理解它，就要先明白何為抽象？何為數(shù)學(xué)抽象？“抽象”起初是來自拉丁語“abstractio”，表示排除、抽出的意思。《辭?！分袑ⅰ俺橄蟆倍x為：從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，抽象出共同的、本質(zhì)屬性的思維過程。數(shù)學(xué)抽象作為一種特殊的抽象，它的研究對象是數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，類比抽象的產(chǎn)生路徑，數(shù)學(xué)抽象也是一個有舍有得的過程，舍去事物外在之物理屬性，得到數(shù)學(xué)對象之本質(zhì)規(guī)律。因此，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)可以理解成培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的素養(yǎng)，這種能力的形成表現(xiàn)為：能夠形成數(shù)學(xué)的概念和法則；能夠形成命題和建立模型；能夠形成數(shù)學(xué)基本思想方法；能夠形成數(shù)學(xué)的理論體系等等。數(shù)學(xué)深刻性思維品質(zhì)又是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。徐利治教授指出：“透視本質(zhì)的能力是構(gòu)成創(chuàng)造力的一個因素?！盵6]透視本質(zhì)的能力即是我們通常所說的思維的深刻性，它反映了學(xué)生觸及問題的深入程度。思維越深刻，越容易脫離常規(guī)方法的束縛，理解不同問題、解法之間的本質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，這樣也就能從整體上把握問題本質(zhì)，促進(jìn)思維的靈活性、敏捷性、獨創(chuàng)性等其他思維品質(zhì)的合力發(fā)展。推動促進(jìn)“深刻性”思維品質(zhì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)關(guān)于二者之間的關(guān)系，史寧中教授曾經(jīng)指出：“真正的知識是來源于感性的經(jīng)驗、通過直觀和抽象而得到的，并且，這種抽象是不能獨立于人的思維而存在的。”[7]推動促進(jìn)“深刻性”思維品質(zhì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)圖SEQ圖\*ARABIC12.2模型構(gòu)建時至今日，我們可以發(fā)現(xiàn)有許多看似非?！绊槙场钡恼n堂，學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)束后卻收獲甚微，因為他們的思維仍然止步于表層的認(rèn)識，得不到深入，長此以往，學(xué)生終將如“大浪淘沙”一樣，被這個時代所拋棄。因此，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性成為一個必然趨勢，教師在教學(xué)活動中就要有意識地去培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，如何去培養(yǎng)？文章基于思維的四個“度”，構(gòu)建了圖2的“深刻性——抽象素養(yǎng)”思維模型。深度深度梯度梯度厚度厚度數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念廣度 廣度圖SEQ圖\*ARABIC2該模型構(gòu)建了以思維的廣度、深度、厚度、梯度為一體的“四位一體”框架模型。首先，以思維的廣度鋪設(shè)形成二維平面，又以思維的深度朝縱向發(fā)展形成三維立體結(jié)構(gòu)，然后，在縱深發(fā)展過程中，還要保證思維的梯度，實現(xiàn)思維的螺旋上升，同時，融入數(shù)學(xué)文化，充實思維的厚度。該模型以促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性為目的，并最終指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成。在此大框架下，又對如何實現(xiàn)思維四個“度”的問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索。我們認(rèn)為，該模型立足一個交點：數(shù)學(xué)概念。因為數(shù)學(xué)中的“雙基”可以看作是數(shù)學(xué)思維構(gòu)建的基礎(chǔ)，而絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識本身就是由一些基本概念組合發(fā)展而來的，所以，我們將基本的數(shù)學(xué)概念作為思維發(fā)展的原點有其合理性。起點的選擇確定了，思維的發(fā)展也就有了具體的落腳點，即通過挖掘概念的本質(zhì)特征實現(xiàn)思維的深度、通過一題多變實現(xiàn)思維的梯度、通過數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)實現(xiàn)思維的廣度、通過提煉數(shù)學(xué)思想方法、體會數(shù)學(xué)文化魅力實現(xiàn)思維的厚度。