中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專(zhuān)項(xiàng)知識(shí)實(shí)數(shù)及其運(yùn)算(講義6考點(diǎn)+2命題點(diǎn)11種題型(含6種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一章數(shù)與式第01講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（思維導(dǎo)圖+6考點(diǎn)+2命題點(diǎn)11種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類(lèi)考點(diǎn)二數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法考點(diǎn)四平方根、立方根考點(diǎn)五比較實(shí)數(shù)的大小考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)?題型01正負(fù)數(shù)的意義?題型02無(wú)理數(shù)的識(shí)別?題型03科學(xué)記數(shù)法?題型04無(wú)理數(shù)的估算?題型05實(shí)數(shù)的大小比較?題型06實(shí)數(shù)與數(shù)軸?題型07平方根、立方根命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的運(yùn)算?題型01非負(fù)性的應(yīng)用?題型02實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算?題型03實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算?題型04與實(shí)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)

01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求實(shí)數(shù)的分類(lèi)★★理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)★★★了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值.科學(xué)記數(shù)法★★會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)平方根、立方根★★了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算.實(shí)數(shù)比較大小★★能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍；能比較實(shí)數(shù)的大小.實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)算★★★理解乘方的意義；掌握有理數(shù)的加減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算(以三步以?xún)?nèi)為主)；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.【考情分析】實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是必考內(nèi)容，試題形式多樣，考查較多的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及科學(xué)記數(shù)法，試題難度都不大，在實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中，注意符號(hào)和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，包含去絕對(duì)值、非零數(shù)的0次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值等，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要求準(zhǔn)確掌握.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類(lèi)1.正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)，如：0.5，QUOTE，+2等.負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù).如：-0.5，QUOTE，-2，-（+1）等.2.有理數(shù)及分類(lèi)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).（【實(shí)質(zhì)】可以寫(xiě)成形式的數(shù)，其中m，n為整數(shù)且m≠0）【補(bǔ)充】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).例：0.53（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE），1.333333…（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE），QUOTE，整數(shù)3（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE）等.有理數(shù)分類(lèi)：3.無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).【補(bǔ)充】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1） 一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：QUOTE、等.[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).4.實(shí)數(shù)及其分類(lèi)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類(lèi)：1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（

）A．3?1 B．?32 C．?2．（2024·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中：5，?5A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2024·山東日照·中考真題）實(shí)數(shù)?13,0,A．?13 B．0 C．54．（2024·四川雅安·中考真題）將?2，87，π，0，2，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是考點(diǎn)二數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)1.數(shù)軸數(shù)軸的定義：在數(shù)學(xué)中，通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可.【補(bǔ)充】1）數(shù)軸是一條可以向兩端無(wú)限延伸的直線；2）數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習(xí)慣性向右為正方向，原點(diǎn)的位置和單位長(zhǎng)度的大小要依據(jù)實(shí)際情況靈活選取，但是一旦選定后就不能隨意改變；3）在同一條數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度的大小必須統(tǒng)一，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活選取單位長(zhǎng)度的大小.4）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).2.相反數(shù)相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為互為相反數(shù)，相反數(shù)是成隊(duì)出現(xiàn)的.性質(zhì)：1）【熱考】若a，b互為相反數(shù)，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數(shù).2）一個(gè)有理數(shù)有且只有一個(gè)相反數(shù)；3）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.幾何意義：1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等且位于原點(diǎn)的兩側(cè).2）位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).3.絕對(duì)值絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記為|a|．絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即.【易混易錯(cuò)】1）若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.2）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意實(shí)數(shù)，都有|a|≥0.3）當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)里的數(shù)的正負(fù)不能確定時(shí)，要分類(lèi)討論，即將其分成大于0，小于0，等于0這三類(lèi)討論.4.倒數(shù)倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．【易混易錯(cuò)】1）0沒(méi)有倒數(shù)，倒數(shù)是本身的只有1和-1.2）若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.3）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）1．（2024·江蘇蘇州·中考真題）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（

）A．?3 B．1 C．2 D．32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．?2024和?2024 B．2024和1C．?2024和2024 D．?2024和13．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若m,n互為倒數(shù)，且滿足m+mn=3，則n的值為（

）A．14 B．12 C．24．（2024·西藏·中考真題）若x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是?3，則2x+2y?3z的值為（

