2025年中考數(shù)學一輪復習：與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計算（練習）（解析版）

考點20.與圓有關(guān)的位置關(guān)系及計算（精練）

限時檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在正方形方格中，A,B,C,D,E,P均在格點處，則點尸是下列

哪個三角形的外心（）

A.AACEB.AAB￡>C.ACDD.^BCE

【答案】D

【分析】利用勾股定理，可求得點尸到4B,C,D,E各點的距離，只有到2、C、E的距離相等，而三

角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，即可解答.

【詳解】解：如圖，由勾股定理得：PC=PE=PB=打+f=回，

"至IJB、C、E的距離相等，國產(chǎn)是的外心，故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外心及勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟悉三角形外心的概念.

2.（2023?上海虹口?校聯(lián)考二模）如圖，在矩形A3CD中，對角線AC與8。相交于點。，AB=5,

BC=12.分別以點0、D為圓心畫圓，如果與直線AD相交、與直線C。相離，且與。內(nèi)切,

那么。的半徑長廠的取值范圍是（）

B

1525

A.—<r<4B.—<r<6C.9<r<—D.9<r<13

222

【答案】C

【分析】過點。作。勾股定理求得3D=13,進而根據(jù)平行線分線段成比例得出

OE=\AB,OF=\AD,根據(jù)題意，畫出相應的圖形，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，當圓。與AD相切時，過點。作

團矩形ABCD中，對角線AC與5。相交于點。，AB=5,BC=12.

[?]AD±CD,CD=AB=5,AD=BC=12,B￡>^AB2+AZ）2=13，

155135

⑦OE〃DCOOE=—AB=—,貝—=F—=9；

22222

113?5

當圓。與CD相切時，過點。作OT7，。。于點尸，如圖所示，則。/=7AD=6則/=工+6=-^

222

25

團。與直線AD相交、與直線CQ相離，且D與。內(nèi)切時，9<r<y,故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置

關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山東泰安?統(tǒng)考三模）如圖，拋物線丁=1/-4與x軸負半軸交于點A,P是以點C（0,3）為圓心，

4

2為半徑的圓上的動點，。是線段抬的中點，連接則線段。。的最小值是（）

3r-r-

A.-B.2C.2V5-2D.2V3-2

【答案】A

【分析】連接3P，如圖，先解方程:一一4=。得A（Y,O）,3（4,0）,再判斷為.」皿尸的中位線得到

OQ=^BP,利用點與圓的位置關(guān)系，3P過圓心C時，/>5最小，如圖，點尸運動到P位置時，BP最

小，然后計算出BP'即可得到線段。。的最小值.

【詳解】解：連接成，如圖，當y=0時，52-4=。,解得%=4,X2=-4,回A（T,0）,3（4,0）,

團。是線段外的中點，回。。為AAB尸的中位線，13OQ=^BP,

當BP最小時，。。最小，而3尸過圓心C時，PB最小,如圖，點P運動到P'位置時，BP最小,

._____3

0BC=A/32+42=5-回叱=5—2=3,回線段°。的最小值是故選：A.

【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到

圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.也考查了三角形中位線.確定P'位置是解題的關(guān)

鍵.

4.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）如圖，AB為。。直徑，C為圓上一點，/為&ABC內(nèi)心，加交（。于

D,。/，4￡）于/,若8=4,貝IAC為（）

人?空IC2如

【答案】A

【分析】如圖，連接B/,BD,由題意知，AD平分，3AC,3/平分NABC,則N3AD=NC4。，

ZABI=ZCBI,BD=CD'BD=CD=4,由

ZDBI=ZDBC+ZCBI=ZDAC+ZCBI=ZDAB+AABI=ABID,可得ZD=3￡）=4,由垂徑定理得

OHAD,則AZ）=2ZD=8,由勾股定理得，AB^^BEP+AD1=445＞如圖，連接。。交3C于E，則

OD1BC,設DE=x,貝l[OE=26-x,由勾股定理得，BE2=OB2-OE2=BD2-DE2,即

（2V5）2-（275-X）2=42-X2,解得x=竽，進而可得BE=半，BC=2BE=^~,由勾股定理得，

AC7AB2-BC?，計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接R,BD,

D

由題意知，AD平分/BAC,3/平分/ABC,

^\ZBAD=ZCAD,ZABI=ZCBI,回8D=CD，BD=CD=4,

0ZDBI=NDBC+NCBI=ZDAC+ZCBI=ZDAB+ZABI=ABID,SID=BD=4,

SOILAD,0AD=2ZD=8,由勾股定理得，ABHBU+AD?=46'

