2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線、平面平行的判定與性質(zhì)（八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線和平面平行........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)平面平行..........................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................6

題型一：平行的判定.............................................................7

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................8

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法............................................10

題型四：利用面面平行證明線面平行..............................................13

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行........................................15

題型六：面面平行的證明........................................................17

題型七：面面平行的性質(zhì)........................................................19

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................20

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................23

05課本典例?高考素材............................................................25

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................45

易錯(cuò)點(diǎn)：線面平行定理的理解不夠準(zhǔn)確............................................45

答題模板：面面平行的證明......................................................27

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是高考中的熱點(diǎn)，線線、線

2024年北京卷第17(1)題，5分面、面面平行與證明通常出現(xiàn)在解答題的第

(1)直線與平面平行的

2024年I卷第17(1)題，5分一問(wèn).本節(jié)內(nèi)容將空間中平行的判定與性質(zhì)

判定與性質(zhì)

2022年甲卷(文)第19題，12分綜合在一起復(fù)習(xí)，通常在高考題目中，雖然

(2)平面與平面平行的

2022年乙卷(文)第9題，5分證明的結(jié)論是平行，但是過(guò)程中經(jīng)常交叉使

判定與性質(zhì)

2021年浙江卷第6題，4分用空間直線、平面平行的判定定理或性質(zhì)，

因此題目的綜合性增強(qiáng).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解空間中直線與直線'直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

(2)掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，

則稱此直線/與平面a平行，記作7〃a

如果平面外的一條直線和這個(gè)平

面內(nèi)的一條直線平行，那么這條

直線和這個(gè)平面平行

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)

（性質(zhì)定理這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那

么這條直線就和交線平行

直線、平面平行的判定與性質(zhì)

一、、，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，

用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和人若af|0=巾，則?！≒

割電二手如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行

兩個(gè)平面平行為正力由于另一個(gè)平面那么這兩個(gè)平面平行

性后一禪如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三介平面

陽(yáng)人正埋相交，那么他們的交線平行

老占突硒?力理慳宙

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線/與平面a平行，記作/IIa

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這/

線II線=>線個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么(ua>=>/〃a

II面這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記￡__/1a

為“線線平行=線面平行

如果兩個(gè)平面平行，那么在a〃(3、

>na〃B

面II面=>線一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于aua

II面另一個(gè)平面

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和IIIa

一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)lu0>nI//

線II面n線II線

這條直線的平面和這aip=rJ

個(gè)平面相交，那么這

條直線就和交線平行

【診斷自測(cè)】如圖，在長(zhǎng)方體-A4G2中，￡是棱。R的中點(diǎn)，試判斷8R與平面AEC的位置關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)平面平行

1、定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和夕，若a分=。，則aII/

2,判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩aua,bua,ab-P

線II面0條相交的直線都平行于另

a//0,b//p0a//13

面II面一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平

面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行

=面面平行

線_1_面=如果兩個(gè)平面同垂直lLa

,八卜二＞aIIp

面II面于一條直線，那么這兩個(gè)zfvlLf3\

平面平行/1/

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果兩個(gè)平面平

面〃面=

行，那么在一個(gè)平面中a//

線〃面卜=Q〃尸

的所有直線都平行于另auaj

外一個(gè)平面

如果兩個(gè)平行平面

同時(shí)和第三個(gè)平面相alip1

ay==a〃l、.

性質(zhì)定理交，那么他們的交線平一/

/3\y-b

行（簡(jiǎn)記為“面面平行

=線面平行”）

如果兩個(gè)平面中有

面〃面=>一個(gè)垂直于一條直線，a//(3\

線，面那么另一個(gè)平面也垂直1.La\

于這條直線

【診斷自測(cè)】如圖1,在矩形A3CD中，AE=EF=FB=BC=CG=母,將三角形ADE沿著線段。E向上

折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的位置，且平面平面DEFG,將正方形BCGV沿著G尸向上折起，使得

點(diǎn)B,C分別到達(dá)點(diǎn)B',C'的位置，且平面EC'GB，平面。ERG,構(gòu)成如圖2所示的多面體，點(diǎn)”為線段

(1)證明：平面A'MN〃平面B'C'GF；

(2)求三棱錐D-4CN的體積.

解題方法總結(jié)

線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示.

