2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（一）一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的焦點坐標為（

）A． B． C． D．2．已知直線的傾斜角為，則實數(shù)（

）A． B． C． D．13．已知直線的方程是，則對任意的實數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是點關(guān)于原點的對稱點，若四邊形的周長為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知是圓上的兩個動點，且，點是線段的中點，則的最大值為（

）A．12 B． C．6 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．直線的一個方向向量是B．若，則C．點關(guān)于直線對稱點的坐標為2,1D．直線斜率取值范圍是10．已知圓，點Px0,y0是圓上的點，直線，則（A．直線與圓相交弦長B．圓上恰有個點到直線的距離等于C．的最大值是D．過點向圓引切線，為切點，則最小值為11．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．若點在橢圓上，將直線的斜率分別記為，則C．點到橢圓的左焦點的距離的最小值為D．面積的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓與圓的交點為，則直線方程為．13．已知點在圓外（其中為常數(shù)），則實數(shù)的取值范圍14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知為上一動點，則的最小值為．

四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓，點Ax0,y0為圓上任意一點，點B4,0，點(1)求點的軌跡方程；(2)點是軌跡上任一點，求的取值范圍．16．已知在中，邊上的高所在直線的方程為邊上的中線所在直線的方程為．(1)求兩點的坐標；(2)求的外接圓方程．17．已知圓和點．(1)過作圓的切線，求切線的方程；(2)過作直線交圓于點兩個不同的點，且不過圓心，再過點分別作圓的切線，兩條切線交于點，求的值．18．已知橢圓，點為橢圓上頂點，直線與橢圓相交于兩點，(1)若為的中點，為坐標原點，，求實數(shù)的值；(2)若直線的斜率為，且，證明：直線過定點，并求定點坐標．19．已知是橢圓E:x2a2+(1)求橢圓的標準方程；(2)經(jīng)過點的直線，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】由橢圓方程知橢圓焦點在軸上，，，，焦點坐標為.故選：A.2．【正確答案】B【詳解】直線的斜率，解得.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】，，得，定點在第一象限，則直線一定經(jīng)過第一象限故選：A4．【正確答案】C【詳解】由橢圓定義得：，又因為，所以解得：，再由于，，結(jié)合勾股定理可得：，解得，所以橢圓的離心率為，故選：C.5．【正確答案】D【詳解】

由，得，所以曲線的圖像為如圖所示的半圓，令直線與圓相切，則有圓心O0,0到直線的距離為半徑，即，解得，如圖，若直線與曲線有公共點，則取最大值時，直線與圓相切于第二象限，，取最小值時，直線過點1,0，此時，所以的取值范圍是，.故選：D6．【正確答案】A【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)Ax1,y1所以四邊形的面積為，故選：A．

7．【正確答案】B【詳解】設(shè)以原點為圓心，以為半徑作圓，則其方程為，則點A、B，點P在該圓上，當兩圓用公共點時，圓上一定存在點，使得，由圓，則圓心，半徑，，則，解得.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】根據(jù)已知有，圓心O0,0，半徑，因為弦，所以圓心到所在直線的距離，又因為為的中點，所以有，所以的軌跡為圓心為O0,0，半徑為的圓，的軌跡方程為；令直線為，則到直線的距離為，則，即，所以當最大時，也取得最大值，由此可將問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值的2倍，設(shè)圓心O0,0到直線的距離為，則，所以，所以的最大值為6.故選：C9．【正確答案】ABC【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由題可知，，直線的方程為，設(shè)，則，由得，，解得，所以，故B正確；對于C，設(shè)點關(guān)于直線對稱點的坐標為，則，解得，故，故C正確；對于D，，由圖可知，直線斜率取值范圍是，故D錯誤；故選：ABC．

10．【正確答案】AD【詳解】

如圖所示，由已知圓，則圓心O0,0，半徑，A選項：圓心到直線的距離，則弦長為，A選項正確；B選項：，，所以圓上恰有個點到直線的距離等于，B選項錯誤；C選項：可表示點Px0,y易知當直線與圓相切時，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線，即，則，解得，所以，其最大值為，C選項錯誤；D選項：由圓可知圓心，半徑，由切線長可知，所以當取得最小值時，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項正確；故選：AD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，

所以，得，所以橢圓的離心率，故A錯誤；對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，所以面積的最大值為，故D正確；對于C，設(shè)，橢圓的左焦點為，連接，因為，即，所以，又，所以，所以則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；對于B，由直線經(jīng)過坐標原點，易得點關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，故B正確；故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】，兩圓方程相減可得.故13．【正確答案】或【詳解】根據(jù)題意圓，化為標準方程為：，方程表示圓，則，整理有，解得；又因為點在圓外，則有，解得或；以上兩個集合取交集，得：或.故答案為；或.14．【正確答案】【詳解】令，則，由題意可得圓是關(guān)于點的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)，則，則，整理得又因為，所以，解得，所以點的坐標為，所以，因此當點在同一條直線上時，取等號，所以最小為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)Mx,y，根據(jù)題意有，即，又因為點Ax0,y0整理得，即，所以點的軌跡為圓心為，半徑為的圓.（2）令，則有，為直線的縱截距，由題意可知，直線與圓有交點的情況下，直線的縱截距越大，越大；直線的縱截距越小，越小.由圖可知，令直線與圓相切，此時圓心到直線的距離為半徑，由此可得，解得，所以的取值范圍為.16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為邊上的高所在直線的方程為，所以，則直線的方程為，即，由得，，所以，設(shè)，則點中點為，所以，解得，即．（2）因為，，所以的中點坐標為，，所以線段的垂直平分線方程為，即，同理可得線段的垂直平分線方程為，由得，，所以的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，所以的外接圓方程為．17．【正確答案】(1)或(2)1【詳解】（1）當斜率不存在時，顯然與圓相切；當斜率存在時，設(shè)切線為：圓心到直線距離，解得：，則，整理得：綜上所述：切線方程為：或（2）設(shè)，由，則，即即，又∵故，同理直線：，點在直線上，∴18．【正確答案】(1)(2)證明見解析；定點坐標【詳解】（1）當時，，設(shè)，，消去可得，，，由中點坐標公式可得，，又，解得，符合題意；（2）當直線的斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，因為點為橢圓上頂點，所以，所以，則，所以，當直線的斜率存在時，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去可得，，，則，將韋達定理代入上式并化簡可得，即，舍，所以，所以直線，此時直線過定點，綜合以上可知直線過定點.19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓E:x2a2+即，整理可得，由橢圓過，則，整理可得，化簡可得，由，則（舍去），所以，，橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，則直線與軸重合，，將代入橢圓方程，可得，解得，則，四邊形的面積；易知當直線的斜率不存在時，四邊形的面積；當兩直線都存在時，設(shè)直線，直線，設(shè)Ax1,y1，則，，同理可得，四邊形的面積，由，則，所以，，當且僅當時，等號成立，令，則，由，，，則；綜上所述，四邊形的面積的取值范圍為.2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（二）一、單選題1．在空間直角坐標系中，點關(guān)于x軸對稱的點坐標是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標為.故選：C.2．若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設(shè)向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（