如圖，連接。。交BC于E,則ODL3C,設DE=x,貝UOE=26-x,

由勾股定理得，BE2=OB2-OE2=BD2-DE2,即（2喬了_僅若=4?一無?，解得彳=竽，

0BE=—,8C=2BE=竺好，由勾股定理得，AC=^AB2-BC1=^^-,故選：A.

555

【點睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性

質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

5.（2023?浙江?模擬預測）如圖，在Rt^ABC中，—C為直角，AC=12,BC=5,在三角形的內(nèi)部有一個

半圓，半圓與均相切且直徑在AC上.則半圓的半徑為（）

B

1359

C.—D.

5I?

【答案】B

【分析】設半圓與AB相切于。點，連接。、D,根據(jù)切線的性質(zhì)，OD±AB,在RtZXAnO中，根據(jù)勾

股定理列方程即可得解.

【詳解】解：如圖，

設半圓與A3相切于。點，連接。、D,根據(jù)切線的性質(zhì)得，

由切線長定理得，BD=BC=5,在Rt^ABC中，—C為直角，AC=12,BC=5,

AC~+BCI=AB2,AF=A/52+122=13,'''=8,

在RtZiADO中，設半徑為乙則O￡>=OC=r,49=12—r,

in

由勾股定理得，OD2+AD2=OA2r2+82=（12-r）02,解得，r=y.故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及圓的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形列方程解

決問題是關(guān)鍵.

6.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）如圖，ABC的內(nèi)切圓（圓心為點O）與各邊分別相切于點D,E,F,連接

EF,DE,DF.以點8為圓心，以適當長為半徑作弧分別交AB,BC于G,H兩點；分別以點G,H

為圓心，以大于1G〃的長為半徑作弧，兩條弧交于點尸；作射線3P.下列說法不正確的是（）

2

A.射線3P一定過點。B.點。是,DEF三條中線的交點

C.若ABC是等邊三角形，則￡＞E=：8CD.點。是一DEF三條邊的垂直平分線的交點

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓和外接圓的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：A、回一ABC的內(nèi)切圓圓心為。，團點。是一ABC三條角平分線的交點，

以點B為圓心，以適當長為半徑作弧分別交A3,BC于G,X兩點；分別以點G,〃為圓心，以大于

的長為半徑作弧，兩條弧交于點P；作射線的，由此可得8尸是角平分線，所以射線5尸一定過點。，說

法正確，故此選項不符合題意；B、團￡＞、E、尸都在。上，回,。是少￡尸的外接圓，

回點。是4EF三條邊的垂直平分線的交點，故此選項符合題意；

C、當一ABC是等邊三角形時，貝IJOCLAB,

團43與＜。相切于點。，SODA.AB,回。、D、C三點共線，回點。是A3的中點，

同理點E是AC的中點，回DE是4ABe的中位線，B1DE=^BC,故此選項不符合題意；

D、回。、E、尸都在。上，回。是川EF的外接圓，

回點。是ADEF三條邊的垂直平分線的交點，故此選項不符合題意；故答案為：B.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓和外接圓的特點和性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是能與其它知

識聯(lián)系起來，加以證明選項的正確.

7.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考二模）在Rt^ABC中，AB=6cm,BC=8cm,則這個三角形的外接圓半徑為___

cm.

【答案】4或5

【分析】根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)，其圓心是直角三角形斜邊中點，從而利用勾股定理求出斜邊長即

可得到答案，注意題中并沒有指明具體的直角，需要分類討論求解.

