2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的基本知識與概念（六大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第01講數(shù)列的基本知識與概念

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念............................................................4

知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類............................................................4

知識點(diǎn)3:數(shù)列的兩種常用的表示方法..............................................5

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：數(shù)列的周期性...........................................................5

題型二：數(shù)列的單調(diào)性...........................................................6

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng).....................................................8

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題.......................................................9

題型五：數(shù)列的恒成立問題......................................................10

題型六：遞推數(shù)列問題..........................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................14

06易錯分析?答題模板............................................................15

易錯點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)..................................................15

答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用..............................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年北京卷第10題，4分

(1)數(shù)列的概念高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)

2022年乙卷(理)第4題，5分

(2)數(shù)列的分類容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是數(shù)列

2021年北京卷第10題，4分

(3)數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.

2020年浙江卷第11題，4分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).

(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

數(shù)列的定義：按照一定順序排列的

一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).

數(shù)列的概念)

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成

以正整數(shù)集N?為定義域的函數(shù)%=/(”)當(dāng)自變量

按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值

按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限

增數(shù)列

數(shù)列的基本知識與概念數(shù)列的分類

減數(shù)列

按單調(diào)性來分

常數(shù)列

擺動數(shù)列

數(shù)列的兩種常用的表示方法

老占突硒?力理慳宙

---------

知識JJ

知識點(diǎn)1:數(shù)列的概念

(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).

(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,...,?｝

為定義域的函數(shù)4=/(〃)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

(3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.

【診斷自測】下列說法中，正確的是()

A.數(shù)列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數(shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列｛〃?+〃｝的第％項(xiàng)為公+4

D.數(shù)列0,1,2,3,4,…可記為｛科

知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類

(1)按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限

'遞增數(shù)列：an+1>an

遞減數(shù)列：a>a

(2)按單調(diào)性來分：<n+1n

常數(shù)列：%=%=C(常數(shù))

擺動數(shù)列

【診斷自測】已知函數(shù)/(x)=x+J,設(shè)a“=/(〃)(〃eN+),則下列說法中母氓的是()

A.｛4｝是無窮數(shù)列B.｛a“｝是遞增數(shù)列

C.｛?！埃皇浅?shù)列D.｛%｝中有最大項(xiàng)

知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)與序號〃之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛4｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與

它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

【診斷自測】〃eN*,數(shù)列1,-3,7,-15,31,…的一個通項(xiàng)公式為（）

C.??=2"-1D.4=(-1)北1一2")

解題方法總結(jié)

（1）若數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S“，通項(xiàng)公式為%,則為=*

[S,-S,T,n>2,neN

注意：根據(jù)S"求知時，不要忽視對"=1的驗(yàn)證.

（2）在數(shù)列伍“｝中，若?！白畲?，貝門“"""1’若a"最小，貝J%''""一.

aa

[nn+l&?氏+1

題型一：數(shù)列的周期性

c1

2a，冊<5

n4

【典例1-1]在數(shù)列｛%｝中，??+1='1，若。i=g,則％020=()

2an-l,an>—

i11

A.Bc.-D.-

5555

【典例1-2】（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）在數(shù)列｛4｝中，冊>0,%=1,%=0，若對

V”eN*,a；+a：］+a,1=10,貝!|a2024=()

A.y/2B.1c.73D.V5

【方法技巧】

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

【變式1-1］（2024?陜西榆林N模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報(bào)數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)

甲報(bào)出1,乙報(bào)出2后，之后每個人報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報(bào)

出的數(shù)應(yīng)該為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式1-2］（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知數(shù)列｛4｝中，%=2,a2=l,a?+1=an-a^｛n>2,〃eN*）,則

“2024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式1-3］（2024.遼寧?模擬預(yù)測）數(shù)列｛a“｝中，?,=4,g=3,%=區(qū)（〃eN*,〃22）,則須。。的值為

an-\

（）

134

A.—B.—C.3D.一

443

【變式1-4］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力=丁+2/+3%,數(shù)列｛?！保氖醉?xiàng)為1,且滿足