(1)證明直線與平面平行的常用方法:

①利用定義，證明直線。與平面a沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行=線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面,

同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；

（2）證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；

④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面.

（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

題型一：平行的判定

【典例L1】（2024?山東淄博?二模）已知a,￡,y為三個(gè)不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若a/3=l,a7=。,刀「7=6,"/7,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.。與/相交B.6與/相交C.a\\bD.。與￡相交

【典例1-2】（2024?高三?北京海淀?期末）設(shè)/方,7是三個(gè)不同平面，且ay=m,則“"/優(yōu)是

“a〃尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【方法技巧】

排除法：畫一個(gè)正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進(jìn)行排除.

【變式1-1］（多選題）（2024?河南?三模）已知戶是兩個(gè)不同平面，加，〃是兩條不同直線，則下列命

題為假命題的是（）.

A.如果加mYa,n!Ip,那么夕_1_尸

B.如果n11a,那么

C.如果a〃如，加ua,那么"M/尸

D.如果相〃人a!1/3,那么/”與戊所成的角和〃與夕所成的角的大小不相等

【變式1-2］（2024.貴州遵義.二模）已知平面/口,/滿足下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線/，￡，則/〃尸或//0

B.若直線〃/戊，貝心與尸和/相交

C.若/uc,則/，尸，且/!■/

D.若直線/過(guò)空間某個(gè)定點(diǎn)，則與名片/成等角的直線/有且僅有4條

【變式1-3】下列四個(gè)正方體中，A,B,C為所在棱的中點(diǎn)，D,E,b為正方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則能得

出平面ABC〃平面r）￡F的是（）

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

【典例2-1】如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面ABC。是平行四邊形，M,N分別是棱尸B,PC的中點(diǎn)，Q

是棱加上一點(diǎn)，且4Q=3QP.

p

為上二二一

求證:N。〃平面MCZ）；

【典例2-2]如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，點(diǎn)/在棱R4上（不與端點(diǎn)重合），E,

尸分別是尸。，AC的中點(diǎn).

證明：￡F〃平面尸BC.

【方法技巧】

利用三角形中位線找線線平行.

【變式2-1]（2024?山東濟(jì)南.三模）如圖所示，PDCE為矩形,ABCD為梯形，平面尸DCEL平面A3CD,

ZBAD=ZADC=90°,AB=AD=；。=1,尸。=&.

若點(diǎn)M為R4的中點(diǎn)，證明:AC〃平面ATOE；

【變式2-2](2024.陜西銅川.三模)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是正方形，平面A3CD,點(diǎn)E是

2A的中點(diǎn)，歹是線段PB上靠近P的三等分點(diǎn)，PD=AD=2.

(1)求證：尸C〃平面BDE；

(2)求點(diǎn)F到平面的距離.

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

【典例3-1]如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PAL底面

ABCD,點(diǎn)E為棱尸C的中點(diǎn)，AD=DC=AP=2AB=2.

p

E

AB

證明：BE〃平面B4D；

【典例3-2】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-ABG，中，E、P及G分別為棱8與、0A和CQ的中點(diǎn).

求證：GF//平面。EG；

【方法技巧］

利用平行四邊形找線線平行.

【變式3-1］（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸-ABCD中，24,底面A3CO,AD//BC,

AB=AD=AC=3,P4=BC=4,M,N分另IJ為線段AD,PC上一點(diǎn)，AM^IMD.

p

B

若N為PC的中點(diǎn)，證明：MN〃平面MB；

【變式3-2](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形A3co是矩形，”,N分別

是尸￡)和8C的中點(diǎn)，平面PABABCD,PA=PB=AB=AD=2.

(1)證明：MN//平面A4B；

(2)求三棱錐M-ABC的體積.

【變式3-3]如圖，在正三棱柱ABC-AqG中，￡>,，,歹分別是3C,4G，A4的中點(diǎn)，BC=4BE,

_ABC的邊長(zhǎng)為2.

求證：：￡F〃平面A￡>AA；

題型四：利用面面平行證明線面平行

【典例4-1】（2024.貴州貴陽(yáng).二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)ABC。-A4G。中,

及尸分別為"），AB的中點(diǎn)，AB=2A1B1=4,側(cè)面即GC與底面"CD所成角為45。.