）A．?9 B．?1 C．9 D．15．（2024·山東德州·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)?16．（2023益陽(yáng)市三模）已知a、b互為相反數(shù)，c、d為倒數(shù)，且m=3，則a+b2024+QUOTEQUOTE考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法定義：把一個(gè)數(shù)A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．類(lèi)別a的確定n的確定示例|A|＞101≤|a|＜10n為正整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)左移的位數(shù)a=5.5，n=60＜|A|＜1n為負(fù)整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)右移的位數(shù)a=-5.5，n=6-【補(bǔ)充】1）用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，不改變數(shù)的符號(hào)，只是改變數(shù)的書(shū)寫(xiě)形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的數(shù).2）一個(gè)負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示.3）科學(xué)記數(shù)法的常見(jiàn)類(lèi)型:①直接將像26000000、320萬(wàn)這樣的較大數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示；②將450km或35nm換算單位后用科學(xué)記數(shù)法表示；③根據(jù)題意，先計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示.2.近似數(shù)準(zhǔn)確數(shù)：在日常生活或生產(chǎn)實(shí)際中，能準(zhǔn)確地表示一些數(shù)的量，成為準(zhǔn)確數(shù).近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)的近似數(shù).精確度：近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.【補(bǔ)充】對(duì)于帶單位的數(shù)或用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，a的末位數(shù)字在還原后的數(shù)中是哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.有效數(shù)字的概念：從左邊第一位非0的數(shù)字到精確數(shù)位的所有的數(shù)字.例：0.012有兩個(gè)個(gè)有效數(shù)字：1,2；3.6萬(wàn)有兩個(gè)有效數(shù)字：3,6；有四個(gè)有效數(shù)字：4,3,6,0.1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2023年呼和浩特市政府工作報(bào)告中指出，我市主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增速達(dá)到十年來(lái)最好水平．地區(qū)生產(chǎn)總值完成3802億元．?dāng)?shù)據(jù)“3802億”用科學(xué)記數(shù)法表示為．2．（2024·上海·中考真題）科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為2×105GB，一張普通唱片的容量約為25GB，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的3．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是10?18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為考點(diǎn)四平方根、立方根1.算術(shù)平方根定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù).算術(shù)平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有雙重非負(fù)性：1）被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性，即a≥0；2）算術(shù)平方根本身具有非負(fù)性，即QUOTEQUOTE≥0；【小結(jié)】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.兩個(gè)重要等式：1）QUOTE，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；2），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.2.平方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根.正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.3.立方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的立方根或三次方根.數(shù)a的立方根記作“QUOTE”，讀作“三次根號(hào)a”.【補(bǔ)充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根．平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系關(guān)系 名稱(chēng)平方根立方根區(qū)別性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)表示方法非負(fù)數(shù)a的平方根表示為±QUOTE，根指數(shù)是2，常省略不寫(xiě)數(shù)a的立方根表示為，根指數(shù)是3，不能省略不寫(xiě)被開(kāi)方數(shù)的取值范圍在±QUOTE中，a是非負(fù)數(shù)，即在中，a是任意數(shù)聯(lián)系轉(zhuǎn)化條件都可以轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究，平方根轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來(lái)研究，負(fù)數(shù)的立方根可以轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)的立方根來(lái)研究，即QUOTE.4.常見(jiàn)實(shí)數(shù)的平方與立方：常見(jiàn)數(shù)的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常見(jiàn)數(shù)的立方1323334353637383931031827641252163435127291000

1．（2023·湖南婁底·中考真題）從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，39A．27 B．37 C．472．（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于（）A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．5的算術(shù)平方根3．（2023·四川廣安·中考真題）16的平方根是4．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則2a+2b?c=．考點(diǎn)五比較實(shí)數(shù)的大小1）實(shí)數(shù)性質(zhì)法：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小；2）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于多個(gè)實(shí)數(shù)比較大??；3）作差比較法：a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a<b.4）作商比較法：a、b為正數(shù)，若QUOTE>1，則a>b；若QUOTE=1，則a=b；若QUOTE<1，則a<b5）倒數(shù)比較法：6）平方比較法：a、b為正數(shù)，若a2>b2，則a>b.a、b為負(fù)數(shù)，若a2>b2，則a<b.【補(bǔ)充】主要應(yīng)用于二次根式的估值及比較含有根式的實(shí)數(shù)大小.7）特殊值法：通過(guò)估算，將無(wú)理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.這里需要我們記住三個(gè)常用的近似值:QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.2361．（2024·山東威海·中考真題）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A．?2 B．??2 C．?122．（2023·江蘇·中考真題）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）．

A．a(chǎn)<?2 B．b<2 C．a(chǎn)>b D．?a<b3．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知a=5，b=2，c=3，則a、A．b>a>c B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a4．（2024·安徽·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為10，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的近似值為227．比較大?。?022考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，又增加了非負(fù)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算，任意實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)等同樣適用.1.實(shí)數(shù)的加法法則：1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.2.實(shí)數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).3.實(shí)數(shù)的乘方法則：1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；2）任何數(shù)同0相乘，都得0.【補(bǔ)充】1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；2）0的任何正整數(shù)次冪都是0；3）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù).4.實(shí)數(shù)的除法法則：1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.5.運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.6.運(yùn)算律類(lèi)別表示加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法分配律【易混易錯(cuò)】1.有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律．2.在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．1．（2024·江蘇徐州·中考真題）計(jì)算：(1)?3?202402．（2024·四川廣元·中考真題）計(jì)算：2024?π3．（2023·青海西寧·中考真題）計(jì)算：?14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：π?202304題型精研·考命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)?題型01正負(fù)數(shù)的意義1．（2024·海南·中考真題）負(fù)數(shù)的概念最早記載于我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》．若零上20°C記作+20°C，則零下30°CA．?30°C B．?10°C C．+10°C2．（2024·河北·中考真題）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（