%+3=q,（〃eN*）.若/（%023）+/（%）24+%025）=°，則數(shù)列｛凡｝的前2023項(xiàng)和為（）

A.0B.1C.675D.2023

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

【典例2-1】（2024?北京西城?三模）對于無窮數(shù)列｛%｝,定義4,=。向-%（”=1,2,3,）,則“｛%｝為遞增

數(shù)歹『'是為遞增數(shù)歹『’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【典例2-2］（2024?江西?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足4="-a（aeR）,貝「aMl”是｛⑷｝是遞增數(shù)列的

（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【方法技巧】

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

作差比較法根據(jù)?！暗姆柵袛鄶?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)幺立a>0或可〈0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

作商比較法

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

【變式2-1］（2024?天津南開?二模）設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=〃2+加，若數(shù)列｛風(fēng)｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

則實(shí)數(shù)6的取值范圍為（）.

A.（-3,+co）B.（-2,+oo）C.［-2,+oo）D.［-3,+oo）

【變式2-2］（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛"“｝中，其前“項(xiàng)和為S"，貝S3<2邑”是“｛七｝為遞

減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【變式2-3］數(shù)列｛4｝中前”項(xiàng)和S“滿足S“=如2+2〃+l（2eR）,若交力是遞增數(shù)列,則X的取值范圍為

A.(0,+oo)一,+/一,+8

22

【變式2-4］（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=e〃”〃，則“〃2-21”是

“V〃eN*,a“的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-5］已知數(shù)列｛叫滿足：4=八］/）〃［3，”<7,（〃eN*,。>0）,數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則實(shí)

［Q,n>7

數(shù)。的可能取值為（）

A.2B.—C.—D.4

77

【變式2-6］（2024?浙江寧波?二模）已知數(shù)歹!］｛可｝滿足4=而2一〃，對任意〃e｛l,2,3｝都有%>區(qū)用，且對

任意〃?川”27,〃€用都有凡<%+1，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

【變式2-7］（2024.江西.二模）已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)%為常數(shù)且4。用+2%=4"（〃eN*）,若數(shù)列

｛%｝是遞增數(shù)列，則為的取值范圍為（）

題型三：數(shù)列的最大(小)項(xiàng)

【典例3-1】已知。,=〃個產(chǎn)，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為()

A.%oB.〃8C.。6D.〃4

【典例3-2】(2024.上海.模擬預(yù)測)數(shù)列％=]g(〃eN*)的最小項(xiàng)的值為

【方法技巧】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)/(x)當(dāng)在”時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)無)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，

或利用求函數(shù)最值的方法，求出“X)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).

(2)通過通項(xiàng)公式《研究數(shù)列的單調(diào)性，利用b-0-1,(〃22)確定最大項(xiàng)，利用

[%Nan+l

「("22)確定最小項(xiàng).

&V%

(3)比較法：若有。"+[-%=/(〃+1)-/(〃)>0或%>0時4旦>1,則%+1>%,則數(shù)列｛"』是遞增

’an

數(shù)列，所以數(shù)列｛"J的最小項(xiàng)為q=/(1)；若有4“+1-%=y("+i)-/(")<0或%>o時%L<1,則

an

an+l<an,則數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列M的最大項(xiàng)為q=/(I).

【變式3-1](2024.北京西城?一模)在數(shù)列｛%｝中，弭=2,a2=-3.數(shù)列也｝滿足6“=。用eN)若

也｝是公差為1的等差數(shù)列，則圾｝的通項(xiàng)公式為乙=_,??的最小值為

【變式3-2](2024?廣東梅州二模)已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。告=(〃eN*),貝U

n

H以=q的最小值為___.

攵=1

【變式3-3]數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)4=號,則數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)的值為—.

【變式3-4］設(shè)?！笆牵ㄒ?）”的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)（“=2,3,4,…），若么=（〃右;j則口的最大值

是一

_?〃兀16（z*\

=Sin+!

【變式3-5］已知％T2+s，n/mVeN人則數(shù)列｛%｝的最小值為.

【變式3-6］在數(shù)列｛%｝中，％=4,0?=7??->+2（2<?<100）,則數(shù)列｛叫的最大項(xiàng)的值是—.