【詳解】解：在Rt^ABC中，AB=6cm,8C=8cm,則分三種情況：

①當NA=90。，如圖所示：.,?這個三角形的外接圓半徑為;3C=；x8=4cm；

②當？390?,如圖所示：AC=y/AB2+BC2^62+82-10cm-

???這個三角形的外接圓半徑為《AC=1X10=5cm；

22

③當NC=90。，AB=6cm<8cm=BC,

由于直角三角形中斜邊大于直角邊，則該情況不存在；

綜上所述，這個三角形的外接圓半徑為4cm或5cm,故答案為：4或5.

【點睛】本題考查三角形外接圓的性質(zhì)，設計勾股定理，根據(jù)題意，分類討論求解是解決問題的關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇無錫,?？级＃┮阎猂taABC三邊分別為6,8,10,則該三角形的內(nèi)心，外心和重心圍

成的小三角形的面積為.

【答案】|

【分析】取A3中點O,則點。為外心，取AC中點E,連接班、CD交于點、G,則點G為重心，設點尸

為內(nèi)心，過點G作垂直BC于N,交ED與M,作FH_LCB于點H,根據(jù)外心，重心，內(nèi)心的性質(zhì)分

別求得GM=1,GN=2,CG=y,勾股定理求得CN,根據(jù)作圖可得FG〃上W,進而根據(jù)三角形面積

公式即可求解.

【詳解】解：如圖，RtAABC,AC=6,BC=8,AB=10,

取AB中點D,則點。為外心，取AC中點E,連接BE、CO交于點G,則點G為重心，設點尸為內(nèi)心，

過點G作垂直于3C于N,交ED與M,作FH_LCB于點H,

，點為中點，AC=6,EC=3=MN,由題得，皮）為中位線，

:.ED：CB=1：2,.'.GM：GN=1：2,DG：CG=1：2,GN=2,

CD=-AB=5,CG=-x5=—,:.CN=^CG2-NG2=-,

2333

2s4882

由內(nèi)切圓半徑r=K得，/=丁=2,:.FH=CH=2,:.HN=--2=-,

c2433

0FH=GN=2,FH±BC,MN±BC,GN,El四邊形FGNH為矩形，

FG//HN,.?.SFGD=|FG-MG=|X|X1=1.故答案為：

【點睛】本題考查了三角形外心，重心，內(nèi)心的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?江蘇鹽城?校考模擬預測）如圖，AB,AC,是（。的切線，P,C,。為切點，若

AB=10,AC=7,則的長為.

【分析】此題考查切線長定理，由AC與相切于點C、與0。相切于點尸，可得AC=AP,同理得

BD=BP,再由即=BP=M-AC求得結(jié)果.熟練運用切線長定理解決問題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：AC與。相切于點C、A3與（。相切于點P,，AC=AP=7,

A8=10,BP=AB—AP=10—7=3,

QBD與。相切于點。、族與〔。相切于點尸，???BD=B尸=3,「.8D的長為3,故答案為：3.

10.（2023?浙江衢州??？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，半徑為2的.；P的圓心P的坐標為

（-3,0）,將P沿x軸正方向以0.5個單位/秒的速度平移，使P與y軸相切，則平移的時間為一秒.

【答案】2或10

【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可.

【詳解】解：當。尸位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；回/=白=2（秒）；

當《尸位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5.回:導=10（秒）；故答案為：2或10

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓

的半徑.

11.（2023?山西大同?校聯(lián)考一模）如圖，AB是,：。的直徑，DB、OE分別切,；。于點8、C,若

ZACE=25°,則/。的度數(shù)是

【答案】50。/50度

【分析】連接5C,由切線長定理證明"3C=NDCB,再求得/5。=180。-90。-25。=65。，最后由三角

形的內(nèi)角和定理求得一。的度數(shù).