）A． B．C． D．3．（2024·江蘇連云港·中考真題）如果公元前121年記作?121年，那么公元后2024年應(yīng)記作年．4．（2023·甘肅武威·中考真題）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果，如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“+9050米”，那么海平面以下10907米記作“米”．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02無(wú)理數(shù)的識(shí)別常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1） 一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：QUOTE、等.[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).1．（2022·四川巴中·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．4是無(wú)理數(shù) B．明天巴中城區(qū)下雨是必然事件C．正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108° D．相似三角形的面積比等于相似比2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（

）A．π2 B．13 C．33．（2023·湖南婁底·中考真題）從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，A．27 B．37 C．474．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與27的積是有理數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）?題型03科學(xué)記數(shù)法用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵，具體方法為：1）a是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1≤|a|＜10；2）確定n的兩種方法：①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，則n的值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減1；②當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.【小結(jié)】將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，即為10的指數(shù)的絕對(duì)值.3）用科學(xué)記數(shù)法表示帶單位的大數(shù)的技巧：1．（2024·山東日照·中考真題）交通運(yùn)輸部2024年4月發(fā)布的全國(guó)港口貨物吞吐量數(shù)據(jù)顯示，日照港2024年第一季度吞吐量為15493萬(wàn)噸，居全國(guó)主要港口第6位．將數(shù)據(jù)154930000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．15.493×107 B．1.5493×108 C．2．（2024·江蘇常州·中考真題）2024年5月10日，記者從中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)獲悉，“中國(guó)天眼”FAST近期發(fā)現(xiàn)了6個(gè)距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類(lèi)迄今直接探測(cè)到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系．50億光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×103．（2024·山東威海·中考真題）據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國(guó)家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號(hào)”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號(hào)”提升一百萬(wàn)倍，在百萬(wàn)分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過(guò)二百億年的時(shí)間．將“百萬(wàn)分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．1×10?5 B．1×10?6 C．4．（2024·山東淄博·中考真題）我國(guó)大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動(dòng)了新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)發(fā)布的消息顯示．2024年1至3月，我國(guó)新能源汽車(chē)完成出口30.7萬(wàn)輛．將30.7萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為3.07×10n．則n的值是（A．4 B．5 C．6 D．7QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04無(wú)理數(shù)的估算估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的兩個(gè)相鄰平方數(shù).1．（2024·重慶·中考真題）估計(jì)122A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間2．（2024·河北·中考真題）已知a，b，n均為正整數(shù)．（1）若n<10<n+1，則n=（2）若n?1<a<n,n<b<n+1，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)總比3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJQUOTE?題型05實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)比較大小的常用方法1）兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而??；2）將實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；3）作差或作商法：作差后與0進(jìn)行比較，作商后與1進(jìn)行比較；4）估算法：常見(jiàn)QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.236；5）乘方法：符號(hào)相同的兩個(gè)根式，利用乘方法來(lái)比較大小.1．（2024·四川自貢·中考真題）在0，?2，?3，π四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（

A．?2 B．0 C．π D．?2．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知a=5，b=2，c=3，則a、A．b>a>c B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a3．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大?。?368__________2265．（填“>”“=”或“4．（2024·云南·中考真題）已知拋物線y=x2+bx?1的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=32．設(shè)m是拋物線y=(1)求b的值；(2)比較M與132?題型06實(shí)數(shù)與數(shù)軸1．（2024·山東青島·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最小的是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．d2．（2024·四川南充·中考真題）如圖，數(shù)軸上表示2的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，若

A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)?b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)4．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過(guò)O作直線l⊥OB于點(diǎn)O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．?題型07平方根、立方根1．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是（

）A．3 B．±3 C．19 D．2．（2023·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a,2a2,3A．n B．n?1an?1 C．na3．（2023·安徽·中考真題）計(jì)算：38+1=4．（2024武威市三模）一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根是m+7和2m?1，則a?m的立方根為.命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的運(yùn)算?題型01非負(fù)性的應(yīng)用二次根式是初中階段常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)之一，這三種非負(fù)數(shù)分別是:1）一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，即|a|；2）一個(gè)實(shí)數(shù)的偶次方(主要是二次方)，即等；3）一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根(即二次根式)，即.1．（2023·山東·中考真題）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足(a?b)2+2a?b?3+|c?32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·四川成都·中考真題）若m，n為實(shí)數(shù)，且m+42+n?5=0，則3．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）若a?12+|b?2|=0，則ab=4．（2023·廣東深圳·二模）若4x+y?42與2x?y+1互為相反數(shù)，則xy的值是?題型02實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算2+?3A．+3+2 B．+3?2 C．?3+22．（2024·河南·中考真題）計(jì)算a?a?...?aaA．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)a+33．（2024·吉林·中考真題）若?3×□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為（A．2 B．1 C．0 D．?14．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）有下列四個(gè)算式①?5++3=?8；②??23=6；③A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5．（2023·山東濱州·中考真題）計(jì)算2??3的結(jié)果為6．（2023·廣西·中考真題）計(jì)算：(?1)×(?4)+2QUOTE?題型03實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.【注意】1）有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律．2）在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．實(shí)數(shù)計(jì)算的易錯(cuò)點(diǎn)：1）負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；2）一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；3），在計(jì)算中常用的銳角三角函數(shù)值：三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα11．（2024·山東日照·中考真題）計(jì)算：|22．（2024·北京·中考真題）計(jì)算：π?53．（2024·四川遂寧·中考真題）計(jì)算：sin45°+4．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：25．（2023灞橋區(qū)一模）計(jì)算：(1)3(2)??題型04與實(shí)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=a2?|b|，則(?2)?(?1)A．?5 B．?3 C．5 D．32．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f12A．199 B．200 C．201 D．2023．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義新運(yùn)算：①在平面直角坐標(biāo)系中，a,b表示動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸正方向（a≥0）或負(fù)方向（a<0）．平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著y軸正方向（b≥0）或負(fù)方向（b<0）平移b個(gè)單位長(zhǎng)度．例如，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿著y軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記作?2,1②加法運(yùn)算法則：a,b+c,d=a+c,b+d，其中a，b，若3,5+m,n=A．m=2，n=7 B．m=?4，n=?3C．m=4，n=3 D．m=?4，n=34．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：m?n=mn?mn（m，n均為整數(shù)，且m≠0）．例：2?3=25．（2023·四川廣安·中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，a※b=xa+yb．若2※