求證：82//平面AEF；

【典例4-2］（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,4）上AB,點(diǎn)E、R在平面的同側(cè),

CF//AE,AD=1,AB=BC=2,平面ACFE_L平面A3cD,EA=EC=6.

E.■F

求證：3/〃平面ADE；

【方法技巧】

本法原理：已知平面e〃平面夕，則平面夕里的任意直線均與平面a平行

【變式4-1]（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在直角梯形A3CD中，ADHBC,ABA.BC,AB=BC=2AD,

把梯形繞A3旋轉(zhuǎn)至ABG2，E,尸分別為AB,CQ中點(diǎn).

證明：跖〃平面CQA；

【變式4-2]（2024?廣東深圳?高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，多面體A38EF中，四邊形

A3CD為矩形，二面角A-CD—尸的大小為45,DE//CF,CD1DE,4）=2,DC=3.

A

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

【典例5-1】如圖，直四棱柱A2C。-被平面a所截，截面為CDEF,且EF=DC,

DC=2AD==2,ZADC=^,平面防CD與平面ABCD所成角的正切值為.證明：AD//BC.

【典例5-2】如圖，平面ABCD,3尸〃平面ADE,CF//AE.求證：AD//BC.

【方法技巧】

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行

【變式5-1】如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,AA，2片為圓臺(tái)的兩條不同的母線.

。，。分別為圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心，且△Q48為等邊三角形.求證：HAB.

【變式5-2］（2024.江蘇.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A6GR中，DD.L^ABCD,AD!IBC,

AD=DC=2,BC=i,ZBCD=60=DXD=1.

記平面AA。。與平面與BCG的交線為/,證明：//ABC;

【變式5-3］（2024?甘肅?一模）如圖，空間六面體ABCDE尸GH中,AD//BC,￡H〃/G,

ABCD=ZFGH=90,平面ABCD//平面EFGH,CDWG為正方形，平面〃E）CG_L平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.

求證：AE//BF；

題型六：面面平行的證明

【典例6-1】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，DE_L平面ABCD,3/，平面ABCD,

DE=2BF=2AB.

⑴求證：平面ABF〃平面COE；

(2)若AB=2,求多面體ABCDE尸的體積.

【典例6-2】(2024.高三.陜西西安?期中)如圖，在圓臺(tái)。|。中，A|A5B1為軸截面，AB=2AtB1=4,

Z4AB=60。，C為下底面圓周上一點(diǎn)，尸為下底面圓。內(nèi)一點(diǎn)，&E垂直下底面圓。于點(diǎn)E,

ZCOF=NEFO.

（1）求證：平面OQC〃平面AEF；

【方法技巧】

常用證明面面平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線同時(shí)

垂直于這兩個(gè)平面.證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行.

【變式6-1］（2024?重慶?二模）如圖，直棱柱ABCD-ABC，中，底面ABCD為梯形，AB//DC,且

48=2￡>C,E,歹分別是棱AB,AD的中點(diǎn).

證明：平面REP//平面G8。；

【變式6-2］（2024?四川眉山.三模）如圖，在多面體ABCDE/中，四邊形A3CD為菱形，平面尸CDJ_平面

jr

ABCD,平面平面/陽(yáng)是等腰直角三角形，且4DFC=4BEA=g.

證明：平面ABF〃平面COE；

【變式6-3］（2024?黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱A8C-4耳G中，側(cè)面抽（:（為矩形，M,N

分別為AC,AG的中點(diǎn).

求證：平面平面片NC；

題型七：面面平行的性質(zhì)

【典例7-1］（2024.福建南平.二模）在正四面體A3CD中，P為棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的平面a與平面

尸3c平行，平面a平面=%，平面。平面ACD=〃，則加，幾所成角的余弦值為（）

A.—B.-C.-D.且

3333

【典例7-2】已知正方體ABC。-4用G2,平面陰C與平面r>2GC的交線為/,則（）

A.1HAiDB.IIIB.DC.IgDD.〃/2c

【方法技巧】

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡(jiǎn)記為“面面平行一線面平行”）

【變式7-1］如圖，平面&//平面￡,所在的平面與a,￡分別交于C￡>,AB,若PC=2,8=3,

【變式7-2】如圖，梯形A3C。中AB〃CD,四邊形A'3'C'。'是梯形ABCD在平面a內(nèi)的投影

{AA:/IBB'//CC'l/Diy},則對(duì)四邊形AB'CD的判斷正確的是（）

A.可能是平行四邊形不可能是梯形B.可能是任意四邊形

C.可能是平行四邊形也可能是梯形D.只可能是梯形

【變式7-3］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體A2CD-A耳GQ中，A4,=；AO=3A3=3,過(guò)頂點(diǎn)G作平面

