第二十五章《概率初步》期末復(fù)習考點梳理-2024-2025學年人教版數(shù)學九年級上冊

第二十五章概率初步一九年級上冊數(shù)學人教版（2012）期末復(fù)習考

點梳理

第一步：單元學習目標

（1）理解必然事件、不可能事件和隨機事件，并會根據(jù)實際問題情

境判斷事件的類型

1.隨機事件與概率

（2）理解事件發(fā)生的可能性的大小，能后判斷隨機事件發(fā)生的可能

性的大小

（1）能用列舉法（包括直接列舉法、列表法、畫樹狀圖法）求事件

2.用列舉法求概率的概率

（2）能根據(jù)不同的情況選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行列舉

（1）能用隨機事件發(fā)生的頻率估計事件發(fā)生的概率

3.用頻率估計概率（2）理解當試驗的所有可能結(jié)果不是有限個或不是等可能出現(xiàn)時，

利用頻率軌跡概率的合理性

第二步：思維導(dǎo)圖回顧知識

各種可能出現(xiàn)的結(jié)果發(fā)生的可能性不同

應(yīng)用抽獎問題、游戲是否公平問題等

第三步：單元重難知識易混易錯

【知識梳理】

確定性事件與隨機事件

事件類型定義舉例

在一定條件下，必然會發(fā)生的事在一個只裝有紅球的袋中摸球，摸

必然事件

確定性件，稱為必然事件.出紅球.

事件在一定條件下，必然不會發(fā)生的在一個只裝有紅球的袋中摸球，摸

不可能事件

事件，稱為不可能事件.出白球.

隨機事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能在一個裝有紅球和白球的袋中摸

(不確定性事件)不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.球，摸出紅球.

【注意】一般地，判斷事件的類型是在一定條件下進行的，不同的條件可能會導(dǎo)致不同的事件

歸類，如標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰是必然事件，但當氣壓高于標準大氣壓時，水的

沸點提高，水加熱到100℃沸騰就不是必然事件了.

【重點】

(1)確定性事件在事件發(fā)生前是可以預(yù)知結(jié)果的，即事件的發(fā)生或不發(fā)生具有必然性；隨機

事件在事件發(fā)生前是不能預(yù)知結(jié)果的，也稱為“偶然性事件”.

(2)一般地，描述真理或客觀存在的事實的事件是必然事件；描述違背真理或客觀存在的事

實的事件是不可能事件.

概率

1.概率：一般地，對于一個隨機事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件

A發(fā)生的概率，記為P(A).

2.概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有〃種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相

等，事件A包含其中的機種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=3.

n

【注意】試驗需有以下兩個共同特點時才能使用上述計算概率的方法：

(1)每一次試驗，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個；

(2)每一次實驗，各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

3.概率的取值范圍：

(1)當A為必然事件時，P(A)=1；

(2)當A為隨機事件時，O<P(A)<1；

（3）當A為不可能事件時，P（A）=O.

4.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1,；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接

近0.

【重點】

（1）計算簡單事件的概率的主要類型：①個數(shù)類型：如摸球、擲骰子等可以表示出所有可能

出現(xiàn)的結(jié)果的試驗；②面積類型：如果隨機試驗是向S區(qū)域內(nèi)擲一點，那么擲在區(qū)域A（A在

s內(nèi)）內(nèi)的概率「=

猥S的7面'積?

（2）同一事件，發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之和為1.

（3）隨機事件的概率從數(shù)值上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.概率是一個常數(shù)，不會受

重復(fù)試驗結(jié)果的影響.

（4）事件A發(fā)生的概率大，并不能說明事件A一定發(fā)生，只能說明事件A發(fā)生的可能性大；

反之，事件A發(fā)生的概率小，并不能說明事件A一定不發(fā)生，只能說明事件A發(fā)生的可能性小.