第一章數(shù)與式第01講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（思維導(dǎo)圖+6考點(diǎn)+2命題點(diǎn)11種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類(lèi)考點(diǎn)二數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法考點(diǎn)四平方根、立方根考點(diǎn)五比較實(shí)數(shù)的大小考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)?題型01正負(fù)數(shù)的意義?題型02無(wú)理數(shù)的識(shí)別?題型03科學(xué)記數(shù)法?題型04無(wú)理數(shù)的估算?題型05實(shí)數(shù)的大小比較?題型06實(shí)數(shù)與數(shù)軸?題型07平方根、立方根命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的運(yùn)算?題型01非負(fù)性的應(yīng)用?題型02實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算?題型03實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算?題型04與實(shí)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題

01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求實(shí)數(shù)的分類(lèi)★★理解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)★★★了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值.科學(xué)記數(shù)法★★會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)平方根、立方根★★了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算.實(shí)數(shù)比較大小★★能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍；能比較實(shí)數(shù)的大小.實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)算★★★理解乘方的意義；掌握有理數(shù)的加減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算(以三步以?xún)?nèi)為主)；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.【考情分析】實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是必考內(nèi)容，試題形式多樣，考查較多的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及科學(xué)記數(shù)法，試題難度都不大，在實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中，注意符號(hào)和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，包含去絕對(duì)值、非零數(shù)的0次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值等，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要求準(zhǔn)確掌握.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類(lèi)1.正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)，如：0.5，QUOTE，+2等.負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù).如：-0.5，QUOTE，-2，-（+1）等.2.有理數(shù)及分類(lèi)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).（【實(shí)質(zhì)】可以寫(xiě)成形式的數(shù)，其中m，n為整數(shù)且m≠0）【補(bǔ)充】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).例：0.53（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE），1.333333…（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE），QUOTE，整數(shù)3（分?jǐn)?shù)形式：QUOTE）等.有理數(shù)分類(lèi)：3.無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).【補(bǔ)充】無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1） 一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：QUOTE、等.[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).4.實(shí)數(shù)及其分類(lèi)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類(lèi)：1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（

）A．3?1 B．?32 C．?【答案】A【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可．【詳解】解：A、3?1B、?3C、??3D、?3故選：A．2．（2024·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中：5，?5A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了對(duì)正數(shù)和負(fù)數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負(fù)數(shù)也不是正數(shù)．【詳解】解：5>0，是正數(shù)；?5?3<0，是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；?25.8<0，是負(fù)數(shù)；+2>0，是正數(shù)；∴負(fù)數(shù)有?57，?3，?25.8，共故選：C．3．（2024·山東日照·中考真題）實(shí)數(shù)?13,0,A．?13 B．0 C．5【答案】C【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，“無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)是無(wú)理數(shù)”逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】解：?13,0,1.732故選：C4．（2024·四川雅安·中考真題）將?2，87，π，0，2，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是【答案】2【分析】本題考查概率的求法與運(yùn)用，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的識(shí)別，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=mn．先根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義得到取到有理數(shù)的有?2，8【詳解】解：將?2，87，π，0，2，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫(xiě)在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，有6種等可能結(jié)果，其中取到有理數(shù)的有?2，8所以取到有理數(shù)的概率為46故答案為：23考點(diǎn)二數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)1.數(shù)軸數(shù)軸的定義：在數(shù)學(xué)中，通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可.【補(bǔ)充】1）數(shù)軸是一條可以向兩端無(wú)限延伸的直線；2）數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習(xí)慣性向右為正方向，原點(diǎn)的位置和單位長(zhǎng)度的大小要依據(jù)實(shí)際情況靈活選取，但是一旦選定后就不能隨意改變；3）在同一條數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度的大小必須統(tǒng)一，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活選取單位長(zhǎng)度的大小.4）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).2.相反數(shù)相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)為互為相反數(shù)，相反數(shù)是成隊(duì)出現(xiàn)的.性質(zhì)：1）【熱考】若a，b互為相反數(shù)，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數(shù).2）一個(gè)有理數(shù)有且只有一個(gè)相反數(shù)；3）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.幾何意義：1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等且位于原點(diǎn)的兩側(cè).2）位于原點(diǎn)的兩側(cè)且到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).3.絕對(duì)值絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記為|a|．絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即.【易混易錯(cuò)】1）若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.2）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意實(shí)數(shù)，都有|a|≥0.3）當(dāng)絕對(duì)值符號(hào)里的數(shù)的正負(fù)不能確定時(shí)，要分類(lèi)討論，即將其分成大于0，小于0，等于0這三類(lèi)討論.4.倒數(shù)倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．【易混易錯(cuò)】1）0沒(méi)有倒數(shù)，倒數(shù)是本身的只有1和-1.2）若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.3）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）1．（2024·江蘇蘇州·中考真題）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（