）A． B． C． D．答案：D解：由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標為.故選：D.3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A解：當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，若點到的距離為，則（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由點在平面內(nèi)，若點，可得，因為平面的一個法向量，且點到的距離為，可得，即，解得或.故選：C.5．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，因為直線l過點，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．6．直線過點，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：設(shè)直線：，，因為直線過點，所以，即，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.7．如圖，在平行六面體中，，，，則的長為（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面體中，，因為，，，，所以，所以，即的長為.故選：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長為（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為.故選：B.9．下列命題中正確的是（

）A．若向量滿足，則向量的夾角是鈍角B．若是空間的一組基底，且，則四點共面C．若向量是空間的一個基底，若向量，則也是空間的一個基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為答案：BC解：對A：若，則向量的夾角是鈍角或向量反向共線，故A錯誤；對B：，即有，故四點共面，故B正確；對C：假設(shè)不是空間中的一個基底，則存在實數(shù)，使，即，由向量是空間的一個基底，則向量不共面，故不存在這樣的實數(shù)，即是空間的一個基底，故C正確；對D：設(shè)直線與平面所成角為，則，由題意可得，，則，故D錯誤.故選：BC.10．以下四個命題為真命題的是（）A．過點且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．直線與直線之間的距離是D．直線恒過定點答案：BD解：對于A，當直線過原點時，方程為，當直線不過原點時，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯誤；對于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯誤；對于D，由，得，由，解得，所以定點為，故D正確.故選：BD.11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（

）A．不存在點，使得B．存在點，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大答案：CD解：以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，，對于A，假設(shè)存在點，使得，由，，所以，解得，即點Q與D重合時，，A錯誤；對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線NQ與SA所成的角為，由，，所以，方程無解；所以不存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為，B錯誤；對于C，連接；設(shè)，因為，所以當，即點Q與點D重合時，取得最大值2，又點N到平面AMQ的距離，所以，C正確；對于D，由上解題思路知：，，若是面QMN的法向量，則，令，則，得，因為，設(shè)直線DC與平面QMN所成的角為，，所以，當點Q自D向C處運動時，的值由0到2變大，此時也逐漸增大，因為在為增函數(shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：CD.三、填空題12．已知，則向量在上的投影向量的坐標是．答案：解：因為，，所以，向量在上的投影向量是，其坐標為.故答案為.13．當點到直線l：距離的最大值時，直線l的一般式方程是．答案：解：解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過點，所以P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故．14．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設(shè)P為多面體的一個頂點，定義多面體在點P處的離散曲率為，其中（，2，……，k，）為多面體的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以P為公共點的面.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，頂點S在底面的射影O為的中點.若該四棱錐在S處的離散曲率，則直線與平面所成角的正弦值為.

答案：解：由題意可知，四棱錐的四個側(cè)面三角形全等，則，因為四棱錐在處的離散曲率，則，，設(shè)，則，又，則，而，所以，解得，作于，則為的中點，因為是正三角形，所以，作于，則，且，則，連接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，則平面，所以即是直線與平面所成角，則.故答案為.

四、解答題15．已知直線，.(1)若坐標原點O到直線m的距離為，求a的值；(2)當時，直線l過m與n的交點，且它在兩坐標軸上的截距相反，求直線l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）設(shè)原點O到直線m的距離為，則，解得或；（2）由解得，即m與n的交點為.當直線l過原點時，此時直線斜率為，所以直線l的方程為；當直線l不過原點時，設(shè)l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.16．已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.(1)求直線的方程和點C的坐標；(2)求的面積．答案：(1)，，(2).解：（1）由點在上，設(shè)點的坐標是，則的中點在直線上，于是，解得，即點，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，即，顯然點在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點，所以直線的方程為，點C的坐標為.

（2）由（1）得，點到直線的距離，所以的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．(1)求證：平面．(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．答案：(1)證明見解析；(2)存在，的值為.解：(1)因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，所以平面.(2)假設(shè)在棱上是否存在點，使得平面，取中點，連接，，如下圖：因為，，所以，，從而，故平面，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，以為坐標原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，如下圖：由題意可知，，，，，設(shè)，因為點在棱上，故，，所以，故，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，，從而平面的法向量可以取，因為平面，所以，解得，，故假設(shè)