SDB,OE分別切。于點2、C,,SBD=DC,^ZDBC=ADCB,

13AB是＜。的直徑，EZACB=9000ZACE=25°,0Z.BCD=180°-90°-25°=65°,

0ZDBC=ZDCB=65。,0ZD=18O°-2x65°=5O°；故答案為50°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識，綜合性強，難度一般.

12.（2023?四川成都,統(tǒng)考二模）已知尸是，。內(nèi)一點（點尸不與圓心。重合），點尸到圓上各點的距離中，

最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程依2-12依-20=0的兩個實數(shù)根，則。的直徑為.

【答案】12

【分析】根據(jù)題意知的直徑為最小距離與最大距離的和，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：回尸是，。內(nèi)一點，

0。的直徑為最小距離與最大距離的和，

團最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程62一12依-20=0的兩個實數(shù)根，

固。的直徑為-3=12,故答案為：12.

a

【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)

的關(guān)系.

13.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考二模）已知,ABC內(nèi)接于O,它的內(nèi)心為點。，連接AD交弦BC于點E,交

。于點E已知8E=5,CE=4,EF=3,則線段DE的長為.

A

B\IE7C

【答案】＞/29-3/-3+A/29

【分析】連接BZ),BF,通過證明得到△8￡Fs△的，求得線段.，利用三角形的內(nèi)心是三角形的三個

內(nèi)角平分線的交點，根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求得M的長，再利用三角形的外角的性

質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到DF=BF,則DE=DF-EF.

Q廠仁An廠廠c4廠廠EFBE35A廠2°

團？CBEF=?AEC,^^BEF^/\AEC,團——二——,團一二——,團AE=——,

ECAE4AE3

團點。為,ABC的內(nèi)心，團AF,B0分別為/A4C,/ABC的平分線，

團？

^\ZBAF=ZCAFfZABD=/CBD,⑦NFBC=NFAC,FBC?BAF,

BFEF

0ZF=ZF,⑦-FBESJAB,0-，

AFBF

20

0BF2=EF1AF3?(3y)=29,EBF=729,

0?BDF1BAF彳鈿D,DBF=2CBD?FBC,SZBDF=ZDBF,

^DF=BF^DE=DF-EF=729-3,故答案為：A/29-3.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理及其推論，等腰三角形的判定與性質(zhì)，充分利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得相應線段的長度是解題的

關(guān)鍵.

14.(2023?四川綿陽?統(tǒng)考二模)如圖，在0ABe中，aBAC=60。，其周長為20,回/是0ABe的內(nèi)切圓，其半

徑為石，則SB/C的外接圓直徑為.

A

【答案】竽

【分析】設as/c的外接圓圓心為。，連接。8,OC,作COMB于點。，在圓O上取點尸，連接FB,

FC,作?！?8C于點E,設AB=c,BC=a,AC=b,根據(jù)三角形內(nèi)心定義可得S/ABC=六〃=g、20*百=

^AB-CD,可得兒=40,根據(jù)勾股定理可得BC=a=7,再根據(jù)/是EABC內(nèi)心，可得平分0A8C,/C平

分0ACB,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和圓周角定理可得SBOC=120。，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出。8

的長.

【詳解】解:如圖，設回3/C的外接圓圓心為O,連接08,OC,作CZM4B于點。，

在圓。上取點P,連接EB,PC,作。瓦BC于點E,

設AB=c,BC—a,AC=b,00BAC=60°,0A

CD=AC?sin60°=Wb,^BD=AB-AD=c-^-b,

22

團a48c周長為/=20,財BC的內(nèi)切圓半徑為r=6，

SSAABC=~lr=^-x20x73=~AB?CD,020^/3=^-b?c,勖c=40,

2222

在RtSBDC中，根據(jù)勾股定理，得BG=BD2+CD2,

222

即/=2+(2^6)2,整理得：a=c+b-be,

20

回〃+Z?+c=20,^la2=c2+b2-bc=(Z?+c)2-3bc=(20-a)1-3x40,解得a=7,團3C=〃=7,

團/是內(nèi)心，團平分朋BC,/C平分她C3,

團團3AC=60°,IM1A3C+財CB=120°,回團/3。+團/C8=60°,

麗B/C=120°,團團5尸C=180°-120°=60°,團團800=120°,

7

7BE3用

團O￡03C,^\BE=CE=—,團8OE=60°,^\OB—.=—rr=.