）A．?3 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，即絕對(duì)值最小的點(diǎn)，首先求出各個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，即可作出判斷．【詳解】解：∵?3=3，1=1，2=2，3∴與原點(diǎn)距離最近的是1，故選：B．2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．?2024和?2024 B．2024和1C．?2024和2024 D．?2024和1【答案】A【分析】本題考查相反數(shù)．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值的意義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、?2024=2024和?2024B、2024和12024C、?2024=2024D、?2024和12024故選：A．3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若m,n互為倒數(shù)，且滿足m+mn=3，則n的值為（

）A．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)m,n互為倒數(shù)，則m?n=1，把m?n=1代入m+mn=3，即可得出m的值，進(jìn)一步即可得出n的值．【詳解】解：∵m,n互為倒數(shù)，∴m?n=1，∵m+mn=3，∴m=2，則n=1故選：B．4．（2024·西藏·中考真題）若x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是?3，則2x+2y?3z的值為（

）A．?9 B．?1 C．9 D．1【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、求代數(shù)式的值，根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的定義得出x+y=0，z=?13，將式子變形為【詳解】解：∵x與y互為相反數(shù)，z的倒數(shù)是?3，∴x+y=0，z=?1∴2x+2y?3z=2x+y故選：D．5．（2024·山東德州·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)?1【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義判斷出式子的大小即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得a<0<1<b，∴a<故選：D．6．（2023益陽(yáng)市三模）已知a、b互為相反數(shù)，c、d為倒數(shù)，且m=3，則a+b2024+【答案】10【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)，代數(shù)式求值，利用相反數(shù)、倒數(shù)的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)可求得a+b=0，cd=1，m2【詳解】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d為倒數(shù)，∴a+b=0，cd=1，∵m=3∴m2∴原式=0+?1故答案為：10．QUOTEQUOTE考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法定義：把一個(gè)數(shù)A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．類(lèi)別a的確定n的確定示例|A|＞101≤|a|＜10n為正整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)左移的位數(shù)a=5.5，n=60＜|A|＜1n為負(fù)整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)右移的位數(shù)a=-5.5，n=6-【補(bǔ)充】1）用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，不改變數(shù)的符號(hào)，只是改變數(shù)的書(shū)寫(xiě)形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的數(shù).2）一個(gè)負(fù)數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示.3）科學(xué)記數(shù)法的常見(jiàn)類(lèi)型:①直接將像26000000、320萬(wàn)這樣的較大數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示；②將450km或35nm換算單位后用科學(xué)記數(shù)法表示；③根據(jù)題意，先計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示.2.近似數(shù)準(zhǔn)確數(shù)：在日常生活或生產(chǎn)實(shí)際中，能準(zhǔn)確地表示一些數(shù)的量，成為準(zhǔn)確數(shù).近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)的近似數(shù).精確度：近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.【補(bǔ)充】對(duì)于帶單位的數(shù)或用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，a的末位數(shù)字在還原后的數(shù)中是哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.有效數(shù)字的概念：從左邊第一位非0的數(shù)字到精確數(shù)位的所有的數(shù)字.例：0.012有兩個(gè)個(gè)有效數(shù)字：1,2；3.6萬(wàn)有兩個(gè)有效數(shù)字：3,6；有四個(gè)有效數(shù)字：4,3,6,0.1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2023年呼和浩特市政府工作報(bào)告中指出，我市主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增速達(dá)到十年來(lái)最好水平．地區(qū)生產(chǎn)總值完成3802億元．?dāng)?shù)據(jù)“3802億”用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】3.802×【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法“將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法”，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義是解題關(guān)鍵．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成【詳解】解：3802億=3.802×10故答案為：3.802×102．（2024·上海·中考真題）科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為2×105GB，一張普通唱片的容量約為25GB，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的【答案】8×【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤a<10，n為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的2×10故答案為：8×103．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動(dòng)力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”．什么是阿秒？1阿秒是10?18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個(gè)阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為【答案】4.3×【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，解題的關(guān)鍵是熟知1≤a【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是10?1843阿秒=43×10故答案為：4.3×10考點(diǎn)四平方根、立方根1.算術(shù)平方根定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為，讀作“根號(hào)a”，a叫做被開(kāi)方數(shù).算術(shù)平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有雙重非負(fù)性：1）被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性，即a≥0；2）算術(shù)平方根本身具有非負(fù)性，即QUOTEQUOTE≥0；【小結(jié)】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.兩個(gè)重要等式：1）QUOTE，即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；2），即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.2.平方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根或二次方根.正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.3.立方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的立方根或三次方根.數(shù)a的立方根記作“QUOTE”，讀作“三次根號(hào)a”.【補(bǔ)充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根．平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系關(guān)系 名稱(chēng)平方根立方根區(qū)別性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)表示方法非負(fù)數(shù)a的平方根表示為±QUOTE，根指數(shù)是2，常省略不寫(xiě)數(shù)a的立方根表示為，根指數(shù)是3，不能省略不寫(xiě)被開(kāi)方數(shù)的取值范圍在±QUOTE中，a是非負(fù)數(shù)，即在中，a是任意數(shù)聯(lián)系轉(zhuǎn)化條件都可以轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究，平方根轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來(lái)研究，負(fù)數(shù)的立方根可以轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)的立方根來(lái)研究，即QUOTE.4.常見(jiàn)實(shí)數(shù)的平方與立方：常見(jiàn)數(shù)的平方122232425262728292102149162536496481100112122132142152162172182192202121144169196225256289324361400常見(jiàn)數(shù)的立方1323334353637383931031827641252163435127291000