3深刻性思維品質(zhì)的培養(yǎng)策略3.1知識的形成：注重概念教學(xué)，挖掘思維的深度學(xué)生對概念本質(zhì)理解的程度決定了學(xué)生思維的深淺程度。概念的理解是在對概念內(nèi)容高度凝練、抽象概括后再重新還原、解剖和分析的過程。可事實上，教師最容易忽視的恰恰也是概念的探索，教學(xué)由于時間的限制等因素，教師往往就省略了這個步驟，導(dǎo)致在一開始就沒有將概念“是什么”和“為什么”講清、講透，這樣一來，學(xué)生思維得不到深度延伸，學(xué)生對概念的理解仍然處于膚淺的認(rèn)識。因此，教師在教學(xué)中需要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對事物屬性經(jīng)過抽象概括提煉成概念的過程，從類似這樣的揭示知識發(fā)生過程中促進(jìn)思維的縱深發(fā)展。以高中函數(shù)概念生成為例，要理解函數(shù)本質(zhì)，根本上要回答兩個問題：一是學(xué)生如何從初中函數(shù)的變量說過渡到高中函數(shù)的對應(yīng)說，突破認(rèn)知瓶頸；二是教師如何設(shè)計教學(xué)幫助學(xué)生從集合的角度抽象出函數(shù)概念。階段1回答“為什么要建立函數(shù)概念”的問題這個階段，教師可以結(jié)合函數(shù)概念的歷史發(fā)展過程實施教學(xué)。古往今來，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都對函數(shù)賦予了自己的見解，教師可以通過相關(guān)閱讀材料的展示，重現(xiàn)問題發(fā)生的情境，讓學(xué)生循著數(shù)學(xué)家的足跡去了解函數(shù)概念的歷史發(fā)展脈絡(luò)，對“為什么”能夠心中有數(shù)。階段2回答“怎么建立函數(shù)概念”的問題情境圖3是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖，表示空氣質(zhì)量指數(shù)，表示這一天內(nèi)的任意時刻。圖SEQ圖\*ARABIC3問題1你認(rèn)為這里的是的函數(shù)嗎？問題2上述情境中有變量嗎？有幾個變量？變量之間有什么關(guān)系？問題3你能用集合的語言去表示這兩個變量嗎？問題4你能用集合的語言去表示這種對應(yīng)關(guān)系嗎？問題5結(jié)合剛才對函數(shù)本質(zhì)的概括，你能用自己的話闡述函數(shù)概念嗎？高中函數(shù)的本質(zhì)是兩個數(shù)集之間的對應(yīng)。教師通過生活實例先讓學(xué)生感知函數(shù)自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過的集合語言對變量及變量之間的關(guān)系作出描述，最后順利建立高中的函數(shù)概念。4.2知識的完善：構(gòu)建“導(dǎo)圖—解題”網(wǎng)，拓寬思維的廣度從思維的深刻性角度來看，思維面的廣度在一定程度上能夠促進(jìn)學(xué)生對事物本質(zhì)的深刻認(rèn)識。布魯納曾經(jīng)說過：“不論我們教什么，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的結(jié)構(gòu)?！蓖瑫r，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)也與國際數(shù)學(xué)教育界所提倡的“聯(lián)系的觀點”不謀而合。數(shù)學(xué)知識體系作為一個大系統(tǒng)，知識與知識之間有著錯綜復(fù)雜的千絲萬縷的聯(lián)系，如果學(xué)生對各知識之間的縱橫關(guān)系有一個整體性認(rèn)識，那么，學(xué)生在問題解決時也就能夠更好的由此及彼，推動思維的深刻性發(fā)展。拓寬思維廣度，落實到真實的課堂教學(xué)活動中，我們認(rèn)為，首先，教師可以借助外顯的思維導(dǎo)圖幫助和引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)他們自己的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)，在思維導(dǎo)圖的整理過程中，學(xué)生通過串點成線、織線成面實現(xiàn)對零散知識的歸一，有利于學(xué)生形成對知識的整體認(rèn)識，這是學(xué)生的第一次思維發(fā)散；但是，它也存在弊端，教學(xué)上比較明顯的表現(xiàn)為學(xué)生“懂而不會”，學(xué)生能夠侃侃而談的說起求單調(diào)性有幾種方法，真正解題時卻無從下手。因此，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的知識框架必須落地生根，通過一題多解、多題一解等教學(xué)手段進(jìn)行檢驗、強(qiáng)化、拓展，這是第二次思維發(fā)散；最后，學(xué)生將通過解題訓(xùn)練獲得的活動經(jīng)驗納入已有的知識框架，作為補充與完善。前者是后者的準(zhǔn)備基礎(chǔ)，后者是前者的深化拓展，但二者對學(xué)生思維的廣度都有積極的促進(jìn)作用（如圖4）。