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題

【典例4-1】（2024?浙江紹興?二模）漢諾塔（TowerofHanoi）,是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖

所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著〃個不同大小的圓

盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子

的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為"（"），例如：H（l）=l,H⑵=3,則下列說法正

確的是（）

A.H⑶=5B.｛”（〃）｝為等差數(shù)列

C.｛"（"）+1｝為等比數(shù)列D.H（7）<100

【典例4-2】（2024?遼寧?二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于

解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量

總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（）

A.366B.422C.450D.600

【方法技巧】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

【變式4-1］（2024?陜西西安?三模）定義4=（1,1）,%=（1,2）,cij=（2,1）,a4=（1,3）,a5=（2,2）,

&=（3，1），…則%=（）

A.（1,63）B.（63,1）C.（64,1）D.（1,64）

【變式4-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之

（得弦）.”意即“勾”。、“股*與“弦”C之間的關(guān)系為（其中.）.當(dāng)”,瓦ceN*時,有如下勾

股弦數(shù)組序列：（3,4,5）,（5,12/3）,（7,24,25）,（9,40,41）,,則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”

等于（）

A.145B.181C.221D.265

【變式4-3］（2024?四川?模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年

代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照

圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）

【變式4-4］（2024?云南保山.二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如

圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的

一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則

此數(shù)列的第56項(xiàng)為（）

A.11B.12C.13D.14

題型五：數(shù)列的恒成立問題

11

【典例5-1］已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S'￡N*）且4=1,若一+—+

恒成立，則機(jī)的最小值為

【典例5-2】記分別為數(shù)列｛%｝,,，｝前w項(xiàng)和，已知是公差為;的等差數(shù)列.若丁,＜小

恒成立，則加的最小值為

【方法技巧】

分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題.

【變式5-1］已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S“=2a,「2,若+”對于任意的正整數(shù)〃恒

成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為一.

【變式5-2］（2024.高三.重慶?期中）巴知數(shù)列｛4｝滿足%=2,an+l=3an+2,若對任意正整數(shù)“21都有

乂4+1）22〃-3恒成立,則上的取值范圍是—.

【變式5-3］（2024.全國.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛見｝滿足%+%=2〃-1,若%＞?！皩Α癳N*恒成立，則為

的取值范圍為—.

題型六：遞推數(shù)列問題

【典例6-1】（2024?天津.二模）在數(shù)列｛%｝中，若即/2…4=3'2-2"（aeN*）,則%的值為（）

A.1B.3C.9D.27

【典例6-2】（2024?重慶.模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,—=收一上加數(shù)，則￡4（）

''為假致k=l

A.511B.677C.1021D.2037

【方法技巧】

列舉法

【變式6-1］（2024?貴州遵義?一模）數(shù)列｛”"｝滿足q=；,對任意正整數(shù)p,q都有4%=（工+,）。…，則

2pq

&=（）

%

1632

A.4B.—C.6D.—

33

【變式6-2］（2024?廣東汕頭.三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個,

則第30層小球的個數(shù)為（）

A.464B.465C.466D.467

【變式6?3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到.圖二

是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1,

則第〃代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為()

圖一圖二圖三

A.2〃一1;nB.2〃一1;n+1

C.2n+l-1;nD.2n+1-l;n+1

【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位.

⑴寫出前五排座位數(shù).

(2)第n排與第〃+1排座位數(shù)有何關(guān)系？

⑶第〃排座位數(shù)為與第〃+1排座位數(shù)。用能用等式表示嗎？

【變式6-5］觀察下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，回答

???????????????

???????????????????

381524

⑴寫出圖中點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列｛%｝的一個遞推公式；并根據(jù)這個遞推公式，求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若S,是數(shù)列卜勺前〃項(xiàng)和，證明：5?<|.

