2024-2025學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前考生需將姓名、班級(jí)填寫在答題卡指定位置上，并粘貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)使用0.5毫米黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或在草稿紙、本試卷上書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄皺、弄破，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.2.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知復(fù)數(shù)且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B. C. D.4.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則的公差為（）A. B. C. D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.7.已知x，y正實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A.0 B.e C. D.1二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)任意復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C D.10.設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列命題中正確的是（）A.若，則數(shù)列有最小項(xiàng)B.若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的，均有D.若對(duì)任意的均有，則數(shù)列是遞減數(shù)列11.已知函數(shù)，下列命題正確的有（）A.在上單調(diào)遞增B.在上存在兩個(gè)零點(diǎn)C.在上存在三個(gè)極小值點(diǎn)D.函數(shù)為周期函數(shù)，且可為周期三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．13.函數(shù)最小正周期為______．14.已知向量，滿足，則的最大值與最小值之和為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．16.記內(nèi)角的對(duì)邊分別為為銳角，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)在處的切線與?x在處的切線相同時(shí)，求的最小值；（2）設(shè)，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，恒成立，求的取值范圍．19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，公比，前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為中的項(xiàng)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）否存在使得，若存在有幾個(gè)，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．2024-2025學(xué)年黑龍江省雙鴨山市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前考生需將姓名、班級(jí)填寫在答題卡指定位置上，并粘貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)使用0.5毫米黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或在草稿紙、本試卷上書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄皺、弄破，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，，得，而，所以.故選：B.2.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，立意充分性、必要性的定義即可得出答案.【詳解】充分性：若且可以得且，故充分性成立，必要性：若，可得同號(hào)，又，可得“且”，故必要性成立，所以“且”是“且”的充分必要條件.故選：C．3.已知復(fù)數(shù)且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)和乘法運(yùn)算表示出，由其為實(shí)數(shù)待定即可.【詳解】由為實(shí)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)，則，由為實(shí)數(shù)，所以所以，故選：C．4.已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由模的平方得數(shù)量積與的關(guān)系，再代入投影向量公式可得.【詳解】因?yàn)槠椒降茫?又，則化簡(jiǎn)得，故在方向上的投影向量是.故選：D．5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則的公差為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，，即可求解.【詳解】因?yàn)?，得到，又，所以，所以，故選：A．6.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將已知等式平方后再結(jié)合同角的三角函數(shù)和二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；【詳解】由兩邊平方得，所以，所以所以．故選：A．7.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合理運(yùn)算、化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，故A,B,C都不成立，因?yàn)椋蔇正確.故選：D8.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A.0 B.e C. D.1【正確答案】A【分析】設(shè)零點(diǎn)為，則在直線上，根據(jù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，利用導(dǎo)數(shù)求解可得.【詳解】設(shè)零點(diǎn)為，則，在直線上，的幾何意義為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其最小值為原點(diǎn)到直線的距離的平方，，設(shè)且，，所以在單調(diào)遞減，所以．故選：A．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用導(dǎo)數(shù)求解即可.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)任意復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，(x，yR)，故A正確：對(duì)于B，，故B不正確：對(duì)于C，不一定成立，故C不正確：對(duì)于D，，故D正確.故選：AD.10.設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列命題中正確的是（）A.若，則數(shù)列有最小項(xiàng)B.若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的，均有D.若對(duì)任意的均有，則數(shù)列是遞減數(shù)列【正確答案】ABD【分析】由及二次函數(shù)的性質(zhì)知AB正確，舉反例可說明C錯(cuò)誤；D利用遞減數(shù)列定義證明即可得.【詳解】由題意得.設(shè)，，A項(xiàng)，由，則函數(shù)圖象開口向上，有最小值，又，為圖象上離散的點(diǎn)，故也有最小項(xiàng)，故A正確；B項(xiàng)，由題意得，，假設(shè)，則函數(shù)圖象開口向下，則當(dāng)，則無最小項(xiàng)，與已知數(shù)列有最小項(xiàng)矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤.所以，若數(shù)列有最小項(xiàng)，則，故B正確；C項(xiàng)，舉個(gè)例子，數(shù)列：，其通項(xiàng)公式為，則對(duì)任意恒成立，故是遞減數(shù)列，但，不滿足，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由任意的，均有，則，且對(duì)任意恒成立，且，故，所以，從而是遞減數(shù)列，故D正確.故選：ABD．11.已知函數(shù)，下列命題正確的有（）A.在上單調(diào)遞增B.在上存在兩個(gè)零點(diǎn)C.在上存在三個(gè)極小值點(diǎn)D.函數(shù)為周期函數(shù)，且可為周期【正確答案】BC【分析】AD項(xiàng)取特值則可說明錯(cuò)誤；B項(xiàng)換元法求解方程，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得；C項(xiàng)利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化分析函數(shù)的單調(diào)性，列表求極值點(diǎn)即可得.【詳解】，.A項(xiàng)，，在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，令，，則由，即，，解得（舍），，方程有兩個(gè)實(shí)根，故B正確；C項(xiàng)，.則，令，得，又方程在有兩個(gè)根，不妨設(shè)，則，，方程有三個(gè)根為，方程有兩根.的變化情況如下表，