2sin60°J33

~2

團外接圓直徑為故答案為：M.

33

【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識.屬于中考選擇題的壓

軸題，很有難度.

15.（2023,河北衡水,?？寄M預測）如圖，已知在Rt_ABC中，?B907,AB=6,AC=IO,點尸是

RtABC的內(nèi)心.（1）點尸到邊AB的距離為_；（2）。是RtABC的外心，連接尸Q,則PQ的長為

【答案】2乖

【分析】（1）連接AP,BP,CP,過點尸分別作PD_LAB,PFVAC,PE工BC于點D,E,尸，根據(jù)

^C=1X8X6=24,1P￡>X6+1XPEX8+jxPFxlO=24,可得BD=2,即可解決問題；

（2）連接PQ,證明叫“1FP,可得AD=AF=4,再利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖，連接"，BP,CP,過點P分別作PDLM,PF±AC,PEL3C于點O,

尸是RtABC的內(nèi)心，:.PD=PE=PF,^=1x8x6=24,

|xP￡>x6+ixPEx8+ixPFxlO=24,PD=2,..?點尸到邊AB的距離為2；故答案為：2；

(2)如圖，連接尸Q,由1.知，PD=PE=2,PELBC,PD±AB,

,四邊形BEPD是正方形，:.BE=BD=PD=PE=2,AB=6,：.AD=4,

'ZDAP=NFAP

在zMOP和一AFP中，</ADP=/AFP=90°,.?._A￡)WAAFP(AAS),:.4)=”=4,

AP=AP

Q是RtABC的外心，，AQ=5,.?.FQ=1,

在RtFPQ中，根據(jù)勾股定理得：PQ=^/pF2+FQ2-V22+12=V5.故答案為：2;卮

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形外接圓與外心，三角形的全等的判定與性質(zhì)，角平分線

的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心和外心的區(qū)別.

16.(2023?上海寶山?一模)已知相交兩圓的半徑長分別為13和20,公共弦的長為24,那么這兩個圓的圓

心距為一.

【答案】11或21

【分析】設半徑長分別為13和20的「4、6相交于點E、點尸，EF=24,連接A￡\BE,貝U

AE=13,BE=20,再分兩種情況討論，一是點A、點8在直線E尸的同側(cè)，延長54交所于點C,根據(jù)

“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”得N3CE=90。，CE=CF=12,可由勾股定理求得BC=16,

AC=5,則AB=BC_AC=11；二是點A、點8在直線石尸的異側(cè)，BA交EF于點、D,則BD=16,

AD=5,AB=BD+AD=21.

【詳解】解：半徑長分別為13和20的：A、8相交于點￡、點尸，EF=24,

連接AE、BE,則他=13,BE=20,

圖1圖2

如圖1,點A、點8在直線E尸的同側(cè)，延長54交E尸于點C,

AB垂直平分E產(chǎn)，..ZBCE=90°,CE=CF=|EF=1X24=12,

BC=yJBE2-CE2=V202-122=16>AC=y/AE2-CE2=V132-122=5>/.AB=BC-AC=16-5=11；

如圖2,點A、點8在直線的異側(cè)，BA交EF于點D,

ZBDE=ZADE=90°,DE=DF=-EF=-x24=12,

22

BD=yjBE2-DE2=V202-122=16-AD=\/AE2-DE2=7132-122=5＞：.AB=BD+AD=16+5=21,

綜上所述，這兩個圓的圓心距為11或21,故答案為：11或21.