思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖一題多解思維導(dǎo)圖第一次發(fā)散第二次發(fā)散圖SEQ圖\*ARABIC4現(xiàn)在，以“函數(shù)的基本性質(zhì)”為例，對上述思維的兩次發(fā)散過程作如下分析：階段1知“梳”達(dá)理，活用思維導(dǎo)圖“函數(shù)的基本性質(zhì)”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念后對函數(shù)性質(zhì)的繼續(xù)研究，是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，同時，它又為后續(xù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此，這也從側(cè)面反映出這一節(jié)內(nèi)容絕不是孤立存在的，在教學(xué)過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用思維導(dǎo)圖建構(gòu)起自己的知識網(wǎng)絡(luò)，對知識進(jìn)行前后梳理，從而達(dá)到有理可依、有理可據(jù)。圖SEQ圖\*ARABIC5“學(xué)法指導(dǎo)”思維導(dǎo)圖階段2落地生根，依托一題多解“一題多解”就是以原題為中心，向它蘊含的方方面面進(jìn)行拓展和深化，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性[8]。事實上，即使學(xué)生面前放著同一道問題，但是，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有所差異，思考問題的角度有所側(cè)重，他們采取的解題方法自然有所不同，這也是為什么有的時候?qū)W生的奇思妙想會讓一道題遍地開花。通過“一題多解”教學(xué)方式，不僅能夠加深學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識，而且能夠幫助學(xué)生學(xué)會全面地觀察問題，運用多方經(jīng)驗尋求問題的最優(yōu)解，提升學(xué)生的發(fā)散思維能力。例如，對于如下問題：問題已知函數(shù)，，求的最小值。這道題的目的是讓學(xué)生結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，學(xué)生如果只是憑借思維導(dǎo)圖明了證明函數(shù)（非復(fù)合函數(shù)）單調(diào)性理論上有三種方法，卻不進(jìn)行實地操作，他不會知道這幾種解法在思維上的區(qū)別與聯(lián)系，沒有對比，便不會知道解決此類問題的最優(yōu)方案其實是數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法。方法一（定義法）在定義域內(nèi)，任取兩點、，不妨設(shè)，∵，，∴.又∵，但與0的大小無法確定，∴原函數(shù)在上的單調(diào)性不易判斷?！啻朔椒ń忸}存在較大困難。方法二（導(dǎo)數(shù)法）先利用導(dǎo)數(shù)方法判斷的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，再考慮區(qū)間的兩個端點，可知：當(dāng)時函數(shù)取得最小值。方法三（圖像法）借助二次函數(shù)圖像，通過數(shù)形結(jié)合可以直觀看出原函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而容易判斷出函數(shù)在時有最小值。圖SEQ圖\*ARABIC6通過一題多解以及生生交流、師生對話等活動，學(xué)生實現(xiàn)第二次思維發(fā)散，同時，學(xué)生也能將解題過程中獲得的直接經(jīng)驗納入進(jìn)原來的知識結(jié)構(gòu)中去，不僅知道證明函數(shù)單調(diào)性有幾種方法，還知道最優(yōu)解法是什么，知其然更知其所以然，達(dá)到完善知識、發(fā)散思維、提升思維的廣度的目的。4.3知識的拓展：重視一題多變，形成思維的梯度所謂一題多變，是指通過對問題的條件或者結(jié)論進(jìn)行變更，從而產(chǎn)生多種類型，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次探究問題的一種教學(xué)方式。它從問題題根開始，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置新的問題，然后新知變舊知、舊知促新知，從而使變化了的問題梯度分明、層次清晰。同時，也正是因為這種“多變性”，在解題訓(xùn)練過程中，教師更需要注重培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)變”能力，包括“變中發(fā)現(xiàn)不變”的洞悉問題本質(zhì)的能力以及“以不變應(yīng)萬變”的解題能力，在變式中實現(xiàn)思維的梯度生長，提升學(xué)生對問題的深刻理解。比如，對于下面的變式：問題已知的定義域為，求的取值范圍。變式1已知的定義域為，求的取值范圍。變式2已知的定義域為，求的取值范圍。變式3已知函數(shù)定義域為，值域為，求，的值。通過對比和分析，例3和變式1-3變化的是函數(shù)的形式，不變的是對任意的，不等式恒成立問題，但變式之間又梯度分明，難度螺旋上升。通過諸如此類的變式訓(xùn)練，學(xué)生思維在層次鮮明的基礎(chǔ)上又能朝縱深發(fā)展。