2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（一）一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．13．已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過(guò)（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，若四邊形的周長(zhǎng)為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的最大值為（

）A．12 B． C．6 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的一個(gè)方向向量是B．若，則C．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2,1D．直線斜率取值范圍是10．已知圓，點(diǎn)Px0,y0是圓上的點(diǎn)，直線，則（A．直線與圓相交弦長(zhǎng)B．圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于C．的最大值是D．過(guò)點(diǎn)向圓引切線，為切點(diǎn)，則最小值為11．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過(guò)圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．若點(diǎn)在橢圓上，將直線的斜率分別記為，則C．點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離的最小值為D．面積的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓與圓的交點(diǎn)為，則直線方程為．13．已知點(diǎn)在圓外（其中為常數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓，點(diǎn)Ax0,y0為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B4,0，點(diǎn)(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)點(diǎn)是軌跡上任一點(diǎn)，求的取值范圍．16．已知在中，邊上的高所在直線的方程為邊上的中線所在直線的方程為．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的外接圓方程．17．已知圓和點(diǎn)．(1)過(guò)作圓的切線，求切線的方程；(2)過(guò)作直線交圓于點(diǎn)兩個(gè)不同的點(diǎn)，且不過(guò)圓心，再過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求的值．18．已知橢圓，點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，(1)若為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線的斜率為，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)．19．已知是橢圓E:x2a2+(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】由橢圓方程知橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2．【正確答案】B【詳解】直線的斜率，解得.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】，，得，定點(diǎn)在第一象限，則直線一定經(jīng)過(guò)第一象限故選：A4．【正確答案】C【詳解】由橢圓定義得：，又因?yàn)?，所以解得：，再由于，，結(jié)合勾股定理可得：，解得，所以橢圓的離心率為，故選：C.5．【正確答案】D【詳解】

由，得，所以曲線的圖像為如圖所示的半圓，令直線與圓相切，則有圓心O0,0到直線的距離為半徑，即，解得，如圖，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則取最大值時(shí)，直線與圓相切于第二象限，，取最小值時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)1,0，此時(shí)，所以的取值范圍是，.故選：D6．【正確答案】A【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長(zhǎng)為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)Ax1,y1所以四邊形的面積為，故選：A．

7．【正確答案】B【詳解】設(shè)以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，則其方程為，則點(diǎn)A、B，點(diǎn)P在該圓上，當(dāng)兩圓用公共點(diǎn)時(shí)，圓上一定存在點(diǎn)，使得，由圓，則圓心，半徑，，則，解得.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】根據(jù)已知有，圓心O0,0，半徑，因?yàn)橄?，所以圓心到所在直線的距離，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以有，所以的軌跡為圓心為O0,0，半徑為的圓，的軌跡方程為；令直線為，則到直線的距離為，則，即，所以當(dāng)最大時(shí)，也取得最大值，由此可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值的2倍，設(shè)圓心O0,0到直線的距離為，則，所以，所以的最大值為6.故選：C9．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由題可知，，直線的方程為，設(shè)，則，由得，，解得，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故，故C正確；對(duì)于D，，由圖可知，直線斜率取值范圍是，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．

10．【正確答案】AD【詳解】

如圖所示，由已知圓，則圓心O0,0，半徑，A選項(xiàng)：圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，，所以圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：可表示點(diǎn)Px0,y易知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線，即，則，解得，所以，其最大值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由圓可知圓心，半徑，由切線長(zhǎng)可知，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，依題意，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，