【點睛】此題重點考查圓與圓的位置關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及數(shù)形結(jié)合與分類討論

數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?福建泉州,統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，/ABC是鈍角

C

（1）求作：。，使得圓心。在邊AC上，且。經(jīng)過點民C（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設AC與：。的另一個交點為。，且AC=2AB=4A￡＞求證：是：。的切線。

【答案】⑴見解析（2）見解析

【分析】（1）由＜，。經(jīng)過點在C可知圓心。到點8,C的距離相等，因此線段8C的垂直平分線與AC的交

點即為圓心。，由此可解；（2）連接OB,設AC=8左次＞0）,則AB=43AD=2k,利用勾股定理的逆

定理判斷NABO=90。，即可證明A3是（。的切線.

(2)證明：如圖2,連接。8,設AC=8以左>0),則A3=4k,AD=2k,

:.CD=AC-AD=8k-2k=6k,..OC=OB=OD=-x6k=3k,AO=AD+OD=2k+3k=5k.

2

在，ABO中，QB?+A3?=(3左J+(4左y=25父，AO2=25k2,

:.OB2+AB2=AO2,ZABO=90°,即.

點8在C。上，.：/記是一。的切線.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的逆定理，切線的判定等，難

度不大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，綜合運用上述知識點.

18.（2023年陜西中考中考模擬）如圖，。是ABC的外接圓，AD是的直徑，尸是AD延長線上一

3

點，連接CD,CF,且NDCF=NC4D.⑴求證：C尸是。的切線；（2）若直徑AO=10,cosB=y,求ED

的長.

【答案】⑴詳見解析⑵半

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可知

FCDsFAC,再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段ED的長度.

【詳解】（1）證明：連接OC,

回4。是<。的直徑，回NACD=90°,0ZADC+ZC4D=9O°,又回OC=OD,0ZAZ）C=ZOCD,

y,SZDCF=ZCAD,0Zr>CF+ZOCr>=9O°,即OCLPC,回PC是。的切線；

?33

（2）解：0ZB=ZADC,cos='回cosNADC=g,

3CD3

團在RrAC￡>中，cosZADC=-=,AD=10,0CD=AD-cosZADC=10x-=6,

5AD5

_________CD3

^AC=>]AD2-CD2=8-ffl—=7?SZFCD=ZFAC,ZF=ZF,

/IC-4

L/'l\Q

0FCD^_FAC,0—=—=—=-,設FD=3x,貝UbC=4x,AF=3x+10,

ACFAFC4

3090

又回改:2=尸。.￡4,即（4X）2=3X（3X+10）,解得了=一（取正值），0FD=3x=—,

77

【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切

的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考一模）已知RtAABC中，NC=90。.根據(jù)作圖過程，解決下列問題.

【作圖過程工以點A為圓心，任意長為半徑畫弧交A3、AC于8、L點,分別以點X、L為圓心、大于

g/YL的長為半徑畫弧交于點K,作射線AK；以點8為圓心，任意長為半徑畫弧交8C、8A于E、/點,

分別以E、尸為圓心、大于;￡下的長為半徑畫弧交于點G,作射線BG交射線AK于點0,過點。作

OM,3c于點點加為垂足，以點。為圓心，為半徑作。.

【解決問題】：⑴證明：。是Rt^ABC的內(nèi)切圓；⑵若3c=6,AC=8,求。的半徑.

【答案】⑴見詳解(2)2

【分析】(1)過。點作OD0A2于。點，過。點作0PEAC于點尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有。尸=。。=?！?

即。點到R/SABC三邊的距離相等，則有。點是R/0ABe的內(nèi)心，可知回。是RE4BC的內(nèi)切圓；

(2)設國。的半徑為r,即。尸=。河=廠，先證明四邊形。尸CM是正方形，即有CM=0M=0P=PC=r,利用勾

股定理求出48=10,再證明M30MBM他。。留乩)，即有3M=8。，同理可得AP=AQ,則有

AB=AD+BD=AP+BM,貝Ur可求.