用直接列舉法（枚舉法）求概率

當事件涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較少時，就可以直接列舉出所有等可能的

結(jié)果，再利用概率公式尸（A）=3（在一次試驗中，有〃種等可能的結(jié)果，事件A包含其中的加

n

種結(jié)果）求事件發(fā)生的概率.

【注意】

（1）直接列舉試驗結(jié)果時，要有一定的順序性，保證結(jié)果不重不漏.

（2）用列舉法求概率的前提有兩個：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個；②每個結(jié)果出現(xiàn)的可

能性相等.

（3）所求概率是一個準確數(shù)，一般用分數(shù)表示.

用列表法求概率

1.列表法就是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的

可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

2.適用條件：當一次試驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏

地列出所有可能的結(jié)果，常采用列表法.

3.具體步驟：

(1)選其中的一次操作(或一個條件)為橫行，另一次操作(或另一個條件)為豎列，列出

表格；

(2)運用概率公式尸(4)='計算概率.

【注意】在運用列表法分析隨機事件發(fā)生的概率時，注意行與列的意義及行、列中量的區(qū)別,

如(1,2)與(2,1)表示不同的結(jié)果.

【重點】

(1)用列表法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果時，要注意“放回”與“不放回”的區(qū)別.

(2)列表法適用的條件還可以理解為：各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，含有兩次操作(如擲一

枚骰子兩次)或兩個條件(如兩個轉(zhuǎn)盤)的事件.

用畫樹狀圖法求概率

1.畫樹狀圖法是用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)

生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

2.適用條件：當一次試驗涉及兩個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，

通常采用畫樹狀圖法.

第1步第2步第3步結(jié)果

一GAiBiCi-

AiBiCi-

AiBiCk-

BiAmBnCi???

B2AmBnC2—

Am&C…

【重點】

(1)用列舉法求事件的概率包括直接列舉法、列表法和畫樹狀圖法，用列舉法求概率時，各

種結(jié)果出現(xiàn)的可能性必須相同，必須列舉出所有可能的結(jié)果，不能重復(fù)也不能遺漏.

(2)當試驗包括兩步時，用列表法比較方便，當然此時也可以用畫樹狀圖法；當試驗包含三

步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.

(3)樹狀圖中，從左到右(或從上往下)，每一條路徑都表示一種可能的結(jié)果，并且每種結(jié)果

出現(xiàn)的可能性相同.

利用頻率估計概率

1.概率：試驗中，某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比值叫做頻率.

2.用頻率估計概率：從長期實踐中，人們觀察到對一般的隨機事件，在做大量重復(fù)試驗時，隨

著試驗次數(shù)的增加，一個事件發(fā)生的概率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.

因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.

適用條件：當試驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，我們

一般通過事件發(fā)生的頻率來估計其概率.

計算方法：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個常數(shù)尸，那么估計

事件A發(fā)生的概率P(A)=".

【注意】用頻率估計概率時，必須做足夠多的試驗才能使頻率趨于穩(wěn)定，并且每次試驗必須在

相同條件下進行，試驗次數(shù)越多，得到的頻率值就越接近概率，規(guī)律就越明顯，此時可以用頻

率的穩(wěn)定值估計事件發(fā)生的概率.

3.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系

頻率概率

試驗值或使用時的統(tǒng)計值理論值

區(qū)別與試驗次數(shù)的變化有關(guān)與試驗次數(shù)的變化無關(guān)

與試驗人、試驗時間、試驗地點有關(guān)與試驗人、試驗時間、試驗地點無關(guān)

聯(lián)系試驗次數(shù)越多，頻率越趨向于概率

【重點】

用頻率估計的概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量重復(fù)試驗中反映的規(guī)律并不意味著在每一

次的試驗中一定出現(xiàn).也就是說，即是某事件發(fā)生的概率非常大，但在一次試驗中，也不一定發(fā)

生；即使某事件發(fā)生的概率非常小，但在一次試驗中，也可能發(fā)生.