3

1q

1.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列｛q｝滿足?=4（?！?6）3+6（〃=1,2,3,）,則（）

A.當(dāng)[=3時，｛g｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得恒成立

B.當(dāng)％=5時，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M46,使得4<加恒成立

C.當(dāng)弓=7時，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)6,使得4>M恒成立

D.當(dāng)％=9時，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得見恒成立

2.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,“用=《-gd（weN*）,則（）

5577

A.2<100。[℃<—B.—<100〃[℃<3C.3<100〃[℃<—D.—<100tz<4

IUU22iuuiuu22i1nUnU

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我

國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列也J：

1b=1+---b｝=1+—n—

4=1+一,2“上工，%+-----r,…，依此類推，其中%?N*伏=1,2,）.貝U（）

1

%十zyI

%。2+—

a3

A.bx<b5B.&<4C.b6<b2D.b4<by

4.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）己知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S“滿足

%.S“=95=1,2,.“）.給出下列四個結(jié)論：

①｛4｝的第2項(xiàng)小于3；②｛《｝為等比數(shù)列；

③｛為｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于焉的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

課本典例?高考素材

1.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列也｝的前5項(xiàng):

1

(1)q=l,a?=a?-1+2"-(n>2)；

2

=a

(2)4=3,an~n-i+1(?^2).

2.已知數(shù)列｛氏｝滿足q=2,??=2--（n>2）,寫出它的前5項(xiàng)，并猜想它的通項(xiàng)公式.

an-\

3.寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并繪出它們的圖像：

（1）素?cái)?shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；

（2）歐拉函數(shù)姒"）5eN）的函數(shù)值按自變量從小到大的順序排列成的數(shù)列.

4.已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由=%_1+%,_2（〃>2）給出.

（1）寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)；

（2）利用數(shù)列㈤｝,通過公式勿=如構(gòu)造一個新的數(shù)列他,｝,試寫出數(shù)列低｝的前5項(xiàng).

an

5.假設(shè)某銀行的活期存款年利率為0.35%某人存10萬元后，既不加進(jìn)存款也不取款，每年到期利息連同

本金自動轉(zhuǎn)存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用4表示第〃年到期時的存款余額，求％、出、%及%.

6.已知函數(shù)〃x)=q!(xeR),設(shè)數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式為%=/(〃)(〃eN*).

(1)求證

(2)｛%｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

㈤6

A易錯分析-答題模板w

易錯點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)

易錯分析：解題時容易找不到數(shù)列中的每項(xiàng)之間的相似地方，總結(jié)不出來一般規(guī)律。

【易錯題I】已知數(shù)列｛的的前5項(xiàng)依次為1艮1,daoS則｛%｝的一個通項(xiàng)公式為4=

Q1C,4

【易錯題2】數(shù)列-1,…的一個通項(xiàng)公式是

答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用

1、模板解決思路

判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法，一般采用作差法比較數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的大??；當(dāng)數(shù)列各項(xiàng)符號相同時,

也可用作商法比較；還可以利用數(shù)列通項(xiàng)公式所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性.

2、模板解決步驟

第一步：根據(jù)條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

第二步：作差（或作商3）,并化簡.

an

第三步：討論q+i-?！ㄅc0（或&包與1）的大小，得出數(shù)列的單調(diào)性.

an

【典型例題1】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，貝『'｛0｝是遞增數(shù)列”是“￡｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【典型例題2］已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為?！?初2一〃一2,若｛%｝為遞增數(shù)列，則上的取值范圍為（）

A.（1,+co）B.（O,+<?）C.■'+cojD.

第01講數(shù)列的基本知識與概念

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識點(diǎn)1：數(shù)列的概念............................................................4

知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類............................................................4

知識點(diǎn)3:數(shù)列的兩種常用的表示方法..............................................5

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：數(shù)列的周期性...........................................................5

題型二：數(shù)列的單調(diào)性...........................................................6

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng).....................................................8

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題.......................................................9

題型五：數(shù)列的恒成立問題......................................................10

題型六：遞推數(shù)列問題..........................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例?高考素材............................................................14

06易錯分析?答題模板............................................................15

易錯點(diǎn)：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)..................................................15

答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用..............................................15

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年北京卷第10題，4分

(1)數(shù)列的概念高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)

2022年乙卷(理)第4題，5分

(2)數(shù)列的分類容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是數(shù)列

2021年北京卷第10題，4分

(3)數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.

2020年浙江卷第11題，4分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).

(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

數(shù)列的定義：按照一定順序排列的

一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).

