2024-2025學(xué)年江西省宜春市高三上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位），且，則=（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.146.已知（其中為自然對數(shù)底數(shù)），，，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為（）A.1,+∞ B.C. D.8.已知正三棱錐，滿足，，，，點在底面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、多選題9.定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.D.圖象與的圖象所有交點的橫坐標之和為1210.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線過坐標原點上的點到兩定點的距離之積為定值.則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上的點到兩定點的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則三、填空題12.在展開式中，的系數(shù)為______．13.對于實數(shù)a，b，定義新運算：設(shè)函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為______．14.甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則______；______．四、解答題15.某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.滿意不滿意總計男游客35女游客15合計100（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施滿意與否與性別有關(guān)?（2）從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為.求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.01000052.7063.8416.6357.87916.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，求的長.17.如圖，在三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，點D為棱的中點，棱上的點M滿足平面，．（1）求線段AM的長；（2）若點E為棱BC的中點，且平面ABC，求直線與平面所成角的正弦值．18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，求的解析式；（2）當時，，求實數(shù)m的取值范圍；（3）判斷函數(shù)在的零點個數(shù)，并說明理由．19.已知拋物線：的焦點為，過點的直線與相交于點，，面積的最小值為（為坐標原點）.按照如下方式依次構(gòu)造點：的坐標為，直線，與的另一個交點分別為，，直線與軸的交點為，設(shè)點的橫坐標為.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由.2024-2025學(xué)年江西省宜春市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為全稱量詞命題，則其否定為.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位），且，則=（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)乘方求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)除法求出及共軛復(fù)數(shù).【詳解】依題意，，由，得，所以.故選：A3.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上單調(diào)遞增等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】求出函數(shù)的零點排除兩個選項，再求出函數(shù)的極大值，結(jié)合圖形即可判斷得解.【詳解】函數(shù)定義域為R，由，得或，即函數(shù)有兩個零點，BC錯誤；，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，D錯誤，A符合題意.故選：A5.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【正確答案】A【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計算即可.【詳解】先作出的大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個不等根，且有兩個整數(shù)根，有三個整數(shù)根，結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時符合題意，因為，當且僅當時取得等號，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時有兩個整數(shù)根或，而要滿足有三個整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當時有，則，解方程得的另一個正根為，又，此時五個整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A6.已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)的單調(diào)性可判斷大小，在構(gòu)造新函數(shù)，對其求導(dǎo)根據(jù)其單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)單調(diào)性，可判斷大小.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，可得，由在上遞增，可得，即，綜上可得.故選：A7.已知函數(shù)，則滿足x的取值范圍為（）A.1,+∞ B.C. D.【正確答案】B【分析】由奇偶函數(shù)的定義得出為偶函數(shù)，當時，令，由導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性進而得出在上單調(diào)遞增，根據(jù)抽象函數(shù)不等式解法求解即可．【詳解】由題意得，的定義域為，，因為，所以為偶函數(shù)，當時，令，則，因為和在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．由，得，所以，兩邊平方并整理，得，解得．故選：B．8.已知正三棱錐，滿足，，，，點在底面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)為等邊三角形的中心，求出，求出點到的距離可得點軌跡是以點為圓心以為半徑，且與的三邊各有2個交點的三段相等圓弧，求出圓弧所對的圓心角可得答案.【詳解】，設(shè)為等邊三角形的中心，則平面，連接，則，所以，，而點到的距離為，點到的距離為，所以點軌跡是以點為圓心，以為半徑，且與的三邊各有2個交點的三段相等圓弧，如圖，設(shè)圓弧與相交于兩點，作，則，，所以，可得，可得點的軌跡在內(nèi)部的弧所對的圓心角為，則弧長為.故選：C.關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是確定點的軌跡.二、多選題9.定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.D.的圖象與的圖象所有交點的橫坐標之和為12【正確答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)及對稱性得出函數(shù)周期及對稱性判斷A,根據(jù)函數(shù)值結(jié)合對稱性判斷C,應(yīng)用函數(shù)對稱性結(jié)合單調(diào)性判斷B,數(shù)形結(jié)合判斷的圖象與的圖象所有交點個數(shù)再結(jié)合對稱性判斷D.【詳解】對于A，因為為偶函數(shù)，故，故，所以，故的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確.對于B，由A中分析可得是周期函數(shù)且周期為，故當時，，故，故B錯誤.對于C，由是周期為2的函數(shù)可得：，故C正確.對于D，因為，故的圖象關(guān)于對稱，而，且時，此時在1,+∞上為增函數(shù)，故fx由圖可得的圖象與的圖象共有10個交點，所有交點的橫坐標之和為10，故D錯誤.故選：AC10.已知，，且，則下列說法正確是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由基本不等式得，即可判斷A；由基本不等式得，即可判斷B；由基本不等式及指數(shù)運算即可判斷C；根據(jù)基本不等式“1”的妙用，得出，即可判斷D．