2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上冊(cè)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題1．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．2．，若則（

）A．6 B．7 C．8 D．93．已知點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍（

）A． B．C． D．4．在空間四邊形ABCD中，，設(shè)，若向量，則（

）A． B．0 C． D．5．點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為α，則（

）A． B． C． D．6．在三棱柱中，若是等邊三角形，E為的中點(diǎn)，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，在圓上，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則使得是面積為的等邊三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．8．，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題9．已知直線（

）A．若，則或2B．原點(diǎn)O到直線的最大距離為C．若，則或D．不過(guò)第二象限則10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)的點(diǎn)M的軌跡是圓，已知點(diǎn)，M是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為B．面積的最大值為C．點(diǎn)M到直線的距離的最大值為D．若M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P，E分別為AB，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．對(duì)任意的點(diǎn)N，一定存在點(diǎn)M，使得B．向量，，共面C．異面直線PM和所成角的最小值為D．存在點(diǎn)M，使得直線PM與平面所成角為三、填空題12．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面方程為，現(xiàn)給出平面的方程為，平面的方程為，則平面α、β成角的余弦值為．13．設(shè)，若過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)P（P與A，B不重合），則的最大值為．14．在三棱錐中，且．記直線與平面所成角分別為，已知，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，的長(zhǎng)為．四、解答題15．已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CM所在直線方程為，邊AC的高BH所在直線方程為，求：(1)B點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，被AB上的中線CM反射，反射光線過(guò)，求反射光線所在的直線方程．16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段AB，的中點(diǎn)．(1)求F點(diǎn)到的距離(2)求點(diǎn)F到平面的距離：(3)若平面與平面交于直線l，求二面角的余弦值．17．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱平面，且，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DP上的點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，證明：平面．(2)判斷是否存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，若存在，求出λ，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．已知直線，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.(1)求圓C的方程；(2)直線與圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)在y軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得y軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個(gè)不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓(1)求圓C與圓M的根軸l；(2)已知點(diǎn)P為根軸l上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；(3)給出定點(diǎn)，設(shè)N，Q分別為根軸和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).答案：題號(hào)12345678910答案CCDCCCACBCACD題號(hào)11答案BCD1．C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，進(jìn)而求出傾斜角即可計(jì)算作答.【詳解】直線的斜率為，而直線l與直線垂直，且為直線的傾斜角，于是得，而，則，計(jì)算可得.故選：C.2．C【分析】根據(jù)空間向量的平行性質(zhì)，列出方程組，解出的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)，則存在一個(gè)常數(shù)使得，所以可得，解之可得，所以.故選：C3．D【分析】求出PA，PB所在直線的斜率，判斷直線l的傾斜角與斜率的變化，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率滿足或，即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.故選：D.4．C【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，求出答案.【詳解】，故，所以.

故選：C5．C【分析】判斷兩圓位置關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，確定兩切線所成角最大時(shí)點(diǎn)位置，進(jìn)而由及二倍角余弦公式求值.【詳解】由圓可得圓心，半徑為2，由圓，可得圓心，半徑為，，即兩圓相離，示意圖如下，當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，兩切線所成角最大，此時(shí)，，則，所以，.