1．（2023·湖南婁底·中考真題）從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，3A．27 B．37 C．47【答案】A【分析】先判斷出5，39【詳解】解：∵4=2，?∴367，3.1415926，3.3，4，5，?38，39∴從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于（）A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．5的算術(shù)平方根【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵面積等于邊長(zhǎng)的平方，∴面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于9的算術(shù)平方根．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做3．（2023·四川廣安·中考真題）16的平方根是【答案】±2【詳解】解：∵16∴16的平方根是±2．故答案為±2．4．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則2a+2b?c=．【答案】?2【分析】利用相反數(shù)，立方根的性質(zhì)求出a+b及c的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：a+b=0，∴2a+2b?c=0?2=?2，故答案為：?2【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值，相反數(shù)、立方根的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五比較實(shí)數(shù)的大小1）實(shí)數(shù)性質(zhì)法：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而??；2）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于多個(gè)實(shí)數(shù)比較大??；3）作差比較法：a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，若a-b>0，則a>b；若a-b=0，則a=b；若a-b<0，則a<b.4）作商比較法：a、b為正數(shù)，若QUOTE>1，則a>b；若QUOTE=1，則a=b；若QUOTE<1，則a<b5）倒數(shù)比較法：6）平方比較法：a、b為正數(shù)，若a2>b2，則a>b.a、b為負(fù)數(shù)，若a2>b2，則a<b.【補(bǔ)充】主要應(yīng)用于二次根式的估值及比較含有根式的實(shí)數(shù)大小.7）特殊值法：通過(guò)估算，將無(wú)理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.這里需要我們記住三個(gè)常用的近似值:QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.2361．（2024·山東威海·中考真題）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A．?2 B．??2 C．?12【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可求解．【詳解】解：??2∵?2<?∴最小的數(shù)是?2故選：A．2．（2023·江蘇·中考真題）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）．