【詳解】對于A，，即，當且僅當，即時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當，即時等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故D正確；故選：BCD．11.“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線過坐標原點上的點到兩定點的距離之積為定值.則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上的點到兩定點的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則【正確答案】ACD【分析】設(shè)上的點為Px,y，整理可得的軌跡方程為.對于A：直接代入即可；對于B：可得，代入檢驗即可得；對于C：根據(jù)的軌跡方程為代入點整理可得，換元構(gòu)建函數(shù)，可知為在內(nèi)的零點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)題意可得，，結(jié)合勾股定理分析求解.【詳解】設(shè)上的點為Px,y，可得，整理可得，即軌跡方程為.對于選項A：若，即，所以的軌跡方程為，故A正確；對于選項B：因為若上的點到兩定點的距離之積為16，即，，可得，對于點，顯然，所以點不在上，故B錯誤；對于選項C：若，則的軌跡方程為，代入點可得，整理可得，令，可得，令，可知為在內(nèi)的零點，因為的圖象開口向上，對稱軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且f2可知fx在內(nèi)存在唯一零點，且，即，故C正確；對于選項D：若，則，且點在第一象限內(nèi)，則，又因為的面積為，可得，且，則，可得，則，即，，即，所以，故D正確；故選：ACD.關(guān)鍵點點睛：對于選項C：根據(jù)題意分析可得，換元構(gòu)建函數(shù)，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，結(jié)合零點存在性定理分析判斷.三、填空題12.在的展開式中，的系數(shù)為______．【正確答案】35【分析】合理對原式進行變形，再利用二項式定理求解即可.【詳解】由題意得，而由二項式定理得的通項為，令，解得，令，解得，則含有的項為，即的系數(shù)為35．故35.13.對于實數(shù)a，b，定義新運算：設(shè)函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為______．【正確答案】0,2【分析】先分、去掉的絕對值，再作差判斷的范圍，進而得到的解析式，進而求值域.【詳解】當時,,則，令,，則,對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞減，此時所以，此時當時,,則，令，則,對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，此時，所以,此時；終上所述，.故0,2.14.甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則______；______．【正確答案】①.##0.25②.【分析】設(shè)出事件，由題意得到，由互斥事件概率加法公式和全概率公式得到概率的遞推式，接著構(gòu)造等比數(shù)列,求出其通項公式即得.【詳解】設(shè)“經(jīng)過次傳球后，球在甲的手中”，則事件的概率即，則依題意，，則，即，(*)因代入解得，，；由（*）可得，，且，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，，則得，.故；.四、解答題15.某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機抽取了100名游客進行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.滿意不滿意總計男游客35女游客15合計100（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對公園新措施滿意與否與性別有關(guān)?（2）從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為.求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【正確答案】（1）聯(lián)表見詳解，不能.（2）分布列見詳解，【分析】（1）根據(jù)男游客與女游客的人數(shù)的比值,結(jié)合卡方計算公式進行計算求解即可；（2）根據(jù)超幾何分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解即可.【小問1詳解】因為調(diào)查的男游客人數(shù)為：，所以，調(diào)查的女游客人數(shù)為，于是可完成列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計男游客35540女游客451560合計8020100零假設(shè)為：游客對公園新措施滿意與否與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即游客對公園新措施滿意與否與性別無關(guān)；【小問2詳解】由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依題意可知的可能取值為0，1，2，并且服從超幾何分布，即，，.所以的分布列為：012.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，求的長.【正確答案】（1）（2）或【分析】(1)變形后利用余弦定理可求；(2)先將代入可得，再將代入得，聯(lián)立方程組解得，由此將向量用表示，求解向量的?？傻?【小問1詳解】由得，則由余弦定理得，，.【小問2詳解】由，解得①，，，則②，聯(lián)立①②可得，，或.，，則，且，所以，當時，，則長為；當時，，則長為.綜上所述，的長為或.17.如圖，在三棱柱中，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，點D為棱的中點，棱上的點M滿足平面，．（1）求線段AM的長；（2）若點E為棱BC的中點，且平面ABC，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理可證得，再由面面平行的性質(zhì)定理證得，由為的中點，可知為的中點，即可求出線段AM的長；（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角公式求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，延長交于點，連接，在中，是中點，D為棱的中點，所以，，三棱柱中，，，在上，則四點共面，因為平面，平面，平面平面，所以，因為，，根據(jù)題意，所以是平行四邊形，則，則為的中點，平面平面，平面平面，平面平面，則，因為，為的中點，，則為的中點，所以，【小問2詳解】因為平面ABC，是以BC為斜邊的等腰直角三角形，點E為棱BC的中點，所以，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為平面ABC，平面ABC，所以，，，所以，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，線與平面所成角的余弦值為.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，求的解析式；（2）當時，，求實數(shù)m的取值范圍；（3）判斷函數(shù)在的零點個數(shù)，并說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）零點個數(shù)為1，理由見解析【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的對稱中心求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)給定區(qū)間恒成立求參轉(zhuǎn)化為最值問題；（3）先把方程轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性結(jié)合零點存在定理得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，．【小問2詳解】由題意得，，令，解得，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，由于時，，所以實數(shù)m的取值范圍為【小問3詳解】令，則，整理得，令，則，當時，．所以在上單調(diào)遞減，又，所以由零點存在性定理得，在上存在唯一零點．當時，，此時函數(shù)無零點．綜上所述，在上存在唯一零點，即函數(shù)在上的零點個數(shù)為1．19.已知拋物線：的焦點為，過