【?？碱}型】

1.下列事件是必然事件的是()

A.在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊

B.打開電視機正在播放廣告

C.任意一個一元二次方程都有實數(shù)根

D.明年元旦是晴天

2.“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”.小明購

買了“二十四節(jié)氣”主題郵票,他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給朋友小

亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機抽取兩張，則小亮抽到

的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

A-IDt

3.如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多

少,他采取了以下辦法：用一個長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來,然后在適當位

置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)

域外不計實驗結(jié)果），他將若干次有效實驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖,由此他估計不

規(guī)則圖案的面積大約為（）

4.有四張正面分別標有數(shù)字-2,-3,0,3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同.先將它們

背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，得到的數(shù)記為如不放回，再從剩余卡片中隨機抽取一

張，得到的數(shù)記為小則使加〃〉0的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6623

5.為了估計暗箱里白球的數(shù)量（箱內(nèi)只有白球），將6個紅球放進去，這些球除顏色外都相同，攪勻

后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸出一個球記下顏色，多次重復(fù)后發(fā)現(xiàn)白球出現(xiàn)

的頻率穩(wěn)定在0.4附近，那么可以估計暗箱里白球的個數(shù)約為個.

6.如圖，大小質(zhì)地完全相同的A,5兩個圓形轉(zhuǎn)盤，都被平均分成3份，并涂上紅、白兩種顏色.其中：

A涂有白色2份，紅色1份；3涂有紅色2份，白色1份.兩個轉(zhuǎn)盤都是指針固定，轉(zhuǎn)盤可自由轉(zhuǎn)動

（若指針指向分界線，則重轉(zhuǎn)）.

(1)自由轉(zhuǎn)動A轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)盤停止后指針指向白色的概率；

(2)游戲規(guī)則：甲、乙兩人讓兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次，當轉(zhuǎn)盤停止時,指針指向紅色，則得2分,

指針指向白色，則得1分，若兩個轉(zhuǎn)盤的累計得分為奇數(shù)，則甲獲勝；累計得分為偶數(shù)，則乙獲勝.

請用列表法分析這個游戲規(guī)則對誰更有利，并說明理由.

第四步：單元核心素養(yǎng)對接中考

【核心素養(yǎng)】

(1)數(shù)據(jù)分析與概率觀念：通過試驗、統(tǒng)計等活動，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，理解概率的概

念，認識概率是反映隨機事件發(fā)生可能性大小的量，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和概率觀念.

(2)數(shù)學建模與應(yīng)用意識：運用概率的知識解決實際生活中的簡單概率問題，如抽獎問題、

游戲公平性問題等，建立數(shù)學模型，提高學生的應(yīng)用意識和解決實際問題的能.

(3)邏輯推理與計算能力：在計算概率的過程中，需要學生進行邏輯推理和簡單的數(shù)學計

算，培養(yǎng)邏輯推理和計算能.

【對接中考】

1.[2024年廣東東莞中考真題]“八年級數(shù)學課本共160頁，某同學隨手翻開，恰好翻到第60頁”,

這個事件是()

A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.以上都不正確

2.[2024年遼寧中考真題]一個不透明袋子中裝有4個白球，3個紅球，2個綠球，1個黑球,

每個球除顏色外都相同.從中隨機摸出一個球，則下列事件發(fā)生的概率為奈的是()

A.摸出白球B.摸出紅球C.摸出綠球D.摸出黑球

3.[2024年貴州中考真題]小星同學通過大量重復(fù)的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率

為0.4,下列說法正確的是()

A.小星定點投籃1次，不一定能投中

B.小星定點投籃1次，一定可以投中

C.小星定點投籃10次，一定投中4次

D.小星定點投籃4次，一定投中1次

4.[2024年河南中考真題]豫劇是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛.正面

印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上

洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概

率為（）

豫劇?花木蘭豫劇?七品芝麻官豫劇?朝陽溝

A.-B.-C.-D.-

9653

5.[2024年湖北中考真題]下列各事件是，是必然事件的是（）

A.擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3

B.某同學投籃球，一定投不中

C.經(jīng)過紅綠燈路口時，一定是紅燈

D.畫一個三角形，其內(nèi)角和為180。

6.[2024年山東威海中考真題]如圖，在扇形A08中，NAOfi=90。，點C是AO的中點.過點

C作交A3于點E,過點E作石垂足為點D在扇形內(nèi)隨機選取一點P,則點

P落在陰影部分的概率是（）

7.[2024年浙江中考真題]有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1,2,3,4,5,6,7,8.從中隨機抽

取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是.