A．a(chǎn)<?2 B．b<2 C．a(chǎn)>b D．?a<b【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，判斷實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖可知，?2<a<0<2<b<3，a=?a<2<bA、a<?2，錯(cuò)誤；B、b<2，錯(cuò)誤；C、a>b，錯(cuò)誤；D、?a<b，正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．正確的識(shí)圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知a=5，b=2，c=3，則a、A．b>a>c B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】C【分析】由2=4，3【詳解】解：∵2=4，3∴a>b>c，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．4．（2024·安徽·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為10，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的近似值為227．比較大?。?022【答案】>【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，先比較兩個(gè)正數(shù)的平方，從而可得答案．【詳解】解：∵2272=而48449∴227∴10>故答案為：>考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，又增加了非負(fù)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算，任意實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)等同樣適用.1.實(shí)數(shù)的加法法則：1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.2.實(shí)數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).3.實(shí)數(shù)的乘方法則：1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；2）任何數(shù)同0相乘，都得0.【補(bǔ)充】1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；2）0的任何正整數(shù)次冪都是0；3）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù).4.實(shí)數(shù)的除法法則：1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.5.運(yùn)算順序：先進(jìn)行乘方和開(kāi)方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.6.運(yùn)算律類(lèi)別表示加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法分配律【易混易錯(cuò)】1.有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律．2.在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)．1．（2024·江蘇徐州·中考真題）計(jì)算：(1)?3?(2)1?1【答案】(1)2(2)x+1【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根的運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算括號(hào)里的，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，最后約分即可．【詳解】（1）解：?3=3?1+2?2=2；（2）解：1?===x+1．2．（2024·四川廣元·中考真題）計(jì)算：2024?π【答案】?1【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊的三角函數(shù)值，零次冪及負(fù)指數(shù)冪計(jì)算，正確掌握各計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=1+2?33．（2023·青海西寧·中考真題）計(jì)算：?1【答案】2【分析】計(jì)算乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、計(jì)算零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：原式=?1+2=?1+=2【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）計(jì)算：π?20230【答案】10【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：π?2023=1+2+=3+9?2=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算．4題型精研·考命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)?題型01正負(fù)數(shù)的意義1．（2024·海南·中考真題）負(fù)數(shù)的概念最早記載于我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》．若零上20°C記作+20°C，則零下30°CA．?30°C B．?10°C C．+10°C【答案】A【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正負(fù)數(shù)是一對(duì)具有相反意義的量，若零上由正數(shù)表示，那么零下就用負(fù)數(shù)表示，據(jù)此可得答案．【詳解】解：若若零上20°C記作+20°C，那么零下30°C故選：A．2．（2024·河北·中考真題）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的大小比較，熟練掌握正負(fù)數(shù)大小比較的方法解題的關(guān)鍵．由五日氣溫為?2℃,?4℃,0℃,1℃,?1℃得到?2>?4，?4<0<1，1>?1，則氣溫變化為先下降，然后上升，再上升，再下降．【詳解】解：由五日氣溫為?2℃,?4℃,0℃,1℃,?1℃得到?2>?4，?4<0<1，1>?1∴氣溫變化為先下降，然后上升，再上升，再下降．故選：A．3．（2024·江蘇連云港·中考真題）如果公元前121年記作?121年，那么公元后2024年應(yīng)記作年．【答案】+2024【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，公元前為負(fù)，則公元后為正，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：公元前121年記作?121年，那么公元后2024年應(yīng)記作+2024年；故答案為：+2024．4．（2023·甘肅武威·中考真題）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果，如由我國(guó)研制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄．如果把海平面以上9050米記作“+9050米”，那么海平面以下10907米記作“米”．【答案】?10907【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義解答即可．【詳解】解：把海平面以上9050米記作“+9050米”，則海平面以下10907米記作?10907米，故答案為：?10907．【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)的理解：在一個(gè)事件中，規(guī)定一個(gè)量為正，則表示相反意義的量為負(fù)，正確理解正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反的意義的量是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02無(wú)理數(shù)的識(shí)別常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)：1） 一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如0.43241…，7.6385661…等2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：QUOTE、等.[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無(wú)理數(shù)，而開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)才是無(wú)理數(shù).3）與圓周率π有關(guān)的數(shù)，如5π，3+π，QUOTE等.4）看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…5）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.【注意】無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).1．（2022·四川巴中·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．4是無(wú)理數(shù) B．明天巴中城區(qū)下雨是必然事件C．正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108° D．相似三角形的面積比等于相似比【答案】C【分析】二次根式化簡(jiǎn)可得4=2，下雨是可能事件，正五邊形每個(gè)內(nèi)角是108°，相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可解得．【詳解】A．4=2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．

B．明天巴中城區(qū)下雨是可能事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．C．正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，故選正確，符合題意．

D．相似三角形的面積比等于相似比的平方，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式、事件發(fā)生的可能性、正多邊形的內(nèi)角、相似三角形的面積比，解題的關(guān)鍵是記住相關(guān)概念．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（