所以，得，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，所以面積的最大值為，故D正確；對(duì)于C，設(shè)，橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，即，所以，又，所以，所以則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；對(duì)于B，由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，故B正確；故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】，兩圓方程相減可得.故13．【正確答案】或【詳解】根據(jù)題意圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，方程表示圓，則，整理有，解得；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，則有，解得或；以上兩個(gè)集合取交集，得：或.故答案為；或.14．【正確答案】【詳解】令，則，由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn)的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)，則，則，整理得又因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因此當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，取等號(hào)，所以最小為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)題意有，即，又因?yàn)辄c(diǎn)Ax0,y0整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為的圓.（2）令，則有，為直線的縱截距，由題意可知，直線與圓有交點(diǎn)的情況下，直線的縱截距越大，越大；直線的縱截距越小，越小.由圖可知，令直線與圓相切，此時(shí)圓心到直線的距離為半徑，由此可得，解得，所以的取值范圍為.16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€的方程為，所以，則直線的方程為，即，由得，，所以，設(shè)，則點(diǎn)中點(diǎn)為，所以，解得，即．（2）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段的垂直平分線方程為，即，同理可得線段的垂直平分線方程為，由得，，所以的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，所以的外接圓方程為．17．【正確答案】(1)或(2)1【詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線為：圓心到直線距離，解得：，則，整理得：綜上所述：切線方程為：或（2）設(shè)，由，則，即即，又∵故，同理直線：，點(diǎn)在直線上，∴18．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，消去可得，，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，又，解得，符合題意；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，所以，所以，則，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去可得，，，則，將韋達(dá)定理代入上式并化簡(jiǎn)可得，即，舍，所以，所以直線，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，綜合以上可知直線過(guò)定點(diǎn).19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓E:x2a2+即，整理可得，由橢圓過(guò)，則，整理可得，化簡(jiǎn)可得，由，則（舍去），所以，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線與軸重合，，將代入橢圓方程，可得，解得，則，四邊形的面積；易知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，四邊形的面積；當(dāng)兩直線都存在時(shí)，設(shè)直線，直線，設(shè)Ax1,y1，則，，同理可得，四邊形的面積，由，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，由，，，則；綜上所述，四邊形的面積的取值范圍為.2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（二）一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：D解：由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：D.3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A解：當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)到的距離為，則（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，且點(diǎn)到的距離為，可得，即，解得或.故選：C.5．已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．6．直線過(guò)點(diǎn)，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：設(shè)直線：，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.7．如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面體中，，因?yàn)?，，，，所以，所以，即的長(zhǎng)為.故選：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)AF與CC1的延長(zhǎng)線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過(guò)E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點(diǎn)，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長(zhǎng)為.故選：B.9．下列命題中正確的是（

）A．若向量滿足，則向量的夾角是鈍角B．若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面C．若向量是空間的一個(gè)基底，若向量，則也是空間的一個(gè)基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為答案：BC解：對(duì)A：若，則向量的夾角是鈍角或向量反向共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，即有，故四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)C：假設(shè)不是空間中的一個(gè)基底，則存在實(shí)數(shù)，使，即，由向量是空間的一個(gè)基底，則向量不共面，故不存在這樣的實(shí)數(shù)，即是空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)D：設(shè)直線與平面所成角為，則，由題意可得，，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．以下四個(gè)命題為真命題的是（）A．過(guò)點(diǎn)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．直線與直線之間的距離是D．直線恒過(guò)定點(diǎn)答案：BD解：對(duì)于A，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對(duì)于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，由，解得，所以定點(diǎn)為，故D正確.故選：BD.11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大答案：CD解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，由，，所以，解得，即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線NQ與SA所成的角為，由，，所以，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接；設(shè)，因?yàn)椋援?dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值2，又點(diǎn)N到平面AMQ的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上解題思路知：，，若是面QMN的法向量，則，令，則，得，因?yàn)?，設(shè)直線DC與平面QMN所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由0到2變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：CD.三、填空題12．已知，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是．答案：解：因?yàn)?，，所以，向量在上的投影向量是，其坐?biāo)為.故答案為.13．當(dāng)點(diǎn)到直線l：距離的最大值時(shí)，直線l的一般式方程是．答案：解：解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過(guò)點(diǎn)，所以P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故．14．離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，……，k，）為多面體的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以P為公共點(diǎn)的面.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，頂點(diǎn)S在底面的射影O為的中點(diǎn).若該四棱錐在S處的離散曲率，則直線與平面所成角的正弦值為.

答案：解：由題意可知，四棱錐的四個(gè)側(cè)面三角形全等，則，因?yàn)樗睦忮F在處的離散曲率，則，，設(shè)，則，又，則，而，所以，解得，作于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槭钦切危?，作于，則，且，則，連接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，則平面，所以即是直線與平面所成角，則.故答案為.

四、解答題15．已知直線，.(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，直線l過(guò)m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，則，解得或；（2）由解得，即m與n的交點(diǎn)為.當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，所以直線l的方程為；當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.16．已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.(1)求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積．答案：(1)，，(2).解：（1）由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，所以直線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

（2）由（1）得，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．(1)求證：平面．(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，的值為.解：(1)因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，所以平?(2)假設(shè)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，取中點(diǎn)，連接，，如下圖：因?yàn)?，，所以，，從而，故平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由題意可知，，，，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，故，，所以，故，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，，從而平面的法向量可以取，因?yàn)槠矫妫?，解得，，故假設(shè)