8.[2024年青海中考真題]如圖，一只螞蟻在樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個叉路口都隨機

選擇一條路徑，它獲得食物的概率是.

9.[2024年陜西中考真題]一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1

個黃球，這些小球除顏色外都相同.將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球記下顏色后放回，

記作隨機摸球一次.

（1）隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是.

（2）隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率.

10.[2024年西藏中考真題]為了紀念西藏民主改革65周年，弘揚愛國主義精神，學校舉辦了

“感悟歷史奇跡，擔當時代使命”的歷史知識競賽活動.從七、八年級中各隨機抽取了10名學生

的競賽成績（單位：分）如下：

七年級：80,96,82,92,89,84,73,90,89,97

八年級：94,82,95,94,85,89,92,79,98,93

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴七年級這10名學生成績的中位數(shù)是；八年級這10名學生成績的眾數(shù)是；

⑵若成績90分以上（含90分）定為優(yōu)秀等次，請估計八年級400名學生中有多少名學生能達到

優(yōu)秀等次；

⑶根據(jù)本次競賽成績，七、八年級各推薦了兩名學生，學校準備再從這四名學生中隨機抽取兩

人參加市級競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率.

11.[2024年海南中考真題]根據(jù)以下調(diào)查報告解決問題.

調(diào)查主題學校八年級學生視力健康情況

學生視力健康問題引起社會廣泛關(guān)注.某學習小組為了解本校八年級學生視

背景介紹

力情況，隨機收集部分學生《視力篩查》數(shù)據(jù).

調(diào)查結(jié)果

八年級學生右眼視力頻數(shù)分布表

右眼視力頻數(shù)

3.8<x<4.03

八年級學生右眼視力贖數(shù)分布直/

4.0<%<4.224J圖

1

24

4.2<%<4.41821

18

15

12

4.4<x<4.6129

6日

?

0

4.6<xv4.8904.24.44,64,85.052曲力

4.8<x<5.09

5.0<x<5.215

合計90

建議：……

（說明：以上僅展示部分報告內(nèi)容）.

（1）本次調(diào)查活動采用的調(diào)查方式是（填寫“普查”或“抽樣調(diào)查”）：

（2）視力在“4.8Kx<5.0”是視力“最佳矯正區(qū)”,該范圍的數(shù)據(jù)為：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、

4.8、4.9、4.9,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.；

（3）視力低于5.0屬于視力不良，該校八年級學生有600人，估計該校八年級右眼視力不良的

學生約為人；

（4）視力在“3.8Wx<4.0”范圍有兩位男生和一位女生，從中隨機抽取兩位學生采訪，恰好抽

到兩位男生的概率是；

（5）請為做好近視防控提一條合理的建議.

答案以及解析

【常考題型】

1.答案：A

解析：A、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，是必然事件，符合題意；

B、打開電視機正在播放廣告，也可能不正在播放廣告，是隨機事件，不符合題意；

C、任意一個一元二次方程都有實數(shù)根，也可能沒有實數(shù)根，是隨機事件，不符合題意;

D、明年元旦是晴天，是隨機事件，不符合題意；

故選A.

2.答案：B

解析：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票分別記為A、B、C、D,

BCDACDABDABC

由樹狀圖可知，一共有12種等可能的情況，其中符合條件的有2種情況,

故選：B.

3.答案：B

解析：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為X,

由已知得：長方形面積為20,

根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：—,

20

當事件A實驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線

圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35,

綜上有：二=0.35,解得尤=7.

20

故選：B.