）A．π2 B．13 C．3【答案】A【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的定義，根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)結(jié)合立方根的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、π2B、13C、327D、0.13133是有理數(shù)，不符合題意；故選A．3．（2023·湖南婁底·中考真題）從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，A．27 B．37 C．47【答案】A【分析】先判斷出5，39【詳解】解：∵4=2，?∴367，3.1415926，3.3，4，5，?38，39∴從367，3.1415926，3.3，4，5，?38，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．4．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與27的積是有理數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，二次根式的性質(zhì)，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法法則是解本題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)27，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算后確定這個(gè)符合條件的無(wú)理數(shù)．【詳解】∵27=33，∴這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是3，（答案不唯一）故答案為：3（答案不唯一）．?題型03科學(xué)記數(shù)法用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵，具體方法為：1）a是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1≤|a|＜10；2）確定n的兩種方法：①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，則n的值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減1；②當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.【小結(jié)】將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)，即為10的指數(shù)的絕對(duì)值.3）用科學(xué)記數(shù)法表示帶單位的大數(shù)的技巧：1．（2024·山東日照·中考真題）交通運(yùn)輸部2024年4月發(fā)布的全國(guó)港口貨物吞吐量數(shù)據(jù)顯示，日照港2024年第一季度吞吐量為15493萬(wàn)噸，居全國(guó)主要港口第6位．將數(shù)據(jù)154930000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．15.493×107 B．1.5493×108 C．【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定【詳解】解：154930000=1.5493×10故選：B．2．（2024·江蘇常州·中考真題）2024年5月10日，記者從中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)獲悉，“中國(guó)天眼”FAST近期發(fā)現(xiàn)了6個(gè)距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類(lèi)迄今直接探測(cè)到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系．50億光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×10【答案】C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法a×10n1≤a<10【詳解】解：50億光年=5×10故選C．3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國(guó)家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個(gè)光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章三號(hào)”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄．“九章三號(hào)”處理高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號(hào)”提升一百萬(wàn)倍，在百萬(wàn)分之一秒時(shí)間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)前最強(qiáng)的超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過(guò)二百億年的時(shí)間．將“百萬(wàn)分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．1×10?5 B．1×10?6 C．【答案】B【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1≤a【詳解】解：百萬(wàn)分之一=11000000故選：B．4．（2024·山東淄博·中考真題）我國(guó)大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動(dòng)了新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)發(fā)布的消息顯示．2024年1至3月，我國(guó)新能源汽車(chē)完成出口30.7萬(wàn)輛．將30.7萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為3.07×10n．則n的值是（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成【詳解】解：30.7萬(wàn)=307000=3.07×10則n=5，故選：B．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04無(wú)理數(shù)的估算估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的兩個(gè)相鄰平方數(shù).1．（2024·重慶·中考真題）估計(jì)122A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【答案】C【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可．【詳解】解：∵122而4<24∴10<26故答案為：C2．（2024·河北·中考真題）已知a，b，n均為正整數(shù)．（1）若n<10<n+1，則n=（2）若n?1<a<n,n<b<n+1，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)總比【答案】32【分析】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問(wèn)題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；（1）由3<10（2）由n?1，n，n+1為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，n?1<a<n,n<b<n+1，可得【詳解】解：（1）∵3<10<4，而∴n=3；故答案為：3；（2）∵a，b，n均為正整數(shù)．∴n?1，n，n+1為連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，而n?1<a∴n?12<a觀察0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，??，而02=0，12=1，22∴n?12與n2之間的整數(shù)有n2與n+12之間的整數(shù)有∴滿足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少2n?2n?2故答案為：2．3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJ【答案】2（答案不唯一）【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，無(wú)理數(shù)的估算．利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求得AB=CD=10，GH=GJ=1，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算結(jié)合GH<DE<CD【詳解】解：∵S正方形∴AB=CD=10∵S正方形∴GH=GJ=1，∵3<10<4，即∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)GH<DE<CD，即1<DE≤3，∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)可以是2，故答案為：2（答案不唯一）．QUOTE?題型05實(shí)數(shù)的大小比較實(shí)數(shù)比較大小的常用方法1）兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而??；2）將實(shí)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)；3）作差或作商法：作差后與0進(jìn)行比較，作商后與1進(jìn)行比較；4）估算法：常見(jiàn)QUOTE≈1.414，QUOTE≈1.732，QUOTE≈2.236；5）乘方法：符號(hào)相同的兩個(gè)根式，利用乘方法來(lái)比較大小.1．（2024·四川自貢·中考真題）在0，?2，?3，π四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（

A．?2 B．0 C．π D．?【答案】C【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)>0>負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小．【詳解】解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得：?2<?3∴在0，?2，?3，π四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是π故選：C．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知a=5，b=2，c=3，則a、A．b>a>c B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】C【分析】由2=4，3【詳解】解：∵2=4，3∴a>b>c，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．3．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題．(2)比較大?。?368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根據(jù)作差法求M?N的值即可得出答案；（2）根據(jù)作差法求2368【詳解】（1）解：M?N=a∵3a>b>0，∴3a?b∴M>（2）解：∵23∴23故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過(guò)作差法求解，掌握分式運(yùn)算的方法．4．（2024·云南·中考真題）已知拋物線y=x2+bx?1的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=32．設(shè)m是拋物線y=(1)求b的值；(2)比較M與132【答案】(1)b=?3(2)當(dāng)M=3+132時(shí)，M>132【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?b（2）當(dāng)M=3+132時(shí)，M>132【詳解】（1）解：∵拋物線y=x2+bx?1∴?b∴b=?3；（2）解：∵m是拋物線y=x2+bx?1∴m2∴m2∴m4∴m4而m代入得：m4∴m5∴M=m∵m2解得：m=3±當(dāng)M=m=3+13∴M>13當(dāng)M=m=3?132∴M<13【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式，與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，無(wú)理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對(duì)m5?題型06實(shí)數(shù)與數(shù)軸1．（2024·山東青島·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最小的是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【答案】C【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示的是這個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離，故離原點(diǎn)越近，其絕對(duì)值越小，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知，c<∴這四個(gè)實(shí)數(shù)中絕對(duì)值最小的是c，故選：C．2．（2024·四川南充·中考真題）如圖，數(shù)軸上表示2的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無(wú)理數(shù)的估算．先估算出2的范圍，再找出符合條件的數(shù)軸上的點(diǎn)即可．【詳解】解：∵1<2∴數(shù)軸上表示2的點(diǎn)是點(diǎn)C，故選：C．3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，若

A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)?b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)【答案】A【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸、正數(shù)和負(fù)數(shù)、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，得到a<0，b>0且a<數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a，a+b，b，則AM=a+b?a=b、BM=b?a+b=?a，由AM>BM可得原點(diǎn)在A、M之間，由它們的