丫,使得力/平面43。，若7I平面ABCD=Z,則直線/和直線48所成角的余弦值為（）

A.正B.&C.史D.正

55105

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

4

【典例8?1】（2024.四川樂(lè)山.三模）在三棱柱⑷5C-4月G中，點(diǎn)。在棱8月上，滿足匕_5CGD=3%J^G，

點(diǎn)V在棱AG上，且=,點(diǎn)N在直線8月上，若MN//平面A￡)G，則加=()

A.2B.3C.4D.5

【典例8-2]如圖1,VABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)RE分別在線段AC,45上，且AE=1,AO=2,

沿DE將VADE翻折到△力?￡的位置，使得尸8=石，如圖2.

在線段尸8上是否存在點(diǎn)M,使得EM//平面PC。，若存在，求出工的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【方法技巧】

證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)

鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

【變式8-1】在三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)。、。分別是AC、4G上的點(diǎn)，且平面〃平面A片2,

試求二三的值.

【變式8-2](2024?上海嘉定?三模)在長(zhǎng)方體中，AD=DD}=1,AB=BE、F、G分

別為A3、BC、GR的中點(diǎn).

(1)求三棱錐A-GE〃的體積；

(2)點(diǎn)P在矩形A38內(nèi)，若直線R尸〃平面環(huán)G,求線段RP長(zhǎng)度的最小值.

【變式8-3］如圖，在正四面體S-A5C中，AB=4,E,F,R分別是S3,SC,SA的中點(diǎn)，取SE,SF

的中點(diǎn)M,N,0為平面S8C內(nèi)一點(diǎn).

⑴求證：平面MNR〃平面AER；

⑵若夫?！ㄆ矫媲缶€段RQ的最小值.

【變式8-4］如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC,AC1BC,〃為PC的中點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn),

PA=AC=2,BC=1.

⑴求證：AHLBC；

⑵求點(diǎn)C到平面ABH的距離;

PN

(3)在線段PB上是否存在點(diǎn)N,使血W//平面ABC?若存在，求出萬(wàn)萬(wàn)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

1.(2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題)如圖已知正方體ABC。-44G2,M,N分別是A。，"8的中點(diǎn)，則

()

A.直線4。與直線垂直，直線〃平面ABCD

B.直線與直線平行，直線平面瓦百

C.直線4。與直線相交，直線A/N〃平面ABCD

D.直線4。與直線。出異面，直線跖VI平面

2.（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（瓊、寧卷））已知平面al平面￡,帥歸1,點(diǎn)Aea,

Ail,直線AB||/,直線AC1/,直線網(wǎng)la,m||￡,則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）

A.AB\\mB.AClmC.AB\\/3D.AC邛

3.（多選題）（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版））如圖，在下列四個(gè)

正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線A3與平

面MNQ平行的是（）

4.（2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（福建卷））如圖，在正方體中,

AB=2,E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在C。上，若斯〃平面股C,則.

0

課本典例?高考素材\\

1.如圖，a,6是異面直線，aua,a/10,bu/3,b//a,求證：a///?.

2.如圖,-/￡///,直線0與b分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)DE,F,求證券喑

3.一木塊如圖所示，點(diǎn)P在平面K4C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于直線和AC,應(yīng)該怎樣畫

線？

4.如圖，在長(zhǎng)方體A3CD—4B'C7）'中，E,P分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證即〃A，C.

5.如圖，在長(zhǎng)方體木塊ABC。-中，面AG上有一點(diǎn)尸，怎樣過(guò)點(diǎn)尸畫一條直線與棱CO平行?

〃平面ABC的是（）

N

【易錯(cuò)題2】如圖，已知四棱錐S-A3CD中，底面A3a＞是平行四邊形，E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).

