2024-2025學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市高三上冊(cè)第二次月考（10月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次月考（10月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（

）A．0或 B． C． D．4．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則//D．若，則5．已知圓C:過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．36．函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．7．已知平行四邊形中，，，分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，若，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．28．已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（）A．B． C． D．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=gx的圖象，且y=gx在上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)正確的是（

A．B．為圖象的一條對(duì)稱軸C．t可以等于5D．t的最小值為211．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意有，其中；當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為上的單調(diào)遞增函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)只有一個(gè)非負(fù)零點(diǎn)D．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)在處取極小值三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若，則_________13．已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個(gè)側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為.則該正四棱錐體積是___________.14．已知an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于，定義集合，設(shè)為集合中元素的個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定.（1）若，則___________；（2）若數(shù)列bn是等差數(shù)列，則數(shù)列an的前50項(xiàng)之和為四．解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程演算步驟.15．（13分）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求.16．（15分）已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求；(2)若，則面積為，求的值.D17．（15分）如圖所示，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是所在棱的中點(diǎn).D（1）在線段上找一點(diǎn)使得平面∥平面，給出點(diǎn)的位置并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.18．（17分）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為正的直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，①過(guò)作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線的方程．19．（17分）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：．?dāng)?shù)學(xué)試題答案1．D【詳解】∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，即，∴.2．A【詳解】因?yàn)椋裕?，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A3．B【詳解】成等差數(shù)列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故選：B.4．C【詳解】對(duì)A：若，則的位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則的位置關(guān)系不確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則//，故C正確；對(duì)D：若，則的位置關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．C【詳解】如圖所示：連接，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，，故的最小值為.6．B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，因?yàn)?，所以，所以只有B符合.7．A【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，所以，所以，從而，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，四邊形面積的表達(dá)式為，從而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以四邊形面積的最大值為.故選：A.8．C（自己看著辦）9．AC【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為-3，C選項(xiàng)中的直線斜率符合；當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為，B選項(xiàng)中的直線斜率符合.故選：AC10．BD【詳解】由函數(shù)圖象，可得，所以，所以，解得，又由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，可得；?dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，不存在，舍去，綜上可得，，，所以，所以A不正確.易知B正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則滿足．解得，當(dāng)時(shí)，，而，故不可能等于5，所以C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以D正確．故選：BD.11．ABC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，且，，，即，故單調(diào)遞增，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，是定義在R上的函數(shù)，取，則，取，則，即f?x=?fx故是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D，設(shè)，代入，得，其中D選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取極大值，無(wú)極小值,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；其中C選項(xiàng)，函數(shù)，其中，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在區(qū)間，和上各至少存在一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；12．1．13．【詳解】設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)在側(cè)面上的投影為點(diǎn)，則點(diǎn)在上，且，，球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離為，所以，，解得，所以.14.【正確答案】3210【詳解】（1）由題可知，，又因?yàn)?，所以，；?）由題可知，所以，所以.若，則，，所以，，與是等差數(shù)列矛盾.所以.設(shè)，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.假設(shè)存在使得.設(shè)，由得.由，得，，與為等差數(shù)列矛盾.所以對(duì)任意都有.所以數(shù)列是等差數(shù)列，.所以.故答案為:3.21015．(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，即，所以，令，可得，解得，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以的圖象公式為.（2）解：由（1）知，可得，所以，則.16【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，，又，，，，，，，.（2）面積為，，，，，由得，即，.17．（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，證明見解析，（2）.【詳解】（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，證明如下：連接，.因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)榉謩e是和的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又因?yàn)?，所以平面平?（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）可得二面角即.則，，.所以，.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫娴姆ㄏ蛄考雌矫娴姆ㄏ蛄?，設(shè)為，則.令，則.因?yàn)?，?所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，令，則.則.由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.18．(1)(2)①證明見解析；②【詳解】（1）依題意可得圓心到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離相等，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，又到直線的距離為，所心拋物線的方程為；（2）①設(shè)直線的方程為，，則的中點(diǎn)，由（1）可知，，聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，消去可得所以，，所以，又，所以，所以；②由①可得，代入，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，又線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，令，可得，所以，所以，所以，又的面積為4，所以，所以，解得，所以直線的主程為，即.19.【詳解】（1），由題意曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得；（