數(shù)列的概念)

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成

以正整數(shù)集N?為定義域的函數(shù)%=/(”)當(dāng)自變量

按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值

按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限

增數(shù)列

數(shù)列的基本知識與概念數(shù)列的分類

減數(shù)列

按單調(diào)性來分

常數(shù)列

擺動數(shù)列

數(shù)列的兩種常用的表示方法

老占堂硒■題理探點(diǎn)

知識固本

知識點(diǎn)1:數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照二定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每二個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,...,?｝）

為定義域的函數(shù)=/（〃）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.

【診斷自測】下列說法中，正確的是（）

A.數(shù)列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數(shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列｛/+〃｝的第七項(xiàng)為Y+無

D.數(shù)列0,123,4,可記為｛處

【答案】C

【解析】對于A,由數(shù)列的定義易知A錯誤；

對于B,兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；

對于C,數(shù)列｛"+"｝的第％項(xiàng)為r+月,故C正確;

對于D,因?yàn)镺eN,所以〃eN,這與數(shù)列的定義不相符，故D錯誤.

故選：C.

知識點(diǎn)2：數(shù)列的分類

（1）按照項(xiàng)數(shù)分：有限和無限

遞增數(shù)列：an+l>an

遞減數(shù)列：a,#]>a

（2）按單調(diào)性來分:n

常數(shù)列：an+l—an=C（常數(shù)）

擺動數(shù)列

【診斷自測】已知函數(shù)〃X)=X+：,設(shè)為=/(")(〃€$),則下列說法中埼識的是()

A.｛%｝是無窮數(shù)列B.｛%｝是遞增數(shù)列

C.｛q｝不是常數(shù)列D.｛?！埃杏凶畲箜?xiàng)

【答案】D

【解析】對于A,｛%｝顯然是無窮數(shù)列，故A正確；

對于B,因?yàn)?+i-%=〃+1+」：一〃—，=1—J〉0,即。〃即｛%｝是遞增數(shù)列，故B正確；

對于C,因?yàn)?=2,%=2+：=[,4X的,故｛““｝不是常數(shù)列，故C正確；

對于D,由B知，｛為｝是遞增數(shù)列，當(dāng)〃趨近于無窮大時，氏="+,也趨近于無窮大，所以｛%｝中無最大

項(xiàng)，故D錯誤.

故選:D

知識點(diǎn)3：數(shù)列的兩種常用的表示方法

(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛為｝的第".項(xiàng)與序號”之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(2)遞推公式：如果已知數(shù)列｛0｝的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)與

它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

【診斷自測】“eN*,數(shù)列1,-3,7,-15,31,…的一個通項(xiàng)公式為()

,!

A.=(2"-l)cosraiB.an=(l-2)sin-^

C.??=2"-lD.??=(-1)"(1-2K)

【答案】D

【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?=(2-l)cos7t=-lwl,故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?=(1-2?卜由兀=0#-3,故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?=展-1=37-3,故C錯誤；

對于選項(xiàng)D：檢驗(yàn)可知對〃=1,2,3,4,5均成立，故D正確；

故選：D.

解題方法總結(jié)

（Sn=l

（1）若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，通項(xiàng)公式為則%=?'*

[Sn-，n>2,neN

注意：根據(jù)S“求a”時，不要忽視對〃=1的驗(yàn)證.

（2）在數(shù)列伍"｝中，若4,最大，則卜"一,若4,最小，則].

[a?>an+i[an<an+1

題型一：數(shù)列的周期性

2gM"<g

4

【典例1-1]在數(shù)列｛q｝中，an+l，右W，則“2020()

2a,-1,41

1

ABD.-

-1-15

【答案】C

。1

2%,%<5

且4=t，

【解析】因?yàn)閍'.n+\

1

>—

2

2

所以｛4｝是以4為周期的周期數(shù)列，所以。2020=04x504+4=%=M-

故選：C

【典例1-2】（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）在數(shù)列｛4｝中，%>0,4=1,4=0，若對

VweN*,a；+a3+a3=10,則出。24=()

A.-y/2B.1C.~J3D.5/5

【答案】A

a

【解析】由a3+*2+43=1。與d+a3+n+2=10相減得：*3-Y=。，

即（。"+3一。"）（?！?3+4,）=。，又a”＞。,故