4.4知識的升華：滲透思想文化，形成思維的厚度當(dāng)數(shù)學(xué)文化成為滋養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂的沃土，學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化魅力的過程就已經(jīng)開始觸及到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。一堂有意義的數(shù)學(xué)課只是知識的“輸入-輸出”必然不夠，學(xué)生追根溯源的過程是否能夠與之產(chǎn)生共鳴才是學(xué)生思維走向深刻的關(guān)鍵。更何況，在高考試卷中我們經(jīng)常能夠看見以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，比如畢達(dá)哥拉斯研究的形數(shù)、斐波那契數(shù)列、《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”“開立方圓”“天池盆測雨”等問題，說明今天的教育也愈發(fā)重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，因此，教師需要在教學(xué)中有意識的滲透數(shù)學(xué)思想文化，形成思維的厚度，方能保證思維深刻的長盛不衰。以“數(shù)系的擴(kuò)充”為例，學(xué)生要深刻理解復(fù)數(shù)的概念，實現(xiàn)由實數(shù)向復(fù)數(shù)的擴(kuò)充，關(guān)鍵是要讓學(xué)生體會虛數(shù)單位的形成、發(fā)展過程，而數(shù)的發(fā)展本身就有著豐富的文化內(nèi)涵，教師如果視而不見，那么最終呈現(xiàn)的教學(xué)就是“外強(qiáng)中干”，空有形式，抓不到本質(zhì)。階段1提煉問題本質(zhì)，形成抽象思想問題將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40，則這兩個數(shù)分別是多少？數(shù)學(xué)史片段1事實上，這個問題正是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡丹遇到的問題，當(dāng)時他正在研究數(shù)的拆分。然而，作為一名數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)這樣一個簡單的方程沒有解。他并不甘心，希望通過自己深入的研究來解決這個問題?！翱ó?dāng)問題”的引入，讓學(xué)生面臨與數(shù)學(xué)家一樣的困難，即方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。學(xué)生解決問題的關(guān)鍵就是弄清楚現(xiàn)有問題與傳統(tǒng)觀念的沖突是什么，即提煉問題本質(zhì)，這個過程實質(zhì)上就是對問題本質(zhì)進(jìn)行抽象概括。階段2回顧數(shù)系擴(kuò)充，體會數(shù)學(xué)文化為了解決學(xué)生思維上“負(fù)數(shù)不能開平方”的矛盾，讓方程有解，就必須擴(kuò)充數(shù)的范圍，于是，使“學(xué)生回顧數(shù)系擴(kuò)充歷程”這一教學(xué)活動就可以順勢展開。問題組問題1在過去的學(xué)習(xí)過程中有沒有遇到過類似的問題？問題2當(dāng)時又是如何解決這些問題的呢？數(shù)學(xué)史片段2古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史。數(shù)學(xué)史片段3數(shù)學(xué)家歐拉首先使用表示這個新元素，并取名為虛數(shù)單位，但是，他仍認(rèn)為這個新數(shù)過于虛渺，于是，就將英文imaginary的首字母定義為的一個平方根。新元素新元素新元素自然數(shù)集新元素新元素新元素自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集？添加添加添加添加添加添加？？圖SEQ圖\*ARABIC7由問題1和問題2，學(xué)生思維得到啟發(fā)，朝著這個方向通過自己的回顧總結(jié)、小組交流也能知道：數(shù)系的每一次擴(kuò)充都是通過新元素的引入去回答舊數(shù)系不能回答的問題。因此，對于實數(shù)集中方程無解問題，引入新元素的過程自然水到渠成。后通過數(shù)學(xué)史片段的呈現(xiàn)證實數(shù)學(xué)家也是這樣想、這樣做的，使學(xué)生能夠沿著數(shù)學(xué)家思考問題的方向思考，產(chǎn)生文化共鳴，理解虛數(shù)單位的深刻意義。5總結(jié)以上我們分析了如何從思維的四“度”入手去提升學(xué)生思維的深刻性、發(fā)展抽象素養(yǎng)，并給出了四條教學(xué)策略作為“四度”思考的實踐補充。學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng)是一個細(xì)水流長的過程，作為教師，一定是這個長期工程的主力軍。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)境中，教師教學(xué)的著力點應(yīng)放在如何將數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練滲透在課堂教