【詳解】(1)過。點作0ZW2于。點，過。點作OP0AC于點P,如圖，

根據(jù)作圖可知。4、。8分別是團CAB、a48c的角平分線，

0OPI3AC,OO0AB,OM^BC,0C=9O°,^OP=OD,OD=OM,BOP=OD=OM,

回。點到尺回48c三邊的距離相等，回。點是R/HABC的內(nèi)心，盟。是的內(nèi)切圓;

(2)設團0的半徑為r,即。尸=0M=r,

0OP0AC,EC=90°,OM0BC,OP=OM,El四邊形OPCM是正方形，^\CM=OM=OP=PC=r,

EIBC=6,AC=8,回在R/EIABC中，AB=W,

SOM=OD,OB=OB,^Rt^OMBSRt^ODB（HL）,SBM=BD,同理可得AP=AD,

^BM=BC-CM=6-r,AP=AC-PC=8-r,AB=AD+BD,

^\AB=AD+BD=AP+BM=8-r+6-r=14-2r=10,fflr=2,即回。的半徑為2.

【點睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的

判定與性質(zhì)等知識，掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

20.（2023?廣東佛山?一模）如圖，ABC內(nèi)接于回O,且AB為的直徑，與BC交于點E,與過

點C的。的切線交于點。，OD交;。于點?（1）求證：CDE是等腰二角形；（2）若AC=2,3c=4,

求OD的長；（3）當點P為DE的中點時，直接寫出tanB的值.

【答案】（1）見解析（2）占叵（3）。

43

【分析】（1）連接OC,證明OCLCD,ZOCB+ZBCD=90°,證明/ACS為直角，由

ZACO+ZOCB=90°=ZCAO+ZCBAZBCD=ZACO,結(jié)合NACO=NC4O,NCBA+NOEB=90°證

明NC4O=NDEC=NACO=4CD,即可得證；（2）先求出AB=2/04=08=6證明

△BOES/XBCA,可得絲=絲，OE=—,結(jié)合oc?+CD?=0。2,表示出。。，即可求解；（3）如

OBBC2

圖，延長。。交于〃，連接CF,CH,證明DC-=DHDF,設QE=跖=x,￡。的半

3

徑為r，可得r=]x,再利用正切的定義進行計算即可；

【詳解】（1）連接OC,

國8為（。的切線，0OC±CD,ZOCB+ZBCD=90°,

團45為(。直徑，點C在上，0ZACB=90°,

0ZACO+ZOCB=90°=ZCAO+ZCBA,回/BCD=ZACO,

SOA^OC,^ZACO=ACAO,SOD±AB,Z.CBA+Z.OEB=9Q°,

0Z.OEB=NDEC,團NCBA+/DEC=90°,0ZCAO=ZDEC=ZACO=ZBCD,

回OC=DE,回一CDE是等腰三角形.

(2)SAC=2,BC=4,EIAB=JAC2+BC2=26,OA=OB=5

^Z.OEB=ACAO,SABOE^ABCA,ffl—=—,EIO￡=—,

OBBC2

0OC±C￡>,在Rtz\DCO中，OC2+C￡>2=OD2,

SOD=y/0C2+CD2=可+DE?=OE+DE=^-+DE,

解得。E=垣，?OD力+延=史.

4244

(3)如圖，延長OO交。。于H,連接CF,CH,

團,為直徑，NFCH=90。=NOCD,旦NOCH=NDCF,

BOC=OH,SZOCH=ZOHC,^ZDCF=ZDHC

0DCFs,DHC,0-^-=—,0DC2^DHDF,

DHDC

ar為OE的中點，設DE=EF=x,。的半徑為r,

3

團DC=DE=2x,回4x2=x(x+2r),解得r~~x?

J.

1OE5%1

團OE=r-x=—x,團tanB==--=—.

2OB3^3

2

【點睛】本題考查的是圓的綜合應用，勾股定理的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

三角函數(shù)等知識點，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

限時檢測2：最新各地中考真題（50分鐘）

1.（2023年廣東廣州中考數(shù)學真題）如圖，一ABC的內(nèi)切圓I與BC,CA,A3分別相切于點。，E,

F,若/的半徑為r,ZA=a,貝U（族+CE—3C）的值和/FDE的大小分別為（）

oror

A.2r,90°-aB.0,90°-?C.2r,90°——D.0,90°——

22

【答案】D

【分析】如圖，連接小，IE.利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：如圖，連接ZF,IE.