求證：SA〃平面ED3；

答題模板：面面平行的證明

1、模板解決思路

解決這類面面平行問(wèn)題，關(guān)鍵在于利用面面平行的判定定理。核心步驟是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交

的直線，這兩條直線需要平行于另一個(gè)平面。為了找到這樣的直線，我們需要仔細(xì)分析題目給出的條件，

并結(jié)合所給的立體圖形，從中尋找和平行關(guān)系相關(guān)的信息。有時(shí)候，我們也需要勇于做出合理的猜測(cè)，以

輔助我們找到解決問(wèn)題的線索。

2、模板解決步驟

第一步：在一個(gè)平面a內(nèi)找到平行于平面力的兩條相交直線a,b

第二步：通過(guò)線面平行的判定定理證明直線a,5都平行于平面夕.

第三步：通過(guò)面面平行的判定定理得到平面a平行于平面夕.

【典型例題1】如圖所示，在三棱柱A8C-44G中，若烏、D分別為B?、BC的中點(diǎn)，求證：平面

483"/平面4；。.

【典型例題2】如圖，已知三棱柱中，AC與AC1交于點(diǎn)。。為邊上一點(diǎn)，。為中

點(diǎn)，且AB”平面AOG.求證：平面48，//平面A￡)q.

第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線和平面平行........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)平面平行..........................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................6

題型一：平行的判定.............................................................7

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................8

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法............................................10

題型四：利用面面平行證明線面平行..............................................13

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行........................................15

題型六：面面平行的證明........................................................17

題型七：面面平行的性質(zhì)........................................................19

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................20

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................23

05課本典例?高考素材............................................................25

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................45

易錯(cuò)點(diǎn)：線面平行定理的理解不夠準(zhǔn)確............................................45

答題模板：面面平行的證明......................................................27

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是高考中的熱點(diǎn)，線線、線

2024年北京卷第17(1)題，5分面、面面平行與證明通常出現(xiàn)在解答題的第

(1)直線與平面平行的

2024年I卷第17(1)題，5分一問(wèn).本節(jié)內(nèi)容將空間中平行的判定與性質(zhì)

判定與性質(zhì)

2022年甲卷(文)第19題，12分綜合在一起復(fù)習(xí)，通常在高考題目中，雖然

(2)平面與平面平行的

2022年乙卷(文)第9題，5分證明的結(jié)論是平行，但是過(guò)程中經(jīng)常交叉使

判定與性質(zhì)

2021年浙江卷第6題，4分用空間直線、平面平行的判定定理或性質(zhì)，

因此題目的綜合性增強(qiáng).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解空間中直線與直線'直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

(2)掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，

則稱此直線/與平面a平行，記作7〃a

如果平面外的一條直線和這個(gè)平

面內(nèi)的一條直線平行，那么這條

直線和這個(gè)平面平行

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)

（性質(zhì)定理這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那

么這條直線就和交線平行

直線、平面平行的判定與性質(zhì)

一、、，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，

用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和人若af|0=巾，則。〃P

割電二手如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行

兩個(gè)平面平行為正力由于另一個(gè)平面那么這兩個(gè)平面平行

性后一禪如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三介平面

陽(yáng)人正埋相交，那么他們的交線平行

考點(diǎn)突破■題型探究

--------------[HHHJT,

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線/與平面a平行，記作/IIa

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這1i//i,

線||線=線個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么(U6Z>n/〃夕

U面這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記Z_/IqLa

為“線線平行n線面平行

如果兩個(gè)平面平行，那么在a〃3

面II面=線一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于aua

II面另一個(gè)平面

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和1//a

一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)lu/3>=>/〃

線II面n線II線

這條直線的平面和這a[\p=Tj

個(gè)平面相交，那么這

條直線就和交線平行

【診斷自測(cè)】如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A51GA中，￡是棱的中點(diǎn)，試判斷與平面AEC的位置關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

DxG

AB

【解析】8。與平面AEC平行，理由如下,

連接3￡>cAC=O,再連接EO,如圖，

。G

AB

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABC。-45GA中，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

所以。是的中點(diǎn)，又E是棱的中點(diǎn)，所以O(shè)E/AB2，

又OEu平面AEC,平面AEC,所以BQ//平面AEC.

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)平面平行

1、定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和夕，若//?=。，則a||夕

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩b=P

線II面=條相交的直線都平行于另