故選：C6．C【分析】若分別是的中點(diǎn)，，確定異面直線與所成角，即為所成角，利用空間向量的線性關(guān)系及數(shù)量積運(yùn)算律求得，在中應(yīng)用余弦定理求夾角余弦值.【詳解】由題設(shè)，易知四邊形都是菱形，且，E為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，且，則，且，又由三棱柱性質(zhì)可得，故異面直線與所成角，即為所成角，由，又是等邊三角形，所以，即，在中，故.顯然異面直線與所成角余弦值為.故選：C7．A【分析】由面積公式先得的長(zhǎng)，根據(jù)正三角形與圓的對(duì)稱性判定三點(diǎn)共線，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，由正三角形面積公式可知，得，由正三角形及圓的對(duì)稱性可知，，則三點(diǎn)共線，而，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，由圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)，即滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè).故選：A8．C【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C9．BC【分析】根據(jù)兩直線一般式平行和垂直滿足的系數(shù)關(guān)系，即可判斷AC，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離求解B，根據(jù)直線無(wú)斜率時(shí)，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則且，解得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于變形為，故其恒過(guò)點(diǎn)，因此原點(diǎn)O到直線的最大距離為,B正確，對(duì)于C，若，則，解得或，C正確，對(duì)于D，若不過(guò)第二象限，當(dāng)無(wú)斜率時(shí)，，此時(shí)直線為，滿足不經(jīng)過(guò)第二象限，故可以為0，故D錯(cuò)誤，故選：BC10．ACD【分析】對(duì)于A，設(shè)Mx,y，先由求出點(diǎn)M的軌跡方程，從而得點(diǎn)M的軌跡圓的半徑，再由圓的面積公式即可得解；對(duì)于B，先求出AB，接著求出圓心到直線的距離再加上半徑即為的高最大值，進(jìn)而可求面積最大值；對(duì)于C，求出圓心到直線的距離再加上半徑即為解；對(duì)于D，求出圓心到直線的距離d，令即可計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A，設(shè)Mx,y，因?yàn)?，所以，整理得即，所以點(diǎn)M的軌跡是圓心為，半徑為的圓，所以點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故A正確；對(duì)于B，，即，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)M到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以點(diǎn)M到直線的距離的最大值為，故C正確；對(duì)于D，圓心到直線的距離為，要使M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得.故D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法可判斷ACD的正誤，利用中位線和長(zhǎng)方體的性質(zhì)可判斷B的正誤.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，故，設(shè)，，，而，故即，故，若，則即，當(dāng)時(shí)，不存在，故當(dāng)為中點(diǎn)，不存在，使得，故A錯(cuò)誤.連接，則，由長(zhǎng)方體可得，故，故，，即，，共面，故B正確.，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，設(shè)，則，故，所以異面直線PM和所成角的范圍為，故直線PM和所成角的最小值為，故C正確.平面的法向量為，故，若直線PM與平面所成角為，則，故，所以或，故D正確.故選：BCD.思路點(diǎn)睛：空間位置關(guān)系中的最值問(wèn)題，可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，把角的最值問(wèn)題或存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或方程的解的問(wèn)題.12．0【分析】由定義可得：兩個(gè)平面的法向量，再利用向量的數(shù)量積公式可得兩個(gè)向量的夾角的余弦值即可求解.【詳解】由定義可得：平面:的法向量為，平面:的法向量為，所以兩個(gè)向量的夾角余弦值為：，所以平面所成角的余弦值0．故0．13．【分析】先求出定點(diǎn)和的坐標(biāo)，分析得到兩條直線互相垂直，從而得到，最后設(shè)，在直角三角形中將和表示為的式子，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.【詳解】可以轉(zhuǎn)化為，故直線過(guò)定點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為，故直線過(guò)定點(diǎn)，由和滿足，所以兩條直線互相垂直，可得，所以，可得，設(shè)為銳角，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為.14．【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，根據(jù)線面角定義并結(jié)合得到，建立直角坐標(biāo)系可以得到點(diǎn)的軌跡是圓，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，如下圖所示：由直線與平面所成角分別為，且，則，可得，于是，以為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：令，由，，可得，則，化簡(jiǎn)可得，因此點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)最小時(shí)，最小，即三棱錐的體積最小，此時(shí)，，而，易知，所以.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本體的關(guān)鍵是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的軌跡是圓，最后利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解.15．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)垂直設(shè)直線方程為，將代入，求出，求出直線方程，聯(lián)立直線與中線CM所在直線方程，求出，設(shè)，表達(dá)出，將兩者分別代入相應(yīng)的方程，聯(lián)立求出；（2）設(shè)關(guān)于中線CM對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則反射光線即為所在直線，由對(duì)稱性可得，從而得到反射光線方程.【詳解】（1）直線和直線垂直，故設(shè)直線方程為，將代入得，，解得，故直線方程為，聯(lián)立，解得，故，設(shè)，則，將代入中得，又在直線上，故，聯(lián)立與，解得，故；（2）設(shè)關(guān)于中線CM對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則反射光線即為所在直線，其中，解得，故，故反射光線方程為，即.16．(1)(2)(3)【分析】（1）對(duì)于求點(diǎn)到直線的距離，我們可以利用向量法，通過(guò)構(gòu)建向量關(guān)系，根據(jù)向量點(diǎn)積公式求出距離.