極小

極小

極小

所以的極小值點(diǎn)為，故C正確；D項(xiàng)，由，則，所以為周期函數(shù).又，，，所以不是函數(shù)的周期，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．【正確答案】0【分析】取特值求出，然后驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，即，所以．當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以.故013.函數(shù)的最小正周期為______．【正確答案】【分析】由余弦二倍角公式及兩角和差余弦公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】，所以函數(shù)fx的最小正周期為.故14.已知向量，滿足，則的最大值與最小值之和為__________．【正確答案】【分析】令，，，通過平方和三角換元得到，再借助輔助角公式即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，且，設(shè)，其中，，則，當(dāng)，時(shí)取得最大值，當(dāng)即，時(shí)取得最小值4，所以最大值與最小值之和為．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）已知求，利用公式求解，進(jìn)而利用已知關(guān)系求即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和.【小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，也適合綜上可得，.由，所以.【小問2詳解】由（1）知①②①②得，所以．16.記內(nèi)角的對(duì)邊分別為為銳角，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運(yùn)用正弦定理進(jìn)行角化邊，再用余弦定理計(jì)算出，進(jìn)而求出B；（2）先求出A,再得到，后用正弦定理計(jì)算得到，，最后用面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，，所以，因，所以，因?yàn)?，所?小問2詳解】，得，由，得．17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明.【正確答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析【分析】（1），令，分別討論，，，解不等式或即可得單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，進(jìn)而可得單調(diào)性.（2）設(shè)分別求，利用導(dǎo)數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，求出即可求證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，，令，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，0,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，【小問2詳解】由可得，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，設(shè)，則，由即可得；由即可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以對(duì)任意的0,+∞恒成立.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)在處的切線與?x在處的切線相同時(shí)，求的最小值；（2）設(shè)，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）1（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出在處的切線方程和在處切線方程，結(jié)合條件，得到，即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)間的關(guān)系，先求出，再對(duì)有無零點(diǎn)進(jìn)行討論，當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)零點(diǎn)為時(shí)，結(jié)合題知必為的零點(diǎn)，從而得到，進(jìn)而求出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)間的關(guān)系，即可求解；當(dāng)無零點(diǎn)時(shí)，由題有，再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可求出，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以在處的切線方程為，又，，所以在處切線方程為，所以，，得到，又，所以的最小值為1．【小問2詳解】因?yàn)?，則，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，，（i）當(dāng)，即時(shí)，在上的兩個(gè)零點(diǎn)為，同時(shí)它們恰好為的零點(diǎn)．，即，又，則，此時(shí)，令，則，所以單調(diào)遞減，且時(shí)，，則，故．（ii），即時(shí)，在上，此時(shí)只需，即即可．此時(shí)，令，則，即在區(qū)間遞減，所以，又，故．綜上所述，的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問，先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求得，再將問題轉(zhuǎn)化為討論有零點(diǎn)和無零點(diǎn)兩種情況，當(dāng)有零點(diǎn)，求得，從而有，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果；當(dāng)無零點(diǎn)時(shí)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及，即可求解.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，公比，前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為中的項(xiàng)滿足．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）是否存在使得，若存在有幾個(gè)，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【正確答案】（1）1；（2）1個(gè)，理由見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出