CA,A3分別相切于點O,E,F,

SBF=BD,CD=CE,IF±AB,IE±AC,

0BF+CE—BC=BD+CD—BC=BC-BC=0,ZAFI=ZAEI=90°,

0ZE/F=18O°-a,0ZEDF=-ZEIF=90°--a.故選：D.

22

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

2.（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點CO在半圓上，CD=DB，連接

OC,CA,OD,過點8作EB,AB,交。。的延長線于點E.設Q4C的面積為的面積為邑，若

S2

U=貝!Jtan/ACO的值為（）

3_

2

【答案】A

S2\OA-CH2

【分析】如圖，過C作于證明NCOD=/BOE=NC4O,由甘=3，即^-------=-,可得

2-OB.BE3

2

ATJo

—=一，證明tanNA=tanNBO石，可得——=—二一，設AH=2機，則50=3^=49=00,可得

BE3BEOB3

OH=3m-2m=m,CH=也府-nf=2亞m,再利用正切的定義可得答案.

【詳解】解：如圖，過。作CH_LAO于〃，^CD=BD,0ZCOD=ZBOE=ZCAO,

2

八,八.…尸CHBECHAH2

0=Z.BOE,0tanXA.=tanX.BOE?回---=---，R即n----=----=—，

AHOBBEOB3

設AH=2根，則50=3根=AO=CO,0OH=3m—2m=m,

回CH=^9m2—m2=2V2m，回tanZA===>/2，

AH2m

^OA=OC,回ZA=ZACO,團tanZACO=行；故選A

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線構(gòu)

建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023年湖北省武漢市數(shù)學真題）如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,ADLAB,以。為圓心，AD

Aft1

為半徑的弧恰好與相切，切點為E.若而=§，貝1JsinC的值是（）

【答案】B

【分析】作CF1AB延長線于F點，連接DE,根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求

解在RtZSEC和Rt/XBFC,最終得到DE,即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：如圖所示，作延長線于尸點，連接DE,

SADJ.AB,AB//CD,EZ/vU）=ZADC=ZF=90°,

回四邊形AZJC尸為矩形，AF=DC,AD=FC,回A8為。的切線，

由題意，BE為。的切線，SDELBC,AB=BE,

A51

0=一,0^AB=BE=a,CD-3a,CE-X,

CD3

貝UBF=AF—AB=CD—AB=2a,BC=BE+CE=〃+%,

在RtADEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2,在RtAB尸C中，F(xiàn)C2=BC2-BF2=（a+x）2-（2?）2,

0DE=DA=FC回9片—爐=（〃+x）2_（2〃）2,解得：x=2［或x=—3a（不合題意，舍去），

回CE=2a,回DE=JCD2_CE?=癡?—4a?=6，fflsinC=—=—=^,故選：B.

DC3。3

【點睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強，熟練運

用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵.

4.（2023年山東省威海市中考數(shù)學真題）在41BC中，8c=3,AC=4,下列說法錯誤的是（）

A.1<AB<7B.S^<6

C..ABC內(nèi)切圓的半徑r<lD.當A3=?時，ABC是直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可.

【詳角單】解：回8c=3,AC=4,回4-3<AB<4+3即1<AB<7,故A說法正確;

當BSAC時，

若以BC為底，高VAC=4,回5ABe46,故B說法正確；

設｛.ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則—AB-r+—BC-r+—AC-r=S,

12

團S^W6,0r-（ABBCAC）<6,r<

Z++Ao+￡>C+AC

123

01<AB<7,BC=3,AC=41S8<AB+BC+AC<14,Elr<—=-,故C說法錯誤;

82

當42=近時，BC2+AB2=AC2,回.ABC是直角三角形，故D說法正確；故選：C.

【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切

圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系r=”是解題的關(guān)鍵.

5.（2023年四川省德陽市中考數(shù)學真題）如圖，,