4.答案：B

解析：畫樹狀圖如圖：

開始

n-303-203-2-33-2-30

mn60-660-9000-6-90

由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中使機〃>0的結(jié)果有2種，.??使加〃>0的概率為

_2__J_

126'

5.答案：4

解析：設(shè)白球有x個，

---X---=0C.4“,

x+6

解得,x=4,

檢驗，當x=4時，原分式方程的分母不為0,

???白球有4個,

故答案為：4.

2

6答案:(l)y

(2)見解析

解析：(1)自由轉(zhuǎn)動A轉(zhuǎn)盤一次，指針指向白色的可能為2次,紅色的可能為1次,

???轉(zhuǎn)盤停止后指針指向白色的概率為一2=士2，

2+13

(2)列表如下,

紅紅白

紅紅紅紅紅紅白

白白紅白紅白白

白白紅白紅白白

根據(jù)表格可知，甲、乙兩人讓兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次，得分情況有9種,分別為4、4、3、3、

3、2、3、3、2分，其中奇數(shù)的情況有5種,偶數(shù)的情況有4種，

甲獲勝的概率為京5乙獲勝的概率為4

???巳5＞4二游戲?qū)赘泻蘒.

99

【對接中考】

1.答案：C

解析：“八年級數(shù)學課本共160頁,某同學隨手翻開恰好翻到第60頁”，這個事件是隨機事件

故選:C.

2.答案：B

44_2

解析：A、摸出白球的概率為不符合題意;

4+3+2+110-5

33

B、摸出紅球—,符合題意；

4+3+2+110

291

C、摸出綠球—不符合題意;

4+3+2+1105

1

D、摸出黑球—,不符合題意；

4+3+2+110

故選：B.

3.答案：A

解析：小星同學通過大量重復(fù)的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率為0.4,則由概率的

意義可知，小星定點投籃1次，不一定能投中，故選項A正確，選項B錯誤；

小星定點投籃10次，不一定投中4次，故選項C錯誤；

小星定點投籃4次，不一定投中1次，故選項D錯誤

故選；A.

4.答案：D

解析：將三張卡片分別記為A,B,C,

列表如下：

ABC

A(AA)(AB)(AC)

B（B，A）（B，B）(B?

C(C,A)(C,B)(C,C)

共有9種等可能的結(jié)果,其中兩次抽取的卡片，正面相同的結(jié)果有3種，

.?.兩次抽取的卡片正面相同的概率為士3=匕1

93

故選：D.

5.答案：D

解析：A、擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3,是隨機事件，不符合題意;

B、某同學投籃球，一定投不中，是隨機事件，不符合題意；

C、經(jīng)過紅綠燈路口時，一定是紅燈，是隨機事件，不符合題意；

D、畫一個三角形，其內(nèi)角和為180。，是必然事件，符合題意；

故選：D.

6.答案：B

解析：設(shè)一。的半徑為「，

CELAO,

；.NOCE=90。,

?點C是AO的中點，

OC=-OA=-OE,

22

在中，

OC1

cosNCOE=----,

OE2

:.ZCOE^6Q0,

ZBOE=ZAOB-ZCOE=30°,

EDLOB,

ZODE=9Q°,

NCOD=NOCE=9Q0,

四邊形OCEO為矩形，

..S&OCE=S^ODE，

???陰影部分的面積=S扇形B°E="F，

Joi）

30xjixr2

???點P落在陰影部分的概率=強造=-3607=1

S扇形4OB9°X兀"3

360

故選:B.

7.答案：-/0.25

4

解析：一共有8張卡片，其中是4的整數(shù)倍的有2張，

從中隨機抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是2=上

84

故答案為：

4

8.答案：g

解析：選擇每條路徑的可能性相等，故獲得食物的概率是L

3

9.答案：（1）0.3

⑵—

25

解析：（1）由題意得，摸出黃球的頻率是3+10=0.3,

故答案為：0.3；

（2）畫樹狀圖得，

開始

第一次紅1紅2紅3