（2）求點(diǎn)到平面的距離，可根據(jù)向量法，利用平面的法向量與點(diǎn)和平面上一點(diǎn)構(gòu)成的向量的關(guān)系來(lái)求解.（3）求二面角的余弦值，同樣利用向量法，先求出兩個(gè)平面的法向量，再根據(jù)法向量的夾角與二面角的關(guān)系求出二面角的余弦值.【詳解】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸.已知正方體棱長(zhǎng)為，則，，.可得，.設(shè)點(diǎn)到的距離為，根據(jù)向量積公式，先求在上的投影，.計(jì)算，，.則.根據(jù)距離公式，.（2）先求平面的法向量.已知，，，則，.設(shè)，由且，可得.令，解得，，所以.又，點(diǎn)到平面的距離.計(jì)算，.所以.（3）求二面角的余弦值因?yàn)槠矫媾c平面交于直線，，.根據(jù)正方體性質(zhì)，可知平面的法向量可取.已求得平面的法向量.設(shè)二面角為，則.計(jì)算，，.所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為，理由見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，即可證明；（2）根據(jù)已知條件EF與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法建立方程，即可求出的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)棱平面，底面為長(zhǎng)方形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以，，又因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，，即F為上的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)棱平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌鏋殚L(zhǎng)方形為，有，平面，，所以平面,所以為面的法向量.又因?yàn)椋?，又平面，所以平面．?）存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下：設(shè)Fx,y,z，所以，因?yàn)?，所以，，即所以，設(shè)平面的法向量為，由，，則有，解得，令，所以，所以，整理得，，解得，，故存在，使得EF與平面PCD所成角的正弦值為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)出圓心，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于2，確定圓心坐標(biāo)，即可得圓的方程.（2）根據(jù)題意得圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可求解.（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出方程與圓的方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，結(jié)合，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)軸時(shí)，利用y軸平分求得點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足的條件，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)圓心，則，解得或（舍），故圓的方程為．（2）由題意可知圓心到直線的距離為，則有，解得.（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，若y軸平分，則，即，即，即，即，即，當(dāng)時(shí)，上式恒成立，即；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知滿足題意；綜上，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，y軸平分.19．(1)；(2)；(3)的最小值為，此時(shí).【分析】（1）先求出圓C和圓M的圓心C和M以及半徑和，接著由列式化簡(jiǎn)即可得解.（2）先由題意求得，進(jìn)而結(jié)合求得取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，接著求出此時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程，從而求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即可得解.（3）先求出關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)，接著得，從而得與圓M和根軸l相交的點(diǎn)和使得最小，進(jìn)而求得的最小值，再由聯(lián)立根軸的方程即可求出.【詳解】（1）由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)為圓C與圓M的根軸l上的任意一點(diǎn)，則由題可得，即，整理得，即圓C與圓M的根軸l為直線.（2）由題意可知且，，設(shè)與相交于點(diǎn)H，則，又，所以，所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，又，所以取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，而PC取得最小值時(shí)，且該最小值為圓心C到根軸l的距離為，此時(shí)即，聯(lián)立，故此時(shí)，所以此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以線段為直徑的圓的方程為，即，則是該圓與圓C的公共弦，所以兩圓方程相減即為直線的方程為：即.（3）設(shè)關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，故，則由三角形兩邊之和大于第三邊可得，連接，則此時(shí)與圓M和根軸l相交的點(diǎn)和使得最小為，且此時(shí)即，聯(lián)立，即此時(shí)，所以的最小值為，此時(shí).關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解直線的方程的關(guān)鍵點(diǎn)1是將轉(zhuǎn)化為，從而求得取得最小值時(shí)亦即PC取得最小值時(shí)，進(jìn)而求出此時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)，關(guān)鍵點(diǎn)2是求出以線段為直徑的圓的方程，從而將直線的方程轉(zhuǎn)化為該圓與圓C的公共弦所在直線方程而得解.2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高二上學(xué)期第一次調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）A． B．C． D．2．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．已知P為該圓臺(tái)某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．5．將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．6．定義：已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．7．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是7，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為10．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，面積為，，下面關(guān)于函數(shù)和的描述正確的是（

）A．最大值為；B．在時(shí)取得極大值；C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深刻的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則.

13．已知數(shù)列滿足，，，且，則.14．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，四邊形為菱形，平面．

(1)證明：平面平面；(2)若，二面角的大小為120°，求PC與BD所成角的余弦值．18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，周長(zhǎng)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的方程；(2)直線與交于兩點(diǎn)，（i）求面積的最大值；（ii）設(shè)，試證明點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在正零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點(diǎn)，證明.1．D【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，分析元素x與各集合的關(guān)系，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解：在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素x，則且，即且，所以，陰影部分可表示為.故選：D.2．B【分析】根據(jù)題意，將題中的數(shù)據(jù)代入公式，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，三角形的周長(zhǎng)為12，則，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為16，所以三角形面積的最大值.故選：B3．C【分析】由題意得到，，結(jié)合得到方程，求出的值.【詳解】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C4．A【分析】利用側(cè)面展開(kāi)結(jié)合圖形求解最短距離.【詳解】P為圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)，分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，所以側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開(kāi)圖弦，，，有.故選：A5．A【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．6．B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B7．D【分析】利用多項(xiàng)式乘法法則對(duì)式子展開(kāi)，合并同類項(xiàng)即可得到系數(shù)的值.【詳解】由題意可知展開(kāi)式中含的項(xiàng)：∴,故選：D.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D9．ABD【分析】根據(jù)題意，由歐拉公式，利用復(fù)數(shù)的基本概念，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，其虛部為，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，故的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10．BCD【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計(jì)算公式，可判斷C的真假，結(jié)合全概率公式和條件概率計(jì)算公式，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)D：，所以.所以.故D正確.故選：BCD11．AD【分析】分情況作出截面，求截面的周長(zhǎng)和面積，進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，如圖：因?yàn)?，所以，所以：，?此時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，.當(dāng)時(shí)截面為六邊形，如圖：設(shè)，則所以六邊形的周長(zhǎng)為：為定值；做平面于，平面于.設(shè)平面與平面所成的角為，則易求.所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時(shí)，即.所以在上遞增，在上遞減.時(shí)，最大，為.當(dāng)時(shí)，易得：，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，，.綜上可知：AD是正確的，BC錯(cuò)誤.故選：AD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，如果堅(jiān)持用表示截面的周長(zhǎng)和面積，感覺(jué)比較麻煩，設(shè)，用表示截面的周長(zhǎng)和面積就省勁多了.12．##【分析】連接，則，根據(jù)給定條件及正八邊形的特征，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】在正八邊形中，連接，則，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故13．1【分析】先利用求得的值，再利用遞推公式可求.【詳解】當(dāng)?shù)?，又得，解?則，所以.故1.14．【分析】作出函數(shù)y=fx的圖象，根據(jù)圖象分析可知與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，可得，，代入可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)，且，令，可得，則，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為.方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．15．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)得，進(jìn)一步即可證明；（2）由題意首先求得的取值范圍，進(jìn)一步將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為只含有的式子即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．（2）因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是?6．(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項(xiàng